Tujuan pembelajaran:

• Memahami cara mencari titik potong dua grafik
• Memahami makna koordinat \((a, b)\) dan \((c, d)\)
• Melatih membaca informasi tambahan: \(b \gt d\)

Langkah 1: Menentukan titik potong grafik

Titik potong terjadi saat:

\[ f(x) = g(x) \]

Substitusi:

\[ 2x^2 - x - 1 = x^2 - 3x + 7 \]

Pindahkan semua ke satu ruas:

\[ 2x^2 - x - 1 - x^2 + 3x - 7 = 0 \]

\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Langkah 2: Menyelesaikan persamaan kuadrat

Faktorkan:

\[ (x + 4)(x - 2) = 0 \]

Sehingga:

• \(x = -4\)
• \(x = 2\)

Ini adalah koordinat x dari titik K dan L.

Langkah 3: Menentukan nilai \(y\) untuk masing-masing titik

Gunakan salah satu fungsi, misalnya \(f(x) = 2x^2 - x - 1\).

Untuk \(x = -4\):

\[ f(-4) = 2(-4)^2 - (-4) - 1 = 32 + 4 - 1 = 35 \]

Untuk \(x = 2\):

\[ f(2) = 2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 3 = 5 \]

Maka titik-titik potongnya:

• \((-4, 35)\)
• \((2, 5)\)

Langkah 4: Menggunakan informasi \(b \gt d\)

Bandingkan ordinatnya:

• \(35 \gt 5\)

Jadi:

• \(b = 35\)
• \(d = 5\)

Maka titik K(a, b) adalah \((-4, 35)\).

Kesimpulan:

\[ a = -4 \]

Jawaban yang benar adalah (a).

Tujuan pembelajaran:

• Menentukan titik potong dua grafik fungsi kuadrat
• Memahami arti koordinat \((a, b)\) dan \((c, d)\)
• Menggunakan informasi tambahan \(a \lt c\) untuk memilih jawaban yang benar

Langkah 1: Menentukan titik potong grafik

Titik potong terjadi saat nilai fungsi sama, sehingga:

\[ g(x) = h(x) \]

Substitusi kedua fungsi:

\[ x^2 + 4x + 3 = 3x^2 - 2x - 5 \]

Pindahkan semua ke satu ruas:

\[ x^2 + 4x + 3 - 3x^2 + 2x + 5 = 0 \]

\[ -2x^2 + 6x + 8 = 0 \]

Bagi kedua ruas dengan \(-2\):

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Langkah 2: Menyelesaikan persamaan kuadrat

Faktorkan:

\[ (x - 4)(x + 1) = 0 \]

Sehingga diperoleh:

• \(x = 4\)
• \(x = -1\)

Nilai-nilai ini adalah absis titik P dan Q.

Langkah 3: Menentukan nilai \(a\) berdasarkan \(a \lt c\)

Dua nilai absis yang diperoleh adalah:

• \(-1\)
• \(4\)

Karena diketahui:

\[ a \lt c \]

Maka:

• \(a = -1\)
• \(c = 4\)

Kesimpulan:

\[ a = -1 \]

Tujuan pembelajaran:

• Menyamakan dua fungsi untuk mencari absis titik potong
• Menentukan pasangan titik \((a,b)\) dan \((c,d)\)
• Menggunakan syarat \(a \lt c\) untuk memilih urutan titik
• Menghitung ekspresi gabungan dengan hasil bilangan bulat

Langkah 1: Cari absis titik potong dengan \(g(x) = h(x)\)

\[ x^2 - 4x + 1 = 2x^2 - 10x + 9 \]

Pindahkan ke satu ruas:

\[ x^2 - 4x + 1 - 2x^2 + 10x - 9 = 0 \]

\[ -x^2 + 6x - 8 = 0 \]

Kalikan \(-1\) agar rapi:

\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]

Faktorkan (tanpa kalkulator):

\[ (x - 2)(x - 4) = 0 \]

Maka absis titik potong:

• \(x = 2\)
• \(x = 4\)

Karena \(a \lt c\), maka:

• \(a = 2\)
• \(c = 4\)

Langkah 2: Cari ordinat \(b\) dan \(d\) memakai \(g(x)\)

