Soal 16
Diketahui koordinat \(A(-4,2,3)\), \(B(7,8,-1)\), dan \(C(1,0,7)\). Jika \(\overrightarrow{AB}\) wakil vektor \(\vec{u}\) dan \(\overrightarrow{AC}\) wakil vektor \(\vec{v}\), maka proyeksi \(\vec{u}\) pada \(\vec{v}\) adalah ....
A. \(3\vec{i}-\frac{6}{5}\vec{j}+\frac{12}{\sqrt{5}}\vec{k}\)
B. \(3\sqrt{5}\vec{i}-\frac{6}{\sqrt{5}}\vec{j}+\frac{12}{\sqrt{5}}\vec{k}\)
C. \(\frac{9}{5}\left(5\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\right)\)
D. \(\frac{17}{45}\left(5\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\right)\)
E. \(\frac{9}{55}\left(5\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\right)\)
Jawaban & Analisa
Tentukan vektor: \[ \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(7-(-4),\,8-2,\,-1-3)=(11,6,-4), \] \[ \vec{v}=\overrightarrow{AC}=C-A=(1-(-4),\,0-2,\,7-3)=(5,-2,4). \]
Rumus proyeksi vektor \(\vec{u}\) pada \(\vec{v}\) adalah: \[ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}. \] Hitung: \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=11\cdot 5+6\cdot(-2)+(-4)\cdot 4=55-12-16=27, \] \[ |\vec{v}|^2=5^2+(-2)^2+4^2=25+4+16=45. \]
Maka: \[ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{27}{45}\vec{v}=\frac{3}{5}(5,-2,4) =(3,-\frac{6}{5},\frac{12}{5}). \] Jadi: \[ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=3\vec{i}-\frac{6}{5}\vec{j}+\frac{12}{5}\vec{k}. \]
Perhatikan opsi yang berbentuk kelipatan \(\left(5\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\right)\). Hasil proyeksi yang benar setara dengan: \[ \frac{3}{5}\left(5\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\right), \] namun koefisien ini tidak tercantum pada pilihan. Jadi jawaban numerik proyeksinya adalah \(3\vec{i}-\frac{6}{5}\vec{j}+\frac{12}{5}\vec{k}\).
Soal 17
Sebuah garis \(3x+2y=6\) ditranslasikan dengan matriks \(\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\), dilanjutkan dilatasi dengan pusat \(O\) dan faktor \(2\). Hasil transformasinya adalah ....
A. \(3x+2y=14\)
B. \(3x+2y=7\)
C. \(3x+y=14\)
D. \(3x+y=7\)
E. \(x+3y=14\)
Jawaban & Analisa
Translasi \((3,-4)\) memetakan \((x,y)\) menjadi \((x+3,y-4)\). Untuk persamaan bayangan, substitusi invers \((x,y)\to(x-3,y+4)\) ke persamaan awal: \[ 3(x-3)+2(y+4)=6 \Rightarrow 3x+2y=7. \]
Dilatasi berpusat \(O\) faktor \(2\) memetakan \((x,y)\to(2x,2y)\). Inversnya \((x,y)\to(\frac{x}{2},\frac{y}{2})\). Substitusi ke \(3x+2y=7\): \[ 3\left(\frac{x}{2}\right)+2\left(\frac{y}{2}\right)=7 \Rightarrow 3x+2y=14. \]
Jawaban: A
Soal 18
Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut. Pada gambar ditunjukkan fungsi \(y=2^{-x}\). Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ....
A. \(y=\,^{2}\log x\)
B. \(y=\frac{1}{2}\log x\)
C. \(y=2\log x\)
D. \(y=-\,^{2}\log x\)
E. \(y=-\frac{1}{2}\log x\)
Jawaban & Analisa
Dari \(y=2^{-x}\). Tukar \(x\) dan \(y\): \[ x=2^{-y}. \] Ambil log basis \(2\): \[ \,^{2}\log x=\;^{2}\log(2^{-y})=-y. \] Maka: \[ y=-\,^{2}\log x. \] Domain invers memenuhi \(x \gt 0\).
Jawaban: D
Soal 19
Diketahui barisan aritmetika dengan \(U_n\) adalah suku ke-\(n\). Jika \(U_2+U_{15}+U_{40}=165\), maka \(U_{19}\) adalah ....
A. \(10\)
B. \(19\)
C. \(28,5\)
D. \(46\)
E. \(55\)
Jawaban & Analisa
Dengan \(U_n=a+(n-1)d\): \[ U_2=a+d,\quad U_{15}=a+14d,\quad U_{40}=a+39d. \] Jumlah: \[ (a+d)+(a+14d)+(a+39d)=3a+54d=165. \] Bagi \(3\): \[ a+18d=55. \] Tetapi: \[ U_{19}=a+(19-1)d=a+18d. \] Jadi \(U_{19}=55\).
Jawaban: E
Soal 20
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda \(3\). Jika suku kedua dikurangi \(1\), maka terbentuk barisan geometri dengan jumlah \(14\). Rasio barisan tersebut adalah ....
A. \(4\)
B. \(2\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{-1}{2}\)
E. \(-2\)
Jawaban & Analisa
Tiga suku barisan aritmetika dengan beda \(3\) dapat ditulis \((a-3),a,(a+3)\). Setelah suku kedua dikurangi \(1\), menjadi: \[ (a-3),(a-1),(a+3). \] Agar geometri: \[ (a-1)^2=(a-3)(a+3). \] Hitung: \[ a^2-2a+1=a^2-9 \Rightarrow a=5. \] Maka barisan geometri: \(2,4,8\) dengan jumlah \(14\). Rasio: \[ r=\frac{4}{2}=2. \]
Jawaban: B