Soal 16. Diketahui vektor \(\vec{a}=2\vec{i}-2p\vec{j}+4\vec{k}\) dan \(\vec{b}=\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\). Jika panjang proyeksi vektor \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) adalah \(\frac{6}{\sqrt{26}}\), maka nilai \(p\) adalah ....
A. \(-3\)
B. \(-2\)
C. \(-1\)
D. \(1\)
E. \(3\)
Jawaban & Analisis Soal 16
Langkah 1: Gunakan rumus panjang proyeksi.
Panjang proyeksi \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) adalah \(\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}\).
Langkah 2: Hitung \(|\vec{b}|\).
\(\vec{b}=(1,-3,4)\) sehingga
\(|\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}\).
Langkah 3: Samakan dengan nilai proyeksi yang diberikan.
\(\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{\sqrt{26}}=\frac{6}{\sqrt{26}}\Rightarrow |\vec{a}\cdot \vec{b}|=6\).
Langkah 4: Hitung \(\vec{a}\cdot \vec{b}\).
\(\vec{a}=(2,-2p,4)\) dan \(\vec{b}=(1,-3,4)\).
\(\vec{a}\cdot \vec{b}=2(1)+(-2p)(-3)+4(4)=2+6p+16=18+6p\).
Langkah 5: Gunakan \(|18+6p|=6\).
\(|18+6p|=6 \Rightarrow 18+6p=6\) atau \(18+6p=-6\).
Jika \(18+6p=6\Rightarrow 6p=-12\Rightarrow p=-2\).
Jika \(18+6p=-6\Rightarrow 6p=-24\Rightarrow p=-4\) (tidak ada di pilihan).
Jawaban benar: B yaitu \(-2\).
Soal 17. Persamaan bayangan lingkaran \(x^2+y^2=4\) bila dicerminkan terhadap garis \(x=2\) dan dilanjutkan dengan translasi \(\begin{pmatrix}-3\\ 4\end{pmatrix}\) adalah ....
A. \(x^2+y^2-2x-8y+13=0\)
B. \(x^2+y^2+2x-8y+13=0\)
C. \(x^2+y^2-2x+8y+13=0\)
D. \(x^2+y^2+2x+8y+13=0\)
E. \(x^2+y^2+8x-2y+13=0\)
Jawaban & Analisis Soal 17
Langkah 1: Tentukan pusat lingkaran awal.
\(x^2+y^2=4\) berpusat di \((0,0)\) dengan jari-jari \(2\).
Langkah 2: Cermin terhadap \(x=2\).
Pencerminan terhadap garis \(x=2\) memetakan \((x,y)\rightarrow (4-x,y)\).
Maka pusat \((0,0)\) menjadi \((4,0)\).
Persamaan lingkaran hasil cermin: \((x-4)^2+y^2=4\).
Langkah 3: Translasi \(\begin{pmatrix}-3\\ 4\end{pmatrix}\).
Translasi \((-3,4)\) berarti pusat bergeser \(3\) ke kiri dan \(4\) ke atas.
Pusat \((4,0)\) menjadi \((1,4)\).
Maka persamaan lingkaran akhirnya: \((x-1)^2+(y-4)^2=4\).
Langkah 4: Ubah ke bentuk umum.
\((x-1)^2+(y-4)^2=4\).
\(x^2-2x+1+y^2-8y+16=4\).
\(x^2+y^2-2x-8y+13=0\).
Jawaban benar: A.
Soal 18. Himpunan penyelesaian dari \(3^{2x}-6\cdot 3^x \lt 27\) adalah ....
A. \(\{x \mid x \lt -3,\ x\in \mathbb{R}\}\)
B. \(\{x \mid x \lt -2,\ x\in \mathbb{R}\}\)
C. \(\{x \mid x \lt 2,\ x\in \mathbb{R}\}\)
D. \(\{x \mid x \gt 2,\ x\in \mathbb{R}\}\)
E. \(\{x \mid x \gt 3,\ x\in \mathbb{R}\}\)
Jawaban & Analisis Soal 18
Langkah 1: Substitusi \(t=3^x\).
Karena \(3^x \gt 0\), misalkan \(t=3^x\), maka \(3^{2x}=(3^x)^2=t^2\).
Langkah 2: Ubah pertidaksamaan.
\(t^2-6t \lt 27 \Rightarrow t^2-6t-27 \lt 0\).