Untuk \(x = 2\):

\[ b = g(2) = 2^2 - 4(2) + 1 \]

\[ b = 4 - 8 + 1 = -3 \]

Untuk \(x = 4\):

\[ d = g(4) = 4^2 - 4(4) + 1 \]

\[ d = 16 - 16 + 1 = 1 \]

Langkah 3: Hitung nilai \(a + c + b + d\)

\[ a + c + b + d = 2 + 4 + (-3) + 1 \]

\[ a + c + b + d = 4 \]

Kesimpulan:

\[ a + c + b + d = 4 \]

Tujuan pembelajaran:

• Menentukan titik potong dua grafik fungsi kuadrat
• Menentukan pasangan koordinat \((a,b)\) dan \((c,d)\)
• Menghitung ekspresi gabungan dengan hasil bilangan bulat

Langkah 1: Menentukan absis titik potong

Titik potong terjadi saat:

\[ g(x) = h(x) \]

\[ 3x^2 - 9x + 4 = x^2 - x - 2 \]

Pindahkan ke satu ruas:

\[ 3x^2 - 9x + 4 - x^2 + x + 2 = 0 \]

\[ 2x^2 - 8x + 6 = 0 \]

Bagi 2:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Faktorkan:

\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]

Maka:

• \(x = 1\)
• \(x = 3\)

Karena \(a \lt c\), maka:

• \(a = 1\)
• \(c = 3\)

Langkah 2: Menentukan ordinat titik potong

Gunakan fungsi \(h(x)\).

Untuk \(x = 1\):

\[ b = h(1) = 1^2 - 1 - 2 = -2 \]

Untuk \(x = 3\):

\[ d = h(3) = 9 - 3 - 2 = 4 \]

Langkah 3: Hitung nilai yang diminta

\[ a + c + b + d = 1 + 3 + (-2) + 4 \]

\[ a + c + b + d = 6 \]

Kesimpulan:

\[ a + c + b + d = 6 \]

Tujuan pembelajaran:

• Memahami arti titik potong grafik fungsi dan garis
• Melatih substitusi titik ke persamaan garis
• Menentukan parameter \(a\) tanpa kalkulator

Langkah 1: Menentukan koordinat titik D

Diketahui salah satu titik potong adalah D(-5, t).

Karena titik D berada pada grafik \(g(x) = x^2 - 20\), maka nilai \(t\) diperoleh dengan mensubstitusi \(x = -5\).

\[ t = (-5)^2 - 20 \]

\[ t = 25 - 20 = 5 \]

Jadi titik D adalah \((-5, 5)\).

Langkah 2: Substitusi titik D ke persamaan garis

Titik D juga terletak pada garis \(ax - 2y + 30 = 0\).

Substitusikan \(x = -5\) dan \(y = 5\):

\[ a(-5) - 2(5) + 30 = 0 \]

\[ -5a - 10 + 30 = 0 \]

\[ -5a + 20 = 0 \]

Langkah 3: Menentukan nilai \(a\)

\[ -5a = -20 \]

\[ a = 4 \]

Kesimpulan:

\[ a = 4 \]

Tujuan pembelajaran:

• Menemukan titik potong dua grafik dengan cara menyamakan \(f(x)\) dan \(g(x)\)
• Memahami bahwa titik potong memiliki nilai \(x\) yang memenuhi kedua fungsi
• Menggunakan informasi \(b \lt q\) untuk menentukan titik mana yang bernama A

Langkah 1: Samakan kedua fungsi

Titik potong terjadi saat:

\[ f(x) = g(x) \]

\[ 2x^2 - x + 1 = x^2 + 2x - 1 \]

Pindahkan ke satu ruas:

\[ 2x^2 - x + 1 - x^2 - 2x + 1 = 0 \]

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Langkah 2: Cari nilai \(x\) titik potong

Faktorkan:

\[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]

Maka:

• \(x = 1\)
• \(x = 2\)

Langkah 3: Cari nilai \(y\) untuk masing-masing \(x\)

Kita pakai \(g(x) = x^2 + 2x - 1\).

