Jawaban: A

Gunakan koordinat kubus dengan rusuk \(4\):

\(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\), \(C(4,4,0)\), \(D(0,4,0)\).

\(E(0,0,4)\), \(F(4,0,4)\), \(G(4,4,4)\), \(H(0,4,4)\).

Titik \(P\) adalah perpotongan diagonal bidang pada bidang \(AEDH\), sehingga \(P\) adalah titik tengah keduanya:

\(P=\left(0,2,2\right)\).

Titik \(Q\) adalah perpotongan diagonal bidang pada bidang \(EFGH\), sehingga:

\(Q=\left(2,2,4\right)\).

Vektor arah garis \(PQ\):

\(\vec{d}=Q-P=\left(2,0,2\right)\).

Vektor dari \(P\) ke \(B\):

\(\vec{BP}=B-P=\left(4,-2,-2\right)\).

Jarak titik ke garis adalah:

\(\text{jarak}=\dfrac{\left\lVert \vec{BP}\times \vec{d}\right\rVert}{\left\lVert \vec{d}\right\rVert}\).

Hitung \(\vec{BP}\times \vec{d}\):

\(\vec{BP}\times \vec{d}=\left(4,-2,-2\right)\times \left(2,0,2\right)=\left(-4,-12,4\right)\).

\(\left\lVert \vec{BP}\times \vec{d}\right\rVert=\sqrt{(-4)^2+(-12)^2+4^2}=\sqrt{16+144+16}=\sqrt{176}=4\sqrt{11}\).

\(\left\lVert \vec{d}\right\rVert=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

Maka jarak:

\(\dfrac{4\sqrt{11}}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{\dfrac{11}{2}}=\sqrt{22}\).

Jawaban: B

Ambil koordinat kubus: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(H(0,a,a)\), \(G(a,a,a)\).

Titik tengah \(HG\) adalah:

\(T\left(\dfrac{a}{2},a,a\right)\).

Vektor \(\overrightarrow{TB}\):

\(\overrightarrow{TB}=B-T=\left(\dfrac{a}{2},-a,-a\right)\).

Bidang \(ABCD\) adalah bidang \(z=0\). Komponen tegak lurus bidang adalah komponen \(z\), yaitu \(|-a|=a\).

Panjang proyeksi \(\overrightarrow{TB}\) pada bidang \(ABCD\) adalah panjang komponen \((x,y)\):

\(\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+(-a)^2}=a\sqrt{\dfrac{1}{4}+1}=a\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\).

Karena \(\tan \theta=\dfrac{\text{komponen tegak lurus}}{\text{komponen sejajar bidang}}\), maka:

\(\tan \theta=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).

Jawaban: A

Segi \(12\) beraturan dapat dibagi menjadi \(12\) segitiga sama kaki dengan pusat lingkaran luar sebagai puncak. Sudut pusat tiap segitiga:

\(\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ\).

Luas satu segitiga dengan dua sisi \(R=8\) dan sudut apit \(30^\circ\) adalah:

\(\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 8\cdot \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot 64\cdot \dfrac{1}{2}=16\).

Total luas segi \(12\) beraturan:

\(12\cdot 16=192\) cm\(^2\).

Jawaban: E

Karena prisma tegak, tinggi prisma adalah \(AD=8\) cm. Volume prisma:

\(\text{Volume}=\text{Luas alas}\times \text{tinggi}\).

Alas prisma adalah segitiga \(ABC\) dengan \(AB=5\), \(BC=5\), dan \(AC=5\sqrt{3}\). Cari sudut \(B\) dengan aturan cosinus:

\(\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{25+25-75}{2\cdot 5\cdot 5}=\dfrac{-25}{50}=-\dfrac{1}{2}\).

Maka \(B=120^\circ\), sehingga \(\sin B=\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Luas segitiga \(ABC\):

\(\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}\).

Volume prisma:

\(8\cdot \dfrac{25\sqrt{3}}{4}=2\cdot 25\sqrt{3}=50\sqrt{3}\) cm\(^3\).

Jawaban: D

Gunakan identitas \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), maka persamaan menjadi:

\(2\sin x\cos x+2\cos x=0\).

Faktorkan \(2\cos x\):

\(2\cos x(\sin x+1)=0\).

Maka ada dua kemungkinan:

1) \(\cos x=0\) memberi \(x=\dfrac{\pi}{2}\) atau \(x=\dfrac{3\pi}{2}\) pada \(0 \le x \lt 2\pi\).

2) \(\sin x+1=0\) memberi \(\sin x=-1\) sehingga \(x=\dfrac{3\pi}{2}\), yang sudah termasuk pada hasil (1).

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right\}\).