Soal 11. Diketahui fungsi \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dan \( g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dirumuskan dengan \( f(x)=2x-1 \) dan \( g(x)=\dfrac{x+3}{2-x} \), \( x\ne 2 \). Fungsi invers dari \( (f\circ g)(x) \) adalah ....
A. \( (f\circ g)^{-1}(x)=\dfrac{2x+4}{x+3} \), \( x\ne -3 \)
B. \( (f\circ g)^{-1}(x)=\dfrac{2x-4}{x+3} \), \( x\ne -3 \)
C. \( (f\circ g)^{-1}(x)=\dfrac{2x+4}{x-3} \), \( x\ne 3 \)
D. \( (f\circ g)^{-1}(x)=\dfrac{3x-2}{2x+2} \), \( x\ne -1 \)
E. \( (f\circ g)^{-1}(x)=\dfrac{3x-2}{-2x+2} \), \( x\ne 1 \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (susun \( (f\circ g)(x) \)):
\( (f\circ g)(x)=f(g(x))=2\cdot \dfrac{x+3}{2-x}-1 \).
Samakan penyebut:
\( 2\cdot \dfrac{x+3}{2-x}-1=\dfrac{2(x+3)}{2-x}-\dfrac{2-x}{2-x}=\dfrac{2x+6-2+x}{2-x}=\dfrac{3x+4}{2-x} \).
Langkah 2 (cari invers): Misalkan \( y=\dfrac{3x+4}{2-x} \).
\( y(2-x)=3x+4 \Rightarrow 2y-yx=3x+4 \).
Pindahkan suku yang memuat \( x \):
\( -yx-3x=4-2y \Rightarrow x(-y-3)=4-2y \).
\( x=\dfrac{4-2y}{-y-3}=\dfrac{2y-4}{y+3} \).
Langkah 3 (ganti \( y \) menjadi \( x \)):
\( (f\circ g)^{-1}(x)=\dfrac{2x-4}{x+3} \), dengan syarat \( x\ne -3 \).
Jawaban: B.
Soal 12. Di Zedland ada dua media massa koran yang sedang mencari orang untuk bekerja sebagai penjual koran. Iklan menunjukkan skema pembayaran berikut.
Joko akan menjadi penjual koran dan harus memilih bekerja pada Media Zedland atau Harian Zedland. Grafik manakah \( (A\text{ s.d. }E) \) yang menggambarkan bagaimana koran membayar penjualnya?
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (bentuk fungsi pembayaran): Misalkan \( x \) = jumlah koran terjual per minggu.
Media Zedland:
Jika \( x\le 240 \), maka \( M(x)=0{,}20x \).
Jika \( x\gt 240 \), maka \( M(x)=0{,}20\cdot 240+0{,}40(x-240)=48+0{,}40x-96=0{,}40x-48 \).
Artinya grafik Media Zedland berupa garis dari titik asal, lalu membelok (kemiringan bertambah) saat \( x=240 \).
Harian Zedland:
\( H(x)=60+0{,}05x \), yaitu garis lurus dengan titik potong sumbu \( y \) di \( 60 \) dan kemiringan kecil.
Langkah 2 (ciri grafik yang benar):
\( H(x) \) mulai dari atas (karena ada \( 60 \)), sedangkan \( M(x) \) mulai dari \( 0 \) dan punya titik belok di \( x=240 \) serta makin curam setelahnya.
Kesimpulan: Grafik yang menunjukkan \( H(x) \) garis lurus berintersep \( 60 \) dan \( M(x) \) garis patah dengan belok di \( x=240 \) adalah Grafik \( D \).
Jawaban: D.
Soal 13. Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}2x&-3\\3&-1\end{pmatrix} \), \( B=\begin{pmatrix}x-y&0\\y+1&3\end{pmatrix} \), dan \( C=\begin{pmatrix}-4&5\\-3&2\end{pmatrix} \). Jika \( C^{t} \) adalah transpose matriks \( C \) dan \( A+B=C^{t} \), maka nilai \( 3x+2y \) adalah ....
A. \( -1 \)
B. \( -7 \)
C. \( -11 \)
D. \( -14 \)
E. \( -25 \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (transpose \( C \)):
\( C^{t}=\begin{pmatrix}-4&-3\\5&2\end{pmatrix} \).
Langkah 2 (hitung \( A+B \)):
\( A+B=\begin{pmatrix}2x+(x-y)&-3+0\\3+(y+1)&-1+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-y&-3\\y+4&2\end{pmatrix} \).
Langkah 3 (samakan elemen):
\( \begin{pmatrix}3x-y&-3\\y+4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-3\\5&2\end{pmatrix} \).