Untuk \(x = 1\):

\[ y = g(1) = 1^2 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2 \]

Untuk \(x = 2\):

\[ y = g(2) = 2^2 + 2(2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7 \]

Jadi dua titik potongnya adalah:

• \((1, 2)\)
• \((2, 7)\)

Langkah 4: Gunakan informasi \(b \lt q\)

Karena \(b \lt q\), maka ordinat titik A harus lebih kecil daripada ordinat titik B.

Bandingkan:

• \(2 \lt 7\)

Maka:

• A adalah \((1, 2)\) sehingga \(a = 1\)
• B adalah \((2, 7)\)

Kesimpulan:

\[ a = 1 \]

Langkah 1: Memahami konsep garis tegak lurus

Jika dua garis saling tegak lurus, maka hasil kali kemiringannya memenuhi:

\( m_1 \times m_2 = -1 \)

Diketahui garis l memiliki slope \( m_1 = -1 \).

Maka slope garis \( k \) adalah:

\( (-1) \times m_2 = -1 \)

Sehingga diperoleh:

\( m_2 = 1 \)

Langkah 2: Menggunakan rumus persamaan garis melalui satu titik

Gunakan rumus:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Substitusi titik \( (2, -1) \) dan \( m = 1 \):

\( y - (-1) = 1(x - 2) \)

\( y + 1 = x - 2 \)

\( y = x - 3 \)

Kesimpulan

Persamaan garis \( k \) adalah:

(B) \( y = x - 3 \)

Langkah 1: Memahami informasi soal

Diketahui bentuk umum persamaan garis:

\( y = ax + b \)

Artinya, nilai \( a \) dan \( b \) harus memenuhi titik-titik yang dilalui.

Karena garis tersebut melalui dua titik, maka kita dapat menentukan nilai \( a \) dan \( b \).

Langkah 2: Substitusi titik A(1,-2)

Masukkan \( x = 1 \) dan \( y = -2 \) ke dalam persamaan:

\( -2 = a(1) + b \)

\( -2 = a + b \)    ...(1)

Langkah 3: Substitusi titik B(-2,3)

Masukkan \( x = -2 \) dan \( y = 3 \):

\( 3 = a(-2) + b \)

\( 3 = -2a + b \)    ...(2)

Langkah 4: Menyelesaikan sistem persamaan

Dari persamaan (1):

\( b = -2 - a \)

Substitusi ke persamaan (2):

\( 3 = -2a + (-2 - a) \)

\( 3 = -2a -2 - a \)

\( 3 = -3a -2 \)

\( 5 = -3a \)

\( a = -\frac{5}{3} \)

Masukkan kembali ke \( b = -2 - a \):

\( b = -2 - \left(-\frac{5}{3}\right) \)

\( b = -2 + \frac{5}{3} \)

\( b = -\frac{6}{3} + \frac{5}{3} \)

\( b = -\frac{1}{3} \)

Langkah 5: Menghitung \( a + b \)

\( a + b = -\frac{5}{3} - \frac{1}{3} \)

\( a + b = -\frac{6}{3} \)

\( a + b = -2 \)

Kesimpulan

Nilai \( a + b \) adalah:

(C) \(-2\)

Langkah 1: Menyamakan kedua persamaan

Karena garis memotong parabola, maka kedua persamaan sama nilainya:

\( ax + b = 2x^2 + 5 \)

Pindahkan semua ke satu ruas:

\( 2x^2 - ax + (5 - b) = 0 \)

Langkah 2: Menggunakan sifat jumlah dan hasil kali akar

Untuk persamaan kuadrat \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), berlaku:

\( x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \)

\( x_1x_2 = \frac{C}{A} \)

Di sini:

\( A = 2 \)
\( B = -a \)
\( C = 5 - b \)

Langkah 3: Menggunakan informasi \( x_1 + x_2 = 4 \)

\( x_1 + x_2 = -\frac{-a}{2} \)

\( 4 = \frac{a}{2} \)

\( a = 8 \)

Langkah 4: Menggunakan informasi \( x_1x_2 = 3 \)

\( x_1x_2 = \frac{5 - b}{2} \)

\( 3 = \frac{5 - b}{2} \)

\( 6 = 5 - b \)

\( b = -1 \)

Kesimpulan

Nilai \( a = 8 \) dan \( b = -1 \)

Jawaban: (B)

Langkah 1: Menentukan persamaan garis

Garis melalui titik \( (0,-14) \), sehingga bentuknya:

\( y = mx - 14 \)

Langkah 2: Menyamakan dengan persamaan parabola

Karena ingin melihat apakah garis berpotongan dengan parabola:

\( mx - 14 = 2x^2 + 5x - 12 \)

Pindahkan ke satu ruas:

\( 2x^2 + 5x - 12 - mx + 14 = 0 \)

\( 2x^2 + (5 - m)x + 2 = 0 \)

Langkah 3: Syarat tidak memotong dan tidak menyinggung

Agar garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar nyata.

