Soal 1. Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1: Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2: Jika harga bahan pokok naik, maka beberapa orang tidak senang.
Premis 3: Semua orang senang.
Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah ....
Jawaban & Analisis Soal 1
Jawaban: B
Misalkan:
\( p \): “harga BBM naik”, \( q \): “harga bahan pokok naik”, \( r \): “beberapa orang tidak senang”, \( s \): “semua orang senang”.
Premis 1: \( p \Rightarrow q \).
Premis 2: \( q \Rightarrow r \).
Premis 3: \( s \) yang berarti “semua orang senang”, sehingga tidak mungkin ada orang yang tidak senang. Jadi \( s \Rightarrow \neg r \), maka dari premis 3 dapat disimpulkan \( \neg r \).
Dari premis 2 \( q \Rightarrow r \), ambil kontraposisi:
\( \neg r \Rightarrow \neg q \).
Karena sudah didapat \( \neg r \), maka \( \neg q \) (harga bahan pokok tidak naik).
Dari premis 1 \( p \Rightarrow q \), ambil kontraposisi:
\( \neg q \Rightarrow \neg p \).
Karena \( \neg q \), maka \( \neg p \). Artinya harga BBM tidak naik.
Analisis opsi:
A bertentangan dengan hasil \( \neg p \).
B sesuai \( \neg p \), sehingga benar.
C berbentuk \( \neg p \lor r \); memang bisa benar, tetapi kesimpulan paling langsung dari rangkaian premis adalah \( \neg p \) (opsi B).
D tidak dapat benar karena dari premis 3 diperoleh \( \neg r \).
E memang dapat diturunkan dari premis 1 dan 2 (silogisme), tetapi setelah dipakai premis 3 justru didapat \( \neg p \) sebagai kesimpulan yang lebih tegas.
Soal 2. Pernyataan “Jika pejabat negara jujur maka semua rakyat hidup sejahtera” setara dengan pernyataan ....
Jawaban & Analisis Soal 2
Jawaban: C
Misalkan \( p \): “pejabat negara jujur” dan \( q \): “semua rakyat hidup sejahtera”.
Pernyataan asal adalah \( p \Rightarrow q \).
Pernyataan yang setara (ekuivalen) adalah kontraposisi:
\( \neg q \Rightarrow \neg p \).
Makna \( \neg q \): “tidak semua rakyat hidup sejahtera”, artinya “ada rakyat hidup tidak sejahtera”.
Jadi bentuknya: “Jika ada rakyat hidup tidak sejahtera, maka pejabat negara tidak jujur”, yaitu opsi C.
Soal 3. Bentuk sederhana dari \( \left(\dfrac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^{5}b^{-3}c}\right)^{-1} \) adalah ....
Jawaban & Analisis Soal 3
Jawaban: A
Sederhanakan isi kurung terlebih dahulu:
\( \dfrac{3a^{-2}bc^{-3}}{24a^{5}b^{-3}c}=\dfrac{3}{24}\cdot a^{-2-5}\cdot b^{1-(-3)}\cdot c^{-3-1} \).
Maka:
\( =\dfrac{1}{8}\cdot a^{-7}\cdot b^{4}\cdot c^{-4} \).
Karena dipangkatkan \( -1 \), hasilnya adalah kebalikan:
\( \left(\dfrac{1}{8}a^{-7}b^{4}c^{-4}\right)^{-1}=8\cdot a^{7}\cdot b^{-4}\cdot c^{4}=\dfrac{8a^{7}c^{4}}{b^{4}} \).
Soal 4. Bentuk sederhana dari \( \dfrac{12}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \) adalah ....
Jawaban & Analisis Soal 4
Jawaban: D
Rasionalkan penyebut dengan mengalikan sekawan:
\( \dfrac{12}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\dfrac{12(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2} \).
Penyebut:
\( 6-2=4 \).
Jadi:
\( \dfrac{12(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}=3(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \).
Soal 5. Hasil dari \( \dfrac{{}^{3}\log 25\cdot {}^{5}\log 81-{}^{4}\log 2}{{}^{3}\log 36-{}^{3}\log 4} \) adalah ....
Jawaban & Analisis Soal 5
Jawaban: B
Sederhanakan penyebut:
\( {}^{3}\log 36-{}^{3}\log 4={}^3\log\left(\dfrac{36}{4}\right)={}^3\log 9=2 \).
Sederhanakan pembilang:
\( {}^{3}\log 25={}^3\log(5^2)=2\cdot {}^{3}\log 5 \).
\( {}^{5}\log 81={}^5\log(3^4)=4\cdot {}^{5}\log 3 \).
Maka:
\( {}^{3}\log 25\cdot {}^{5}\log 81=8\cdot ({}^{3}\log 5)\cdot({}^{5}\log 3) \).
Gunakan identitas \( ({}^{3}\log 5)\cdot({}^{5}\log 3)=1 \), sehingga produk \( =8 \).
Selain itu \( {}^{4}\log 2=\dfrac{1}{2} \) karena \( 4^{1/2}=2 \).
Jadi pembilang:
\( 8-\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2} \).
Nilai seluruh pecahan:
\( \dfrac{\frac{15}{2}}{2}=\dfrac{15}{4} \).