Soal 11
Diketahui \((x-2)\) adalah faktor suku banyak \(f(x)=2x^3+ax^2+bx-2\). Jika \(f(x)\) dibagi \((x+3)\), maka sisa pembagiannya adalah \(-50\). Nilai \((a+b)=\) …
A. \(10\)
B. \(4\)
C. \(-6\)
D. \(-11\)
E. \(-13\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Karena \((x-2)\) faktor dari \(f(x)\), maka menurut Teorema Faktor berlaku \(f(2)=0\).
Hitung:
\(f(2)=2(2^3)+a(2^2)+b(2)-2=16+4a+2b-2=14+4a+2b\).
Syarat \(f(2)=0\) memberi:
\(14+4a+2b=0\Rightarrow 2a+b=-7\). … \((1)\)
Sisa pembagian oleh \((x+3)\) adalah \(f(-3)\) (Teorema Sisa). Diketahui sisa \(-50\), maka \(f(-3)=-50\).
Hitung:
\(f(-3)=2(-3)^3+a(-3)^2+b(-3)-2=2(-27)+9a-3b-2=-54+9a-3b-2\).
Jadi:
\(9a-3b-56=-50\Rightarrow 9a-3b=6\Rightarrow 3a-b=2\). … \((2)\)
Selesaikan sistem \((1)\) dan \((2)\):
Dari \((1)\) \(b=-7-2a\). Substitusi ke \((2)\):
\(3a-(-7-2a)=2\Rightarrow 3a+7+2a=2\Rightarrow 5a=-5\Rightarrow a=-1\).
Maka \(b=-7-2(-1)=-5\).
Sehingga \(a+b=-1+(-5)=-6\).
Catatan: Nilai ini sesuai opsi C, bukan D. Jadi jawaban yang benar adalah C.
Soal 12
Diketahui tiga tahun lalu, umur \(A\) sama dengan \(2\) kali umur \(B\). Sedangkan dua tahun yang akan datang, \(4\) kali umur \(A\) sama dengan umur \(B\) ditambah \(36\) tahun. Umur \(A\) sekarang adalah …
A. \(4\) tahun
B. \(6\) tahun
C. \(9\) tahun
D. \(12\) tahun
E. \(15\) tahun
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Misalkan umur sekarang \(A=a\) dan umur sekarang \(B=b\).
Tiga tahun lalu: \(a-3=2(b-3)\).
\(a-3=2b-6\Rightarrow a=2b-3\). … \((1)\)
Dua tahun yang akan datang: \(4(a+2)=(b+2)+36\).
\(4a+8=b+38\Rightarrow 4a=b+30\). … \((2)\)
Substitusi \((1)\) ke \((2)\):
\(4(2b-3)=b+30\Rightarrow 8b-12=b+30\Rightarrow 7b=42\Rightarrow b=6\).
Maka \(a=2b-3=2(6)-3=9\).
Catatan: Umur \(A\) sekarang \(=9\) tahun, sesuai opsi C, bukan D. Jadi jawaban yang benar adalah C.
Soal 13
Suatu perusahaan meubel memerlukan \(18\) unsur \(A\) dan \(24\) unsur \(B\) per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan \(1\) unsur \(A\) dan \(2\) unsur \(B\), sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan \(3\) unsur \(A\) dan \(2\) unsur \(B\). Jika barang jenis I dijual seharga \(Rp250.000{,}00\) per unit dan barang jenis II dijual seharga \(Rp400.000{,}00\) per unit, agar penjualannya mencapai maksimum sebanyak masing-masing barang harus dibuat?
A. \(6\) jenis I
B. \(12\) jenis II
C. \(6\) jenis I dan \(6\) jenis II
D. \(3\) jenis I dan \(9\) jenis II
E. \(9\) jenis I dan \(3\) jenis II
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Misalkan banyak barang jenis I \(=x\) dan jenis II \(=y\), dengan \(x \ge 0\) dan \(y \ge 0\).
Keterbatasan unsur \(A\): \(1x+3y \le 18\).
Keterbatasan unsur \(B\): \(2x+2y \le 24\Rightarrow x+y \le 12\).
Fungsi tujuan (pendapatan) yang dimaksimumkan:
\(Z=250.000x+400.000y\).
Titik pojok daerah feasible berasal dari perpotongan garis batas dan sumbu:
1) \((0,0)\).
2) Jika \(y=0\): dari \(x+3y \le 18\) didapat \(x \le 18\), dan dari \(x+y \le 12\) didapat \(x \le 12\), jadi titik \((12,0)\).
3) Jika \(x=0\): dari \(3y \le 18\) didapat \(y \le 6\), juga memenuhi \(y \le 12\), jadi titik \((0,6)\).
4) Perpotongan \(x+3y=18\) dan \(x+y=12\):
Kurangkan: \((x+3y)-(x+y)=18-12\Rightarrow 2y=6\Rightarrow y=3\).
Substitusi ke \(x+y=12\Rightarrow x=9\). Jadi titik \((9,3)\).
Hitung \(Z\) pada titik-titik pojok:
\((12,0)\): \(Z=250.000(12)=3.000.000\).
\((0,6)\): \(Z=400.000(6)=2.400.000\).
\((9,3)\): \(Z=250.000(9)+400.000(3)=2.250.000+1.200.000=3.450.000\).
Nilai maksimum terjadi di \((x,y)=(9,3)\), artinya \(9\) jenis I dan \(3\) jenis II. Ini sesuai opsi E, bukan D. Jadi jawaban yang benar adalah E.
Soal 14
Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix}4a & 8 & 4\\ 6 & -1 & -3b\\ 5 & 3c & 9\end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix}12 & 8 & 4\\ 6 & -1 & 3a\\ 5 & b & 9\end{pmatrix}\). Jika \(A=B\), maka \(a+b+c=\) …
A. \(-7\)
B. \(-5\)
C. \(-1\)
D. \(5\)
E. \(7\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Jika \(A=B\), maka elemen yang bersesuaian sama.
Dari elemen \((1,1)\): \(4a=12\Rightarrow a=3\).
Dari elemen \((2,3)\): \(-3b=3a\Rightarrow -3b=9\Rightarrow b=-3\).
Dari elemen \((3,2)\): \(3c=b\Rightarrow 3c=-3\Rightarrow c=-1\).
Maka \(a+b+c=3+(-3)+(-1)=-1\), sesuai opsi C, bukan B. Jadi jawaban yang benar adalah C.
Soal 15
Diberikan vektor-vektor \(\vec{a}=4\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}\) dan \(\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\). Besar sudut yang dibentuk vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) sama dengan …
A. \(30^\circ\)
B. \(45^\circ\)
C. \(60^\circ\)
D. \(90^\circ\)
E. \(120^\circ\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Gunakan rumus dot product:
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\).
Hitung \(\vec{a}\cdot\vec{b}\):
\((4)(1)+(-2)(1)+(2)(2)=4-2+4=6\).
Hitung panjang vektor:
\(|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).
\(|\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\).
Maka:
\(\cos\theta=\dfrac{6}{(2\sqrt{6})(\sqrt{6})}=\dfrac{6}{2\cdot 6}=\dfrac{1}{2}\).
Karena \(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\), maka \(\theta=60^\circ\).