Artinya diskriminan \( D \lt 0 \).

Rumus diskriminan:

\( D = b^2 - 4ac \)

Di sini:

\( a = 2 \)
\( b = 5 - m \)
\( c = 2 \)

Maka:

\( D = (5 - m)^2 - 4(2)(2) \)

\( D = (5 - m)^2 - 16 \)

Agar tidak berpotongan:

\( (5 - m)^2 - 16 \lt 0 \)

Langkah 4: Menyelesaikan pertidaksamaan

\( (5 - m)^2 \lt 16 \)

\( -4 \lt 5 - m \lt 4 \)

Kurangi 5:

\( -9 \lt -m \lt -1 \)

Kalikan dengan \(-1\) (tanda berubah):

\( 1 \lt m \lt 9 \)

Kesimpulan

Nilai gradien yang memenuhi:

(D) \( 1 \lt m \lt 9 \)

Langkah 1: Menyamakan kedua persamaan

Karena garis memotong parabola tepat di satu titik, maka kita samakan:

\( 2px - 1 = x^2 - x + 3 \)

Pindahkan semua ke satu ruas:

\( x^2 - x + 3 - 2px + 1 = 0 \)

\( x^2 - (1 + 2p)x + 4 = 0 \)

Langkah 2: Syarat tepat satu titik

Agar hanya memiliki satu titik potong, maka diskriminan harus sama dengan nol.

Rumus diskriminan:

\( D = b^2 - 4ac \)

Di sini:

\( a = 1 \)
\( b = -(1 + 2p) \)
\( c = 4 \)

Maka:

\( D = (-(1 + 2p))^2 - 4(1)(4) \)

\( D = (1 + 2p)^2 - 16 \)

Karena tepat satu titik:

\( (1 + 2p)^2 - 16 = 0 \)

Langkah 3: Menyelesaikan persamaan

\( (1 + 2p)^2 = 16 \)

\( 1 + 2p = 4 \)   atau   \( 1 + 2p = -4 \)

Kasus 1:

\( 2p = 3 \)

\( p = \frac{3}{2} \)

Kasus 2:

\( 2p = -5 \)

\( p = -\frac{5}{2} \)

Kesimpulan

Nilai \( p \) yang memenuhi adalah:

\( p = \frac{3}{2} \) atau \( p = -\frac{5}{2} \)

Nilai tersebut tidak terdapat dalam pilihan jawaban.

Langkah 1: Menggunakan sifat jumlah dan hasil kali akar

Untuk persamaan kuadrat \( x^2 + 3x + a - 3 = 0 \), berlaku:

Jumlah akar:

\( \alpha + \beta = -3 \)

Hasil kali akar:

\( \alpha \beta = a - 3 \)

Langkah 2: Gunakan informasi \( \alpha = 2\beta \)

Substitusi ke persamaan jumlah akar:

\( 2\beta + \beta = -3 \)

\( 3\beta = -3 \)

\( \beta = -1 \)

Maka:

\( \alpha = 2(-1) = -2 \)

Langkah 3: Gunakan hasil kali akar

\( \alpha \beta = (-2)(-1) = 2 \)

Diketahui:

\( \alpha \beta = a - 3 \)

\( 2 = a - 3 \)

\( a = 5 \)

Kesimpulan

Nilai \( a \) adalah:

(E) 5

Langkah 1: Gunakan sifat akar persamaan kuadrat

Untuk persamaan \( x^2 + 4x + k = 0 \):

\( x_1 + x_2 = -4 \)

\( x_1 x_2 = k \)

Langkah 2: Ubah bentuk \( x_1^2 - x_2^2 \)

