Soal 31. Hasil \( \int_{0}^{1}(x^3+2x-5)\,dx \) = ….
A. | \( -\dfrac{16}{4} \) |
B. | \( -\dfrac{15}{4} \) |
C. | \( 0 \) |
D. | \( \dfrac{15}{4} \) |
E. | \( \dfrac{16}{4} \) |
Jawaban dan Analisis Soal 31
Langkah 1 (integralkan tiap suku):
\( \int (x^3+2x-5)\,dx = \dfrac{x^4}{4}+x^2-5x + C \).
Langkah 2 (substitusi batas \( 0 \) sampai \( 1 \)):
\( \left[\dfrac{x^4}{4}+x^2-5x\right]_{0}^{1} = \left(\dfrac{1}{4}+1-5\right)-\left(0+0-0\right) \).
Langkah 3 (hitung):
\( \dfrac{1}{4}+1-5=\dfrac{1}{4}-4=-\dfrac{15}{4} \).
Jawaban: B yaitu \( -\dfrac{15}{4} \).
Soal 32. Nilai \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(\cos 3x \,\sin x)\,dx \) = ….
A. | \( \dfrac{1}{6} \) |
B. | \( \dfrac{1}{8} \) |
C. | \( \dfrac{1}{16} \) |
D. | \( -\dfrac{1}{4} \) |
E. | \( -\dfrac{1}{12} \) |
Jawaban dan Analisis Soal 32
Langkah 1 (ubah bentuk hasil kali): Gunakan rumus \( \sin A\cos B=\dfrac{1}{2}\left(\sin(A+B)+\sin(A-B)\right) \).
Dengan \( A=x \) dan \( B=3x \), diperoleh:
\( \sin x\cos 3x=\dfrac{1}{2}\left(\sin 4x+\sin(-2x)\right)=\dfrac{1}{2}\left(\sin 4x-\sin 2x\right) \).
Langkah 2 (integralkan):
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(\cos 3x\sin x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\left(\sin 4x-\sin 2x\right)\,dx \).
\( =\dfrac{1}{2}\left[\,-\dfrac{\cos 4x}{4}+\dfrac{\cos 2x}{2}\,\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \).
Langkah 3 (substitusi batas):
Untuk \( x=\dfrac{\pi}{6} \): \( \cos\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2} \), dan \( \cos\left(\dfrac{2\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} \).
Untuk \( x=0 \): \( \cos 0=1 \).
\( \dfrac{1}{2}\left(\left[-\dfrac{-\frac{1}{2}}{4}+\dfrac{\frac{1}{2}}{2}\right]-\left[-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\right]\right) \)
\( =\dfrac{1}{2}\left(\left[\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}\right]-\left[\dfrac{1}{4}\right]\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{8}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{16} \).
Jawaban: C yaitu \( \dfrac{1}{16} \).
Soal 33. Hasil \( \int (2\sin x \cdot \cos^5 x)\,dx \) = ….
A. | \( -\dfrac{1}{3}\cos^6 x + C \) |
B. | \( -\dfrac{1}{6}\cos^6 x + C \) |
C. | \( -\dfrac{1}{6}\sin^6 x + C \) |
D. | \( \dfrac{1}{6}\sin^6 x + C \) |
E. | \( \dfrac{1}{3}\cos^6 x + C \) |
Jawaban dan Analisis Soal 33
Langkah 1 (substitusi): Ambil \( u=\cos x \), maka \( du=-\sin x\,dx \) atau \( \sin x\,dx=-du \).
Langkah 2 (ubah integral):
\( \int (2\sin x\cdot \cos^5 x)\,dx = \int 2u^5(\sin x\,dx)=\int 2u^5(-du)=-2\int u^5\,du \).
Langkah 3 (integralkan):
\( -2\int u^5\,du=-2\cdot\dfrac{u^6}{6}=-\dfrac{1}{3}u^6 + C \).
Langkah 4 (kembalikan \( u \)):
\( -\dfrac{1}{3}u^6 + C = -\dfrac{1}{3}\cos^6 x + C \).
Jawaban: A yaitu \( -\dfrac{1}{3}\cos^6 x + C \).
Soal 34. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus ….
