No 1
Soal
Grafik fungsi \( f(x) = 2x^2 - x - 1 \) dan \( g(x) = x^2 - 3x + 7 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( K(a,b) \) dan \( L(c,d) \).
Garis \( m \) melalui kedua titik tersebut.
Gradien garis \( m \) adalah …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan
Langkah 1: Menentukan titik potong kedua grafik
Karena titik potong terjadi saat nilai fungsi sama, maka:
\( f(x) = g(x) \)
\( 2x^2 - x - 1 = x^2 - 3x + 7 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( 2x^2 - x - 1 - x^2 + 3x - 7 = 0 \)
Sederhanakan:
\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
Langkah 2: Menyelesaikan persamaan kuadrat
Faktorkan:
\( (x + 4)(x - 2) = 0 \)
Sehingga diperoleh:
\( x = -4 \) atau \( x = 2 \)
Langkah 3: Menentukan koordinat titik potong
Substitusikan ke salah satu fungsi, misalnya \( f(x) \).
Untuk \( x = -4 \):
\( f(-4) = 2(-4)^2 - (-4) - 1 = 32 + 4 - 1 = 35 \)
Titik pertama: \( K(-4,35) \)
Untuk \( x = 2 \):
\( f(2) = 2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 \)
Titik kedua: \( L(2,5) \)
Langkah 4: Menghitung gradien garis melalui dua titik
Rumus gradien:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Substitusikan titik \( K(-4,35) \) dan \( L(2,5) \):
\( m = \dfrac{5 - 35}{2 - (-4)} = \dfrac{-30}{6} = -5 \)
Jawaban akhir
Gradien garis \( m \) adalah:
\( -5 \)
No 2
Soal
Grafik fungsi \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \) dan \( g(x) = x^2 + 3x - 6 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( P \) dan \( Q \). Garis \( m \) melalui kedua titik tersebut.
Tentukan gradien garis \( m \).
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (detail untuk pemula)
Ide utama
Kalau dua grafik berpotongan, maka pada titik potong berlaku \( f(x) = g(x) \). Nilai \( x \) yang memenuhi itulah \( x \) titik potong. Setelah dapat dua titik, gradien garis penghubungnya dapat dihitung.
Langkah 1: Samakan kedua fungsi
\( f(x) = g(x) \)
\( 3x^2 - 5x + 2 = x^2 + 3x - 6 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( 3x^2 - 5x + 2 - x^2 - 3x + 6 = 0 \)
Sederhanakan:
\( 2x^2 - 8x + 8 = 0 \)
Bagi 2 agar lebih ringan:
\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
Langkah 2: Cari nilai \( x \)
Perhatikan:
\( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \)
Maka:
\( (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Artinya titik potongnya hanya satu (titik singgung), padahal soal bilang dua titik berbeda. Berarti kita perlu mengecek lagi: bentuk persamaan tadi menghasilkan akar kembar, jadi pasangan fungsi ini kurang tepat untuk syarat “dua titik berbeda”.
Perbaikan soal (tetap sulit, dua titik berbeda, hasil bilangan bulat)
Gunakan fungsi berikut:
\( f(x) = 3x^2 - 5x + 1 \) dan \( g(x) = x^2 + 3x - 7 \)
Sekarang kita ulang langkahnya.
Langkah 3: Samakan lagi (versi benar)
\( 3x^2 - 5x + 1 = x^2 + 3x - 7 \)
\( 3x^2 - 5x + 1 - x^2 - 3x + 7 = 0 \)
\( 2x^2 - 8x + 8 = 0 \)
Bagi 2:
\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
Ternyata masih sama (akar kembar). Jadi masih singgung. Kita ganti sekali lagi agar benar-benar dua titik.
Soal final (benar-benar dua titik berbeda dan gradien bulat)
\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \) dan \( g(x) = x^2 + x - 2 \)
Tentukan gradien garis \( m \) yang melalui dua titik potongnya.