Gunakan identitas:

\( x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \)

Diketahui:

\( x_1^2 - x_2^2 = -32 \)

Substitusi \( x_1 + x_2 = -4 \):

\( (x_1 - x_2)(-4) = -32 \)

\( x_1 - x_2 = 8 \)

Langkah 3: Gunakan rumus selisih akar

Diketahui:

\( (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \)

Substitusi nilai yang diketahui:

\( 8^2 = (-4)^2 - 4k \)

\( 64 = 16 - 4k \)

\( 48 = -4k \)

\( k = -12 \)

Kesimpulan

Nilai \( k \) adalah:

(A) \(-12\)

Langkah 1: Gunakan sifat jumlah dan hasil kali akar

Untuk persamaan \( x^2 - (2m + 4)x + 8m = 0 \):

\( x_1 + x_2 = 2m + 4 \)

\( x_1 x_2 = 8m \)

Langkah 2: Gunakan rumus selisih kuadrat akar

Diketahui:

\( x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \)

Selain itu:

\( (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \)

Maka:

\( (x_1^2 - x_2^2)^2 = (x_1 - x_2)^2 (x_1 + x_2)^2 \)

Substitusi:

\( (x_1^2 - x_2^2)^2 = \left[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2\right] (x_1 + x_2)^2 \)

Langkah 3: Masukkan nilai jumlah dan hasil kali akar

\( x_1 + x_2 = 2m + 4 \)

\( x_1 x_2 = 8m \)

Sehingga:

\( (x_1 - x_2)^2 = (2m + 4)^2 - 4(8m) \)

\( (x_1 - x_2)^2 = 4m^2 + 16m + 16 - 32m \)

\( (x_1 - x_2)^2 = 4m^2 - 16m + 16 \)

\( (x_1 - x_2)^2 = 4(m - 2)^2 \)

Langkah 4: Gunakan informasi selisih kuadrat akar = 20

Diketahui:

\( x_1^2 - x_2^2 = 20 \)

Karena:

\( x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \)

Maka kuadratkan kedua ruas:

\( 400 = (x_1 - x_2)^2 (x_1 + x_2)^2 \)

Substitusi:

\( 400 = 4(m - 2)^2 (2m + 4)^2 \)

Faktorkan:

\( 2m + 4 = 2(m + 2) \)

Sehingga:

\( 400 = 4(m - 2)^2 \cdot 4(m + 2)^2 \)

\( 400 = 16 (m - 2)^2 (m + 2)^2 \)

\( 400 = 16 (m^2 - 4)^2 \)

Bagi 16:

\( 25 = (m^2 - 4)^2 \)

\( m^2 - 4 = \pm 5 \)

Langkah 5: Gunakan syarat \( m \gt 0 \)

Jika \( m^2 - 4 = -5 \), maka \( m^2 = -1 \) (tidak mungkin).

Maka:

\( m^2 - 4 = 5 \)

Kesimpulan

Nilai yang memenuhi adalah:

(C) 5

Langkah 1: Gunakan sifat jumlah akar

Untuk persamaan \( 2x^2 - ax - 2 = 0 \):

\( x_1 + x_2 = -\frac{-a}{2} \)

\( x_1 + x_2 = \frac{a}{2} \)

Langkah 2: Gunakan informasi soal

Diketahui:

\( (x_1 + x_2)^2 = -2a \)

Substitusi \( x_1 + x_2 = \frac{a}{2} \):

\( \left(\frac{a}{2}\right)^2 = -2a \)

\( \frac{a^2}{4} = -2a \)

Langkah 3: Selesaikan persamaan

Kalikan kedua ruas dengan 4:

\( a^2 = -8a \)

Pindahkan ke satu ruas:

\( a^2 + 8a = 0 \)

Faktorkan:

\( a(a + 8) = 0 \)

Sehingga:

\( a = 0 \)   atau   \( a = -8 \)

Langkah 4: Periksa pilihan jawaban

Kedua nilai terdapat dalam pilihan, tetapi biasanya dipilih nilai yang memenuhi kondisi soal tanpa menghasilkan persamaan degenerat.

Keduanya valid secara aljabar.

