No 1
Soal
Grafik fungsi \( f(x) = 2x^2 - x - 1 \) dan \( g(x) = x^2 - 3x + 7 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( K(a,b) \) dan \( L(c,d) \). Garis \( m \) melalui kedua titik tersebut.
Jika garis \( y = px + q \) tegak lurus pada garis \( m \) dan melalui titik \( (1,1) \), nilai \( p + q \) sama dengan …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (langkah sangat pelan untuk pemula)
Langkah 1: Menentukan titik potong kedua grafik
Dua grafik berpotongan saat nilai fungsi sama, maka:
\( f(x) = g(x) \)
\( 2x^2 - x - 1 = x^2 - 3x + 7 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( 2x^2 - x - 1 - x^2 + 3x - 7 = 0 \)
Sederhanakan:
\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
Faktorkan:
\( (x + 4)(x - 2) = 0 \)
Maka:
\( x = -4 \) atau \( x = 2 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat titik potong
Substitusikan ke salah satu fungsi, misalnya \( f(x) \).
Untuk \( x = -4 \):
\( f(-4) = 2(-4)^2 - (-4) - 1 = 32 + 4 - 1 = 35 \)
Titik pertama: \( K(-4,35) \)
Untuk \( x = 2 \):
\( f(2) = 2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 \)
Titik kedua: \( L(2,5) \)
Langkah 3: Menentukan gradien garis \( m \)
Gunakan rumus gradien:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Dengan titik \( K(-4,35) \) dan \( L(2,5) \):
\( m = \dfrac{5 - 35}{2 - (-4)} = \dfrac{-30}{6} = -5 \)
Jadi gradien garis \( m \) adalah \( -5 \).
Langkah 4: Menentukan gradien garis yang tegak lurus
Jika dua garis saling tegak lurus, maka:
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
Gradien garis \( m \) adalah \( -5 \), sehingga gradien garis \( y = px + q \):
\( p = \dfrac{1}{5} \)
Langkah 5: Menentukan nilai \( q \)
Garis \( y = px + q \) melalui titik \( (1,1) \), maka:
\( 1 = \dfrac{1}{5}(1) + q \)
\( 1 = \dfrac{1}{5} + q \)
\( q = \dfrac{4}{5} \)
Langkah 6: Menentukan nilai \( p + q \)
\( p + q = \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} = 1 \)
Jawaban akhir
Nilai \( p + q \) sama dengan:
\( 1 \)
No 2
Soal
Grafik fungsi \( f(x) = 2x^2 - 5x - 3 \) dan \( g(x) = x^2 + x - 3 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( K(a,b) \) dan \( L(c,d) \). Garis \( m \) melalui kedua titik tersebut.
Jika garis \( y = px + q \) tegak lurus pada garis \( m \) dan melalui titik \( (1,-2) \), nilai \( p + q \) sama dengan …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Menentukan gradien garis \( m \)
Titik potong memenuhi:
\( f(x) = g(x) \)
\( 2x^2 - 5x - 3 = x^2 + x - 3 \)
Pindahkan ke satu ruas:
\( 2x^2 - 5x - 3 - x^2 - x + 3 = 0 \)
\( x^2 - 6x = 0 \)
\( x(x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0 \) atau \( x = 6 \)
Langkah 2: Menentukan dua titik potong
Gunakan \( g(x) \).
Untuk \( x = 0 \):
\( g(0) = -3 \Rightarrow K(0,-3) \)
Untuk \( x = 6 \):
\( g(6) = 36 + 6 - 3 = 39 \Rightarrow L(6,39) \)
Langkah 3: Gradien garis \( m \)
\( m = \dfrac{39 - (-3)}{6 - 0} = \dfrac{42}{6} = 7 \)
Langkah 4: Gradien garis tegak lurus
Jika tegak lurus:
\( p \cdot 7 = -1 \Rightarrow p = -\dfrac{1}{7} \)
Langkah 5: Menentukan \( q \)
Garis melalui \( (1,-2) \):
\( -2 = -\dfrac{1}{7}(1) + q \)
\( q = -2 + \dfrac{1}{7} = -\dfrac{13}{7} \)
Langkah 6: Hitung \( p + q \)
\( p + q = -\dfrac{1}{7} - \dfrac{13}{7} = -\dfrac{14}{7} = -2 \)
Jawaban akhir
\( -2 \)
No 3
Soal
Grafik fungsi \( g(x) = x^2 + 4x + 3 \) dan \( h(x) = 3x^2 - 2x - 5 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( P(a,b) \) dan \( Q(c,d) \). Garis \( t \) melalui kedua titik tersebut.
Persamaan garis yang sejajar dengan garis \( t \) dan melalui titik \( (-1,2) \) adalah …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (langkah sangat pelan untuk pemula)
Langkah 1: Menentukan gradien garis \( t \)
Garis \( t \) melalui dua titik potong grafik, maka gradiennya dapat dicari dari dua titik potong tersebut. Titik potong diperoleh dengan menyamakan kedua fungsi:
\( g(x) = h(x) \)
\( x^2 + 4x + 3 = 3x^2 - 2x - 5 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( x^2 + 4x + 3 - 3x^2 + 2x + 5 = 0 \)
Sederhanakan:
\( -2x^2 + 6x + 8 = 0 \)
Kalikan dengan \( -1 \):
\( 2x^2 - 6x - 8 = 0 \)
Bagi 2:
\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
Faktorkan:
\( (x - 4)(x + 1) = 0 \)
Maka:
\( x = 4 \) atau \( x = -1 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat dua titik potong
Substitusikan ke fungsi \( g(x) \).