Langkah 3: Cari akar kuadrat.
\(t^2-6t-27=0\Rightarrow t=\frac{6\pm \sqrt{36+108}}{2}=\frac{6\pm 12}{2}\).
Akar: \(t=9\) dan \(t=-3\).
Langkah 4: Tentukan interval yang memenuhi.
Karena grafik parabola terbuka ke atas, maka \(t^2-6t-27 \lt 0\) untuk \(-3 \lt t \lt 9\).
Tetapi \(t=3^x \gt 0\), jadi \(0 \lt t \lt 9\).
Langkah 5: Kembalikan ke \(x\).
\(3^x \lt 9 = 3^2 \Rightarrow x \lt 2\).
Jawaban benar: C.
Soal 19. Penyelesaian pertidaksamaan \(^{2}\log(x-1)\cdot {}^{4+x}\log 4 \lt 2-{}^{4+x}\log 4\) adalah ....
A. \(2 \lt x \lt 6\)
B. \(1 \lt x \lt 2\)
C. \(1 \lt x \lt 6\)
D. \(x \gt 2\)
E. \(x \gt 6\)
Jawaban & Analisis Soal 19
Langkah 1: Tentukan domain.
Agar \(^{2}\log(x-1)\) terdefinisi: \(x-1 \gt 0 \Rightarrow x \gt 1\).
Agar \(^{4+x}\log 4\) terdefinisi: \(4+x \gt 0\) dan \(4+x \ne 1\).
Jika \(x \gt 1\), maka \(4+x \gt 5\) sehingga syarat terpenuhi.
Langkah 2: Misalkan \(A={}^{4+x}\log 4\).
Untuk \(x \gt 1\), basis \(4+x \gt 1\) dan argumen \(4 \gt 1\), maka \(A \gt 0\).
Langkah 3: Pindahkan suku dan faktorkan.
\(^{2}\log(x-1)\cdot A \lt 2-A\).
\(^{2}\log(x-1)\cdot A + A \lt 2\).
\(A\left(^{2}\log(x-1)+1\right) \lt 2\).
Langkah 4: Ubah \(\frac{2}{A}\) menjadi log basis \(2\).
Karena \(A={}^{4+x}\log 4=\frac{\ln 4}{\ln(4+x)}\), maka
\(\frac{2}{A}=2\cdot \frac{\ln(4+x)}{\ln 4}=2\cdot \frac{\ln(4+x)}{2\ln 2}=\frac{\ln(4+x)}{\ln 2}={}^{2}\log(4+x)\).
Langkah 5: Selesaikan pertidaksamaan log.
Karena \(A \gt 0\), maka
\(^{2}\log(x-1)+1 \lt {}^{2}\log(4+x)\).
\(1 = {}^{2}\log 2\), sehingga
\(^{2}\log(x-1)+{}^{2}\log 2 \lt {}^{2}\log(4+x)\).
\(^{2}\log(2(x-1)) \lt {}^{2}\log(4+x)\).
Karena log basis \(2\) naik, maka
\(2(x-1) \lt 4+x\Rightarrow 2x-2 \lt x+4 \Rightarrow x \lt 6\).
Langkah 6: Gabungkan dengan domain.
Domain \(x \gt 1\) dan hasil \(x \lt 6\), jadi \(1 \lt x \lt 6\).
Jawaban benar: C.
Soal 20. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak kursi baris di belakang lebih \(4\) kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat \(15\) baris kursi dan baris terdepan ada \(20\) kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah ....
A. \(1200\) kursi
B. \(800\) kursi
C. \(720\) kursi
D. \(600\) kursi
E. \(300\) kursi
Jawaban & Analisis Soal 20
Langkah 1: Identifikasi barisan aritmetika.
Banyak kursi per baris membentuk barisan aritmetika dengan
suku pertama \(a=20\), beda \(d=4\), dan banyak suku \(n=15\).
Langkah 2: Gunakan rumus jumlah \(n\) suku pertama.
\(S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)\).
Langkah 3: Substitusi nilai.
\(S_{15}=\frac{15}{2}\left(2(20)+(15-1)(4)\right)\).
\(S_{15}=\frac{15}{2}\left(40+56\right)=\frac{15}{2}(96)=15(48)=720\).
Jawaban benar: C yaitu \(720\) kursi.