Jawaban yang biasanya diambil adalah:

(B) \(-4\) ❌ (tidak sesuai hasil)

Yang benar berdasarkan perhitungan:

\( a = 0 \) atau \( a = -8 \)

Langkah 1: Gunakan sifat jumlah dan hasil kali akar

Untuk persamaan \( 3x^2 + 6x + 4 = 0 \):

\( m + n = -\frac{6}{3} = -2 \)

\( mn = \frac{4}{3} \)

Langkah 2: Tentukan jumlah akar baru

Akar baru:

\( \alpha = 2m + n + 1 \)

\( \beta = m + 2n + 1 \)

Jumlah akar baru:

\( \alpha + \beta = (2m + n + 1) + (m + 2n + 1) \)

\( \alpha + \beta = 3m + 3n + 2 \)

\( \alpha + \beta = 3(m + n) + 2 \)

\( \alpha + \beta = 3(-2) + 2 \)

\( \alpha + \beta = -6 + 2 = -4 \)

Langkah 3: Tentukan hasil kali akar baru

\( \alpha \beta = (2m + n + 1)(m + 2n + 1) \)

Perhatikan bahwa:

\( 2m + n = (m + n) + m \)

\( m + 2n = (m + n) + n \)

Gunakan \( m + n = -2 \).

Sehingga:

\( \alpha = m - 1 \)

\( \beta = n - 1 \)

Maka:

\( \alpha \beta = (m - 1)(n - 1) \)

Gunakan identitas:

\( (m - 1)(n - 1) = mn - m - n + 1 \)

Substitusi:

\( = \frac{4}{3} - (-2) + 1 \)

\( = \frac{4}{3} + 2 + 1 \)

\( = \frac{4}{3} + 3 \)

\( = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} \)

\( = \frac{13}{3} \)

Langkah 4: Susun persamaan baru

Persamaan kuadrat dengan jumlah akar \( S \) dan hasil kali akar \( P \):

\( x^2 - Sx + P = 0 \)

Substitusi \( S = -4 \), \( P = \frac{13}{3} \):

\( x^2 + 4x + \frac{13}{3} = 0 \)

Kalikan 3 agar koefisien bulat:

\( 3x^2 + 12x + 13 = 0 \)

Kesimpulan

Jawaban yang benar adalah:

(C) \( 3x^2 + 12x + 13 = 0 \)

Langkah 1: Samakan kedua persamaan

Karena berpotongan, maka:

\( x^2 - (a - 1)x + 6 = x - 10 \)

Pindahkan semua ke satu ruas:

\( x^2 - (a - 1)x - x + 6 + 10 = 0 \)

Gabungkan suku \( x \):

\( x^2 - ax + 16 = 0 \)

Langkah 2: Syarat dua titik berbeda

Agar berpotongan di dua titik berbeda, diskriminan harus lebih besar dari nol.

Rumus diskriminan:

\( D = b^2 - 4ac \)

Di sini:

\( a = 1 \)
\( b = -a \)
\( c = 16 \)

Sehingga:

\( D = (-a)^2 - 4(1)(16) \)

\( D = a^2 - 64 \)

Syarat:

\( a^2 - 64 \gt 0 \)

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan

\( a^2 \gt 64 \)

\( a \lt -8 \) atau \( a \gt 8 \)

Kesimpulan

Nilai \( a \) yang memenuhi adalah:

(C) \( a \lt -8 \) atau \( a \gt 8 \)

Langkah 1: Syarat dua akar berlainan tanda

Untuk persamaan kuadrat \( ax^2 + bx + c = 0 \), agar akar-akar berlainan tanda, maka hasil kali akar harus negatif.

Sifat:

\( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Jika \( x_1 x_2 \lt 0 \), maka akar berlainan tanda.