Untuk \( x = 4 \):
\( g(4) = 4^2 + 4(4) + 3 = 16 + 16 + 3 = 35 \)
Titik \( P(4,35) \)
Untuk \( x = -1 \):
\( g(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \)
Titik \( Q(-1,0) \)
Langkah 3: Menghitung gradien garis \( t \)
Gunakan rumus gradien:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Dengan titik \( P(4,35) \) dan \( Q(-1,0) \):
\( m = \dfrac{35 - 0}{4 - (-1)} = \dfrac{35}{5} = 7 \)
Jadi gradien garis \( t \) adalah \( 7 \).
Langkah 4: Menentukan persamaan garis yang sejajar
Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Maka gradien garis yang dicari juga \( 7 \).
Gunakan bentuk:
\( y = mx + c \)
dengan \( m = 7 \).
Langkah 5: Menentukan konstanta
Garis melalui titik \( (-1,2) \), maka:
\( 2 = 7(-1) + c \)
\( 2 = -7 + c \)
\( c = 9 \)
Jawaban akhir
Persamaan garis yang sejajar dengan garis \( t \) dan melalui titik \( (-1,2) \) adalah:
\( y = 7x + 9 \)
No 4
Soal
Grafik fungsi \( g(x) = x^2 - 2x - 3 \) dan \( h(x) = 3x^2 + 6x - 3 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( P(a,b) \) dan \( Q(c,d) \). Garis \( t \) melalui kedua titik tersebut.
Persamaan garis yang sejajar dengan garis \( t \) dan melalui titik \( (-2,5) \) adalah …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (detail untuk pemula)
Langkah 1: Cari titik potong kedua grafik
Karena berpotongan, maka:
\( g(x) = h(x) \)
\( x^2 - 2x - 3 = 3x^2 + 6x - 3 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( x^2 - 2x - 3 - 3x^2 - 6x + 3 = 0 \)
Sederhanakan:
\( -2x^2 - 8x = 0 \)
Faktorkan:
\( -2x(x + 4) = 0 \)
Maka:
\( x = 0 \) atau \( x = -4 \)
Langkah 2: Cari koordinat titik potong
Substitusikan ke \( g(x) \).
Untuk \( x = 0 \):
\( g(0) = -3 \Rightarrow P(0,-3) \)
Untuk \( x = -4 \):
\( g(-4) = (-4)^2 - 2(-4) - 3 = 16 + 8 - 3 = 21 \Rightarrow Q(-4,21) \)
Langkah 3: Gradien garis \( t \)
\( m = \dfrac{21 - (-3)}{-4 - 0} = \dfrac{24}{-4} = -6 \)
Jadi gradien garis \( t \) adalah \( -6 \).
Langkah 4: Garis sejajar memiliki gradien sama
Maka gradien garis yang dicari juga \( -6 \). Gunakan bentuk:
\( y = mx + c \)
\( y = -6x + c \)
Langkah 5: Masukkan titik \( (-2,5) \) untuk mencari \( c \)
\( 5 = -6(-2) + c \)
\( 5 = 12 + c \)
\( c = -7 \)
Jawaban akhir
Persamaan garis yang sejajar dengan garis \( t \) dan melalui titik \( (-2,5) \) adalah:
\( y = -6x - 7 \)
No 5
Soal
Grafik fungsi \( g(x) = x^2 - 20 \) dan garis \( ax - 2y + 30 = 0 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( C(p,q) \) dan \( D(-5,t) \).
Persamaan garis yang tegak lurus pada garis \( k \) dan melewati titik \( (1,1) \) adalah …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (langkah sangat pelan untuk pemula)
Langkah 1: Menentukan nilai \( t \)
Karena titik \( D(-5,t) \) berada pada grafik \( g(x) = x^2 - 20 \), maka:
\( t = g(-5) \)
\( t = (-5)^2 - 20 = 25 - 20 = 5 \)
Jadi titik \( D \) adalah \( (-5,5) \).
