Soal 26
Hasil dari \(\dfrac{\sin 27^\circ+\sin 63^\circ}{\cos 138^\circ+\cos 102^\circ}\) = …
A. \(-\sqrt{2}\)
B. \(-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\)
C. \(1\)
D. \(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\)
E. \(\sqrt{2}\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Gunakan rumus jumlah ke hasil kali:
\(\sin a+\sin b=2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\).
Pembilang:
\(\sin 27^\circ+\sin 63^\circ=2\sin\left(\dfrac{27^\circ+63^\circ}{2}\right)\cos\left(\dfrac{27^\circ-63^\circ}{2}\right)\)
\(=2\sin 45^\circ \cos(-18^\circ)=2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos 18^\circ=\sqrt{2}\cos 18^\circ\).
Penyebut (rumus jumlah cosinus):
\(\cos a+\cos b=2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\).
\(\cos 138^\circ+\cos 102^\circ=2\cos\left(\dfrac{138^\circ+102^\circ}{2}\right)\cos\left(\dfrac{138^\circ-102^\circ}{2}\right)\)
\(=2\cos 120^\circ \cos 18^\circ=2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\cos 18^\circ=-\cos 18^\circ\).
Maka:
\(\dfrac{\sqrt{2}\cos 18^\circ}{-\cos 18^\circ}=-\sqrt{2}\).
Soal 27
Diketahui \(\tan \alpha-\tan \beta=\dfrac{1}{3}\) dan \(\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{48}{65}\), dengan \(\alpha,\beta\) lancip \(\left(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ\right)\) dan \(\left(0^\circ \lt \beta \lt 90^\circ\right)\). Nilai \(\sin(\alpha-\beta)=\) …
A. \(\dfrac{63}{65}\)
B. \(\dfrac{33}{65}\)
C. \(\dfrac{26}{65}\)
D. \(\dfrac{16}{48}\)
E. \(\dfrac{16}{65}\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: E
Gunakan identitas:
\(\tan \alpha-\tan \beta=\dfrac{\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}=\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}\).
Kalikan kedua ruas dengan \(\cos \alpha \cos \beta\):
\(\sin(\alpha-\beta)=\left(\tan \alpha-\tan \beta\right)\left(\cos \alpha \cos \beta\right)\).
Substitusi data:
\(\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{48}{65}=\dfrac{16}{65}\).
Karena \(\tan \alpha-\tan \beta \gt 0\), maka \(\alpha \gt \beta\) sehingga \(\sin(\alpha-\beta)\) bernilai positif, sesuai hasil \(\dfrac{16}{65}\).
Soal 28
Nilai dari \(\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3x}{\sqrt{9+x}-\sqrt{9-x}}\right)\) = …
A. \(3\)
B. \(6\)
C. \(9\)
D. \(12\)
E. \(15\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Bentuknya \(\dfrac{0}{0}\), maka rasionalkan penyebut dengan sekawan:
\(\dfrac{3x}{\sqrt{9+x}-\sqrt{9-x}}\cdot \dfrac{\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x}}\).
Penyebut menjadi:
\((9+x)-(9-x)=2x\).
Sehingga:
\(\dfrac{3x(\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x})}{2x}=\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{9+x}+\sqrt{9-x}\right)\).
Ambil limit saat \(x\to 0\):
\(\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{9}+\sqrt{9}\right)=\dfrac{3}{2}(3+3)=\dfrac{3}{2}\cdot 6=9\).
Soal 29
Nilai \(\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\cos 4x \sin 3x}{5x}\right)=\) …
A. \(\dfrac{5}{3}\)
B. \(1\)
C. \(\dfrac{3}{5}\)
D. \(\dfrac{1}{5}\)
E. \(0\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Pisahkan menjadi hasil kali dua limit yang dikenal:
\(\dfrac{\cos 4x \sin 3x}{5x}=\cos 4x \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot \dfrac{3}{5}\).
Saat \(x\to 0\), berlaku \(\cos 4x\to 1\) dan \(\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 1\). Maka:
\(\lim_{x\to 0}\left(\cos 4x \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot \dfrac{3}{5}\right)=1\cdot 1\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}\).
Soal 30
Diketahui \(h\) adalah garis singgung kurva \(y=x^3-4x^2+2x-3\) pada titik \((1,-4)\). Titik potong garis \(h\) dengan sumbu \(X\) adalah …
A. \((-3,0)\)
B. \((-2,0)\)
C. \((-1,0)\)
D. \(\left(-\dfrac{1}{2},0\right)\)
E. \(\left(-\dfrac{1}{3},0\right)\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: E
Kemiringan garis singgung ditentukan oleh turunan fungsi.
Jika \(y=x^3-4x^2+2x-3\), maka:
\(y'=3x^2-8x+2\).
Gradien di \(x=1\):
\(y'(1)=3(1)^2-8(1)+2=3-8+2=-3\).
Persamaan garis singgung melalui \((1,-4)\) dengan gradien \(-3\):
\(y-(-4)=-3(x-1)\Rightarrow y+4=-3x+3\Rightarrow y=-3x-1\).
Titik potong dengan sumbu \(X\) terjadi saat \(y=0\):
\(0=-3x-1\Rightarrow -3x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}\).
Jadi titik potongnya adalah \(\left(-\dfrac{1}{3},0\right)\).