Langkah 2: Tentukan hasil kali akar

Persamaan:

\( x^2 + 2px - p^2 + 7p - 6 = 0 \)

Di sini:

\( a = 1 \)
\( c = -p^2 + 7p - 6 \)

Maka:

\( x_1 x_2 = -p^2 + 7p - 6 \)

Langkah 3: Buat pertidaksamaan

Agar berlainan tanda:

\( -p^2 + 7p - 6 \lt 0 \)

Kalikan dengan \(-1\) (tanda berubah):

\( p^2 - 7p + 6 \gt 0 \)

Langkah 4: Faktorkan

\( p^2 - 7p + 6 = (p - 1)(p - 6) \)

Sehingga:

\( (p - 1)(p - 6) \gt 0 \)

Hasil kali positif jika:

\( p \lt 1 \) atau \( p \gt 6 \)

Kesimpulan

Nilai \( p \) yang memenuhi:

(D) \( p \lt 1 \) atau \( p \gt 6 \)

Langkah 1: Gunakan sifat jumlah dan hasil kali akar

Untuk persamaan \( px^2 - (2p + 1)x + 2 = 0 \):

\( m + n = \frac{2p + 1}{p} \)

\( mn = \frac{2}{p} \)

Diketahui \( mn = 1 \), maka:

\( \frac{2}{p} = 1 \)

\( p = 2 \)

Langkah 2: Tentukan akar persamaan awal

Substitusi \( p = 2 \):

\( 2x^2 - (4 + 1)x + 2 = 0 \)

\( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Faktorkan:

\( (2x - 1)(x - 2) = 0 \)

Sehingga:

\( m = \frac{1}{2} \), \( n = 2 \)

Langkah 3: Tentukan akar baru (kuadrat akar)

Akar baru adalah:

\( m^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)

\( n^2 = 2^2 = 4 \)

Langkah 4: Susun persamaan baru

Jumlah akar baru:

\( \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} \)

Hasil kali akar baru:

\( \frac{1}{4} \times 4 = 1 \)

Persamaan:

\( x^2 - \frac{17}{4}x + 1 = 0 \)

Kalikan 4:

\( 4x^2 - 17x + 4 = 0 \)

Kesimpulan

Jawaban yang benar adalah:

(A) \( 4x^2 - 17x + 4 = 0 \)

Langkah 1: Tentukan persamaan garis

Diketahui gradien \( m = 1 \) dan melalui titik \( (1,5) \).

Gunakan rumus:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Substitusi:

\( y - 5 = 1(x - 1) \)

\( y - 5 = x - 1 \)

\( y = x + 4 \)

Langkah 2: Samakan dengan parabola

Karena titik potong memenuhi kedua persamaan:

\( x + 4 = x^2 + 2x + 2 \)

Pindahkan ke satu ruas:

\( x^2 + 2x + 2 - x - 4 = 0 \)

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Langkah 3: Faktorkan

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 1) = 0 \)

Akar-akar:

\( x = -2 \) dan \( x = 1 \)

Karena \( x = 1 \) sudah diketahui, maka titik potong lainnya:

Substitusi \( x = -2 \) ke \( y = x + 4 \):

\( y = -2 + 4 = 2 \)

Kesimpulan

Titik potong lainnya adalah:

(E) \((-2,2)\)

Langkah 1: Gunakan rumus selisih akar

Untuk persamaan \( x^2 + 2x - a = 0 \):

Jumlah akar:

\( S_1 = -2 \)

Hasil kali akar:

\( P_1 = -a \)

Rumus selisih akar:

\( (x_1 - x_2)^2 = S_1^2 - 4P_1 \)

\( (x_1 - x_2)^2 = (-2)^2 - 4(-a) \)

\( = 4 + 4a \)

Langkah 2: Untuk persamaan kedua

\( x^2 - 8x + (a - 1) = 0 \)

Jumlah akar:

\( S_2 = 8 \)

Hasil kali akar:

\( P_2 = a - 1 \)

Selisih akar:

\( (x_3 - x_4)^2 = S_2^2 - 4P_2 \)

\( = 8^2 - 4(a - 1) \)

\( = 64 - 4a + 4 \)

\( = 68 - 4a \)

Langkah 3: Samakan karena selisihnya sama

\( 4 + 4a = 68 - 4a \)

\( 8a = 64 \)

\( a = 8 \)

Langkah 4: Hitung perkalian seluruh akar

Perkalian seluruh akar = \( P_1 \times P_2 \)

\( P_1 = -a = -8 \)

\( P_2 = a - 1 = 7 \)

Maka:

\( (-8)(7) = -56 \)

Kesimpulan

Jawaban yang benar adalah:

(A) \(-56\)