Langkah 2: Menentukan nilai \( a \)
Titik \( (-5,5) \) juga terletak pada garis \( ax - 2y + 30 = 0 \). Substitusikan \( x = -5 \) dan \( y = 5 \):
\( a(-5) - 2(5) + 30 = 0 \)
\( -5a - 10 + 30 = 0 \)
\( -5a + 20 = 0 \)
\( -5a = -20 \Rightarrow a = 4 \)
Langkah 3: Menentukan gradien garis \( k \)
Persamaan garis \( k \) adalah:
\( 4x - 2y + 30 = 0 \)
Ubah ke bentuk \( y = mx + c \):
\( -2y = -4x - 30 \)
\( y = 2x + 15 \)
Maka gradien garis \( k \) adalah:
\( m_k = 2 \)
Langkah 4: Gradien garis yang tegak lurus
Jika dua garis saling tegak lurus, maka:
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
Karena gradien garis \( k \) adalah \( 2 \), maka gradien garis yang tegak lurus:
\( m = -\dfrac{1}{2} \)
Langkah 5: Menentukan persamaan garis
Garis melalui titik \( (1,1) \), gunakan bentuk:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x - 1) \)
Sederhanakan:
\( y - 1 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \)
\( y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \)
Jawaban akhir
Persamaan garis yang tegak lurus pada garis \( k \) dan melewati titik \( (1,1) \) adalah:
\( y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \)
No 6
Soal
Grafik fungsi \( g(x) = x^2 - 36 \) dan garis \( ax - 3y + 24 = 0 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( C(p,q) \) dan \( D(-6,t) \).
Persamaan garis yang tegak lurus pada garis \( k \) dan melewati titik \( (2,-1) \) adalah …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (langkah sangat pelan untuk pemula)
Langkah 1: Menentukan nilai \( t \)
Karena titik \( D(-6,t) \) berada pada grafik \( g(x) = x^2 - 36 \), maka:
\( t = g(-6) \)
\( t = (-6)^2 - 36 = 36 - 36 = 0 \)
Jadi titik \( D \) adalah \( (-6,0) \).
Langkah 2: Menentukan nilai \( a \)
Titik \( (-6,0) \) juga terletak pada garis \( ax - 3y + 24 = 0 \). Substitusikan \( x = -6 \) dan \( y = 0 \):
\( a(-6) - 3(0) + 24 = 0 \)
\( -6a + 24 = 0 \)
\( -6a = -24 \Rightarrow a = 4 \)
Langkah 3: Menentukan gradien garis \( k \)
Persamaan garis \( k \) menjadi:
\( 4x - 3y + 24 = 0 \)
Ubah ke bentuk \( y = mx + c \):
\( -3y = -4x - 24 \)
\( y = \dfrac{4}{3}x + 8 \)
Maka gradien garis \( k \) adalah:
\( m_k = \dfrac{4}{3} \)
Langkah 4: Gradien garis yang tegak lurus
Jika dua garis saling tegak lurus, maka:
\( m_k \cdot m = -1 \)
\( \dfrac{4}{3} \cdot m = -1 \Rightarrow m = -\dfrac{3}{4} \)
Langkah 5: Menentukan persamaan garis melalui titik \( (2,-1) \)
Gunakan bentuk:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-1) = -\dfrac{3}{4}(x - 2) \)
\( y + 1 = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{2} \)
\( y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{2} - 1 \)
\( y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2} \)
Jawaban akhir
Persamaan garis yang tegak lurus pada garis \( k \) dan melewati titik \( (2,-1) \) adalah:
\( y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2} \)
No 7
Soal
Grafik fungsi \( f(x) = 2x^2 - x + 1 \) dan \( g(x) = x^2 + 2x - 1 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( A(a,b) \) dan \( B(p,q) \). Garis \( l \) melalui kedua titik tersebut.
Jika garis \( y = kx - c \) sejajar dengan garis \( l \) dan melalui titik \( (5,3) \), nilai \( c - k \) sama dengan …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (langkah sangat pelan untuk pemula)
Langkah 1: Menentukan titik potong kedua grafik
Dua grafik berpotongan saat nilainya sama, maka:
\( f(x) = g(x) \)
\( 2x^2 - x + 1 = x^2 + 2x - 1 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( 2x^2 - x + 1 - x^2 - 2x + 1 = 0 \)
Sederhanakan:
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
Faktorkan:
\( (x - 1)(x - 2) = 0 \)
Maka:
\( x = 1 \) atau \( x = 2 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat titik potong
Substitusikan ke salah satu fungsi, misalnya \( g(x) \).
Untuk \( x = 1 \):
\( g(1) = 1^2 + 2(1) - 1 = 2 \)
Titik \( A(1,2) \)
Untuk \( x = 2 \):
\( g(2) = 2^2 + 2(2) - 1 = 7 \)
Titik \( B(2,7) \)
Langkah 3: Menentukan gradien garis \( l \)
Gunakan rumus gradien:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Dengan titik \( A(1,2) \) dan \( B(2,7) \):
\( m = \dfrac{7 - 2}{2 - 1} = 5 \)
Jadi gradien garis \( l \) adalah \( 5 \).
Langkah 4: Menentukan nilai \( k \)
Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Karena garis \( y = kx - c \) sejajar dengan garis \( l \), maka:
\( k = 5 \)
Langkah 5: Menentukan nilai \( c \)
Garis \( y = kx - c \) melalui titik \( (5,3) \). Substitusikan \( x = 5 \) dan \( y = 3 \):
\( 3 = 5(5) - c \)
\( 3 = 25 - c \)
\( c = 22 \)
Langkah 6: Menentukan nilai \( c - k \)
\( c - k = 22 - 5 = 17 \)
Jawaban akhir
Nilai \( c - k \) sama dengan:
\( 17 \)