Langkah 4: Cari titik potong
\( 3x^2 - 5x + 2 = x^2 + x - 2 \)
\( 3x^2 - 5x + 2 - x^2 - x + 2 = 0 \)
\( 2x^2 - 6x + 4 = 0 \)
Bagi 2:
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
Faktorkan:
\( (x - 1)(x - 2) = 0 \)
Maka:
\( x = 1 \) atau \( x = 2 \)
Langkah 5: Cari koordinat titik potong
Pakai \( g(x) = x^2 + x - 2 \).
Untuk \( x = 1 \):
\( g(1) = 1^2 + 1 - 2 = 0 \)
Titik pertama: \( P(1,0) \)
Untuk \( x = 2 \):
\( g(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4 \)
Titik kedua: \( Q(2,4) \)
Langkah 6: Hitung gradien garis \( m \)
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m = \dfrac{4 - 0}{2 - 1} = 4 \)
Jawaban akhir
Gradien garis \( m \) adalah:
\( 4 \)
No 3
Soal
Grafik fungsi \( g(x) = x^2 + 4x + 3 \) dan \( h(x) = 3x^2 - 2x - 5 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( P(a,b) \) dan \( Q(c,d) \). Garis \( t \) melalui kedua titik tersebut.
Gradien garis \( t \) sama dengan …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (langkah demi langkah)
Langkah 1: Menentukan titik potong kedua grafik
Titik potong terjadi saat nilai kedua fungsi sama, sehingga:
\( g(x) = h(x) \)
\( x^2 + 4x + 3 = 3x^2 - 2x - 5 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( x^2 + 4x + 3 - 3x^2 + 2x + 5 = 0 \)
Sederhanakan:
\( -2x^2 + 6x + 8 = 0 \)
Kalikan dengan \( -1 \) agar lebih mudah:
\( 2x^2 - 6x - 8 = 0 \)
Bagi 2:
\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
Langkah 2: Menentukan nilai \( x \)
Faktorkan:
\( (x - 4)(x + 1) = 0 \)
Maka:
\( x = 4 \) atau \( x = -1 \)
Langkah 3: Menentukan koordinat titik potong
Substitusikan ke salah satu fungsi, misalnya \( g(x) \).
Untuk \( x = 4 \):
\( g(4) = 4^2 + 4(4) + 3 = 16 + 16 + 3 = 35 \)
Titik pertama: \( P(4,35) \)
Untuk \( x = -1 \):
\( g(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \)
Titik kedua: \( Q(-1,0) \)
Langkah 4: Menghitung gradien garis \( t \)
Rumus gradien garis melalui dua titik:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Gunakan titik \( P(4,35) \) dan \( Q(-1,0) \):
\( m = \dfrac{35 - 0}{4 - (-1)} = \dfrac{35}{5} = 7 \)
Jawaban akhir
Gradien garis \( t \) sama dengan:
\( 7 \)
No 4
Soal
Grafik fungsi \( p(x) = 2x^2 + 9x + 7 \) dan \( q(x) = x^2 + x - 5 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( A \) dan \( B \). Garis \( \ell \) melalui kedua titik tersebut.
Tentukan gradien garis \( \ell \).
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (detail untuk pemula)
Langkah 1: Samakan kedua fungsi
Karena titik potong memenuhi \( p(x) = q(x) \), maka:
\( 2x^2 + 9x + 7 = x^2 + x - 5 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( 2x^2 + 9x + 7 - x^2 - x + 5 = 0 \)
Sederhanakan:
\( x^2 + 8x + 12 = 0 \)
Langkah 2: Tentukan nilai \( x \) titik potong
Faktorkan:
\( (x + 2)(x + 6) = 0 \)
Maka:
\( x = -2 \) atau \( x = -6 \)
Langkah 3: Cari nilai \( y \) di masing-masing titik
Agar lebih mudah, pakai \( q(x) = x^2 + x - 5 \).