Dari \( y+4=5 \Rightarrow y=1 \).
Dari \( 3x-y=-4 \Rightarrow 3x-1=-4 \Rightarrow 3x=-3 \Rightarrow x=-1 \).
Langkah 4 (hitung \( 3x+2y \)):
\( 3x+2y=3(-1)+2(1)=-3+2=-1 \).
Jawaban: A yaitu \( -1 \).
Soal 14. Diketahui vektor-vektor \( \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix} \), \( \vec{b}=\begin{pmatrix}4\\4\\m\end{pmatrix} \), dan \( \vec{c}=\begin{pmatrix}3\\-4\\5\end{pmatrix} \). Jika \( \vec{a} \) tegak lurus \( \vec{b} \), maka hasil dari \( \vec{a}+\vec{b}-2\vec{c} \) adalah ....
A. \( \begin{pmatrix}-1\\14\\-9\end{pmatrix} \)
B. \( \begin{pmatrix}-1\\14\\-4\end{pmatrix} \)
C. \( \begin{pmatrix}-1\\14\\-3\end{pmatrix} \)
D. \( \begin{pmatrix}-1\\14\\-2\end{pmatrix} \)
E. \( \begin{pmatrix}-1\\14\\-1\end{pmatrix} \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (syarat tegak lurus): \( \vec{a}\cdot \vec{b}=0 \).
\( \vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 4+2\cdot 4+(-3)\cdot m=4+8-3m=12-3m \).
\( 12-3m=0 \Rightarrow m=4 \).
Langkah 2 (hitung \( \vec{a}+\vec{b}-2\vec{c} \)):
\( \vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}3\\-4\\5\end{pmatrix} \).
Komponen per komponen:
\( \begin{pmatrix}1+4-6\\2+4-2(-4)\\-3+4-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\14\\-9\end{pmatrix} \).
Jawaban: A.
Soal 15. Diketahui vektor-vektor \( \vec{u}=a\vec{i}+9\vec{j}+b\vec{k} \) dan \( \vec{v}=-b\vec{i}+a\vec{j}+a\vec{k} \). Sudut antara \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) adalah \( \theta \) dengan \( \cos\theta=\dfrac{6}{11} \). Proyeksi \( \vec{u} \) pada \( \vec{v} \) adalah \( \vec{p}=-2\vec{i}+4\vec{j}+4\vec{k} \). Nilai \( b \) adalah ....
A. \( \sqrt{2} \)
B. \( 2 \)
C. \( 2\sqrt{2} \)
D. \( 4 \)
E. \( 4\sqrt{2} \)
Klik untuk melihat Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (gunakan fakta proyeksi): Jika \( \mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\vec{p} \), maka \( \vec{p} \) sejajar \( \vec{v} \).
Artinya ada skalar \( t \) sehingga \( \vec{v}=t\vec{p} \).
Komponen \( \vec{v}=(-b,a,a) \) dan \( \vec{p}=(-2,4,4) \), maka:
\( (-b,a,a)=t(-2,4,4) \Rightarrow b=2t \) dan \( a=4t \).
Langkah 2 (tulis \( \vec{u} \) dan \( \vec{v} \) dalam \( t \)):
\( \vec{u}=(a,9,b)=(4t,9,2t) \).
\( \vec{v}=(-b,a,a)=(-2t,4t,4t) \).
Langkah 3 (pakai \( \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert} \)):
\( \vec{u}\cdot\vec{v}=(4t)(-2t)+9(4t)+(2t)(4t)=-8t^2+36t+8t^2=36t \).
\( \lVert\vec{v}\rVert=\sqrt{(-2t)^2+(4t)^2+(4t)^2}=\sqrt{36t^2}=6|t| \).
\( \lVert\vec{u}\rVert=\sqrt{(4t)^2+9^2+(2t)^2}=\sqrt{16t^2+81+4t^2}=\sqrt{20t^2+81} \).
Maka:
\( \cos\theta=\dfrac{36t}{6|t|\sqrt{20t^2+81}}=\dfrac{6}{\sqrt{20t^2+81}} \) (karena \( \cos\theta\gt 0 \Rightarrow t\gt 0 \)).
Langkah 4 (samakan dengan \( \dfrac{6}{11} \)):
\( \dfrac{6}{\sqrt{20t^2+81}}=\dfrac{6}{11} \Rightarrow \sqrt{20t^2+81}=11 \).
\( 20t^2+81=121 \Rightarrow 20t^2=40 \Rightarrow t^2=2 \Rightarrow t=\sqrt{2} \).
Langkah 5 (cari \( b \)):
\( b=2t=2\sqrt{2} \).
Jawaban: C yaitu \( 2\sqrt{2} \).