A. |
\( \int_{4}^{8}2x\,dx-\int_{4}^{8}(x+4)\,dx \) |
B. |
\( \int_{4}^{8}2x\,dx+\int_{4}^{8}(x-4)\,dx \) |
C. |
\( \int_{0}^{8}\sqrt{2x}\,dx-\int_{4}^{8}(x+4)\,dx \) |
D. |
\( \int_{0}^{8}\left(\sqrt{2x}-x+4\right)\,dx \) |
E. |
\( \int_{0}^{4}\sqrt{2x}\,dx+\int_{4}^{8}\left(\sqrt{2x}-x+4\right)\,dx \) |
Jawaban dan Analisis Soal 34
Catatan: Gambar tidak digambar ulang. Dari informasi pada gambar, kurvanya \( y=\sqrt{2x} \) dan garisnya \( x-y=4 \) sehingga \( y=x-4 \).
Langkah 1 (titik potong yang dipakai): Untuk daerah yang diarsir, batas berubah saat garis memotong sumbu \( X \), yaitu ketika \( y=0 \Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4 \).
Langkah 2 (bagian kiri): Pada \( 0 \le x \le 4 \), garis \( y=x-4 \) berada di bawah sumbu \( X \), sehingga luas yang dihitung adalah luas di bawah \( y=\sqrt{2x} \) di atas sumbu \( X \):
\( \int_{0}^{4}\sqrt{2x}\,dx \).
Langkah 3 (bagian kanan): Pada \( 4 \le x \le 8 \), daerah diarsir berada di antara kurva atas \( y=\sqrt{2x} \) dan kurva bawah \( y=x-4 \), sehingga luasnya:
\( \int_{4}^{8}\left(\sqrt{2x}-(x-4)\right)\,dx=\int_{4}^{8}\left(\sqrt{2x}-x+4\right)\,dx \).
Kesimpulan: Total luas \( =\int_{0}^{4}\sqrt{2x}\,dx+\int_{4}^{8}\left(\sqrt{2x}-x+4\right)\,dx \).
Jawaban: E.
Soal 35. Volume benda putar yang terbentuk dari daerah di kuadran \( I \) yang dibatasi oleh kurva \( x=\sqrt{3}\,y^2 \), sumbu \( Y \), dan lingkaran \( x^2+y^2=4 \), diputar mengelilingi sumbu \( Y \) adalah ….
A. | \( \dfrac{16}{15}\pi \) satuan volume |
B. | \( \dfrac{32}{15}\pi \) satuan volume |
C. | \( \dfrac{34}{15}\pi \) satuan volume |
D. | \( \dfrac{40}{15}\pi \) satuan volume |
E. | \( \dfrac{46}{15}\pi \) satuan volume |
Jawaban dan Analisis Soal 35
Langkah 1 (tentukan batas peralihan): Batas kanan daerah berubah saat kurva \( x=\sqrt{3}\,y^2 \) bertemu lingkaran \( x^2+y^2=4 \).
Substitusi \( x=\sqrt{3}\,y^2 \) ke \( x^2+y^2=4 \):
\( (\sqrt{3}\,y^2)^2+y^2=4 \Rightarrow 3y^4+y^2-4=0 \).
Misal \( t=y^2 \), maka \( 3t^2+t-4=0 \Rightarrow t=\dfrac{-1+7}{6}=1 \) (yang lain negatif).
Jadi \( y^2=1 \Rightarrow y=1 \) (kuadran \( I \)).
Langkah 2 (metode cakram terhadap sumbu \( Y \)): Diputar terhadap sumbu \( Y \), jari-jari cakram \( =x \), sehingga:
\( V=\pi\int (x_{\text{kanan}})^2\,dy \).
Langkah 3 (pecah integral):
Untuk \( 0 \le y \le 1 \), batas kanan dari parabola \( x=\sqrt{3}\,y^2 \), sehingga \( x^2=3y^4 \).
Untuk \( 1 \le y \le 2 \), batas kanan dari lingkaran \( x=\sqrt{4-y^2} \), sehingga \( x^2=4-y^2 \).
\( V=\pi\left(\int_{0}^{1}3y^4\,dy+\int_{1}^{2}(4-y^2)\,dy\right) \).
Langkah 4 (hitung):
\( \int_{0}^{1}3y^4\,dy=3\left[\dfrac{y^5}{5}\right]_{0}^{1}=\dfrac{3}{5} \).
\( \int_{1}^{2}(4-y^2)\,dy=\left[4y-\dfrac{y^3}{3}\right]_{1}^{2}=\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(4-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{5}{3} \).
Jumlahnya \( \dfrac{3}{5}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{9}{15}+\dfrac{25}{15}=\dfrac{34}{15} \).
Kesimpulan: \( V=\dfrac{34}{15}\pi \).
Jawaban: C yaitu \( \dfrac{34}{15}\pi \) satuan volume.