Untuk \( x = -2 \):
\( q(-2) = (-2)^2 + (-2) - 5 = 4 - 2 - 5 = -3 \)
Titik \( A(-2,-3) \)
Untuk \( x = -6 \):
\( q(-6) = (-6)^2 + (-6) - 5 = 36 - 6 - 5 = 25 \)
Titik \( B(-6,25) \)
Langkah 4: Hitung gradien garis \( \ell \)
Rumus gradien:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Gunakan \( A(-2,-3) \) dan \( B(-6,25) \):
\( m = \dfrac{25 - (-3)}{-6 - (-2)} = \dfrac{28}{-4} = -7 \)
Jawaban akhir
Gradien garis \( \ell \) adalah:
\( -7 \)
No 5
Soal
Grafik fungsi \( g(x) = x^2 - 20 \) dan garis \( ax - 2y + 30 = 0 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( C(p,q) \) dan \( D(-5,t) \).
Garis \( k \) melalui kedua titik tersebut.
Gradien garis \( k \) sama dengan …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (langkah sangat pelan untuk pemula)
Langkah 1: Menentukan nilai \( t \) dan \( a \) dari titik \( D(-5,t) \)
Karena titik \( D(-5,t) \) terletak pada grafik \( g(x) = x^2 - 20 \), maka:
\( t = g(-5) \)
\( t = (-5)^2 - 20 = 25 - 20 = 5 \)
Jadi, koordinat titik \( D \) adalah \( D(-5,5) \).
Titik \( D(-5,5) \) juga terletak pada garis \( ax - 2y + 30 = 0 \). Substitusikan ke persamaan garis:
\( a(-5) - 2(5) + 30 = 0 \)
\( -5a - 10 + 30 = 0 \)
\( -5a + 20 = 0 \)
\( -5a = -20 \Rightarrow a = 4 \)
Langkah 2: Menentukan titik potong lainnya
Persamaan garis sekarang menjadi:
\( 4x - 2y + 30 = 0 \)
Ubah ke bentuk \( y = \ldots \):
\( -2y = -4x - 30 \)
\( y = 2x + 15 \)
Samakan dengan fungsi \( g(x) = x^2 - 20 \):
\( x^2 - 20 = 2x + 15 \)
Pindahkan ke satu ruas:
\( x^2 - 2x - 35 = 0 \)
Faktorkan:
\( (x - 7)(x + 5) = 0 \)
Maka:
\( x = 7 \) atau \( x = -5 \)
Nilai \( x = -5 \) sudah digunakan untuk titik \( D \), jadi titik lainnya adalah:
\( x = 7 \)
Substitusikan ke \( y = 2x + 15 \):
\( y = 2(7) + 15 = 29 \)
Titik \( C(7,29) \).
Langkah 3: Menghitung gradien garis \( k \)
Gunakan dua titik \( C(7,29) \) dan \( D(-5,5) \).
Rumus gradien:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m = \dfrac{29 - 5}{7 - (-5)} = \dfrac{24}{12} = 2 \)
Jawaban akhir
Gradien garis \( k \) sama dengan:
\( 2 \)
No 6
Soal
Grafik fungsi \( f(x) = 2x^2 - x + 1 \) dan \( g(x) = x^2 + 2x - 1 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( A(a,b) \) dan \( B(p,q) \). Garis \( l \) melalui kedua titik tersebut.
Gradien garis \( l \) sama dengan …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (langkah sangat pelan untuk pemula)
Langkah 1: Menentukan titik potong kedua grafik
Dua grafik berpotongan saat nilai fungsi sama, sehingga:
\( f(x) = g(x) \)
\( 2x^2 - x + 1 = x^2 + 2x - 1 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( 2x^2 - x + 1 - x^2 - 2x + 1 = 0 \)
Sederhanakan:
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
Langkah 2: Menentukan nilai \( x \)
Faktorkan:
\( (x - 1)(x - 2) = 0 \)
Maka:
\( x = 1 \) atau \( x = 2 \)
Langkah 3: Menentukan koordinat titik potong
Substitusikan ke salah satu fungsi, misalnya \( g(x) \).
Untuk \( x = 1 \):
\( g(1) = 1^2 + 2(1) - 1 = 2 \)
Titik pertama: \( A(1,2) \)
Untuk \( x = 2 \):
\( g(2) = 2^2 + 2(2) - 1 = 7 \)
Titik kedua: \( B(2,7) \)
Langkah 4: Menghitung gradien garis \( l \)
Rumus gradien garis melalui dua titik:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Gunakan titik \( A(1,2) \) dan \( B(2,7) \):
\( m = \dfrac{7 - 2}{2 - 1} = \dfrac{5}{1} = 5 \)
Jawaban akhir
Gradien garis \( l \) sama dengan:
\( 5 \)
No 7
Soal
Grafik fungsi \( f(x) = 2x^2 + x - 10 \) dan \( g(x) = x^2 + 7x - 10 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( A(a,b) \) dan \( B(p,q) \). Garis \( l \) melalui kedua titik tersebut.
Gradien garis \( l \) sama dengan …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (detail untuk pemula)
Langkah 1: Samakan kedua fungsi
Karena titik potong memenuhi \( f(x) = g(x) \), maka:
\( 2x^2 + x - 10 = x^2 + 7x - 10 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( 2x^2 + x - 10 - x^2 - 7x + 10 = 0 \)
Sederhanakan:
\( x^2 - 6x = 0 \)
Faktorkan:
\( x(x - 6) = 0 \)
Maka:
\( x = 0 \) atau \( x = 6 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat titik potong
Substitusikan ke salah satu fungsi, misalnya \( f(x) \).
Untuk \( x = 0 \):
\( f(0) = 2(0)^2 + 0 - 10 = -10 \)
Titik pertama: \( A(0,-10) \)
Untuk \( x = 6 \):
\( f(6) = 2(6)^2 + 6 - 10 = 72 + 6 - 10 = 68 \)
Titik kedua: \( B(6,68) \)
Langkah 3: Hitung gradien garis \( l \)
Rumus gradien:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m = \dfrac{68 - (-10)}{6 - 0} = \dfrac{78}{6} = 13 \)
Jawaban akhir
Gradien garis \( l \) sama dengan:
\( 13 \)
No 8
Soal
Grafik fungsi \( f(x) = 3x^2 - 7x - 6 \) dan \( g(x) = x^2 + 9x - 6 \) berpotongan di dua titik berbeda, yaitu \( A(a,b) \) dan \( B(p,q) \). Garis \( l \) melalui kedua titik tersebut.
Gradien garis \( l \) sama dengan …
Klik untuk melihat jawaban dan pembahasan (detail untuk pemula)
Langkah 1: Samakan kedua fungsi
Titik potong memenuhi \( f(x) = g(x) \), maka:
\( 3x^2 - 7x - 6 = x^2 + 9x - 6 \)
Pindahkan semua ke satu ruas:
\( 3x^2 - 7x - 6 - x^2 - 9x + 6 = 0 \)
Sederhanakan:
\( 2x^2 - 16x = 0 \)
Faktorkan:
\( 2x(x - 8) = 0 \)
Maka:
\( x = 0 \) atau \( x = 8 \)
Langkah 2: Menentukan koordinat titik potong
Substitusikan ke salah satu fungsi, misalnya \( g(x) \).
Untuk \( x = 0 \):
\( g(0) = 0^2 + 9(0) - 6 = -6 \)
Titik pertama: \( A(0,-6) \)
Untuk \( x = 8 \):
\( g(8) = 8^2 + 9(8) - 6 = 64 + 72 - 6 = 130 \)
Titik kedua: \( B(8,130) \)
Langkah 3: Menghitung gradien garis \( l \)
Rumus gradien:
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Gunakan titik \( A(0,-6) \) dan \( B(8,130) \):
\( m = \dfrac{130 - (-6)}{8 - 0} = \dfrac{136}{8} = 17 \)
Jawaban akhir
Gradien garis \( l \) sama dengan:
\( 17 \)