No 1
Untuk setiap bilangan bulat \(x\), didefinisikan fungsi sebagai berikut.
\[ [x] = \begin{cases} \dfrac{x + 3}{x - 2}, & \text{jika } x \text{ ganjil} \\ \dfrac{x^2 + 2}{2}, & \text{jika } x \text{ genap tak negatif} \\ 2x^2 + 1, & \text{jika } x \text{ genap negatif} \end{cases} \]
Nilai dari \([\,1 - [2]\,]\) adalah …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Langkah 1: Hitung nilai \([2]\)
Bilangan \(2\) adalah:
- bilangan genap
- tidak negatif
Maka gunakan rumus:
\[ [2] = \dfrac{2^2 + 2}{2} \]
\[ [2] = \dfrac{4 + 2}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \]
Langkah 2: Hitung nilai \(1 - [2]\)
\[ 1 - [2] = 1 - 3 = -2 \]
Langkah 3: Hitung nilai \([-2]\)
Bilangan \(-2\) adalah:
- bilangan genap
- negatif
Maka gunakan rumus:
\[ [-2] = 2(-2)^2 + 1 \]
\[ [-2] = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9 \]
Kesimpulan:
\[ [\,1 - [2]\,] = 9 \]
No 2
Untuk setiap bilangan bulat \(x\), didefinisikan fungsi sebagai berikut.
\[ [x] = \begin{cases} \dfrac{x + 1}{2}, & \text{jika } x \text{ ganjil} \\ \dfrac{x^2}{4}, & \text{jika } x \text{ genap tak negatif} \\ x^2 - 1, & \text{jika } x \text{ genap negatif} \end{cases} \]
Nilai dari \([\, [5] - [\,4 - [3]\,] \,]\) adalah …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Strategi: kerjakan dari bagian terdalam, sambil menentukan jenis bilangan setiap hasil.
Langkah 1: Hitung \([5]\)
\(5\) ganjil, maka:
\[ [5] = \dfrac{5 + 1}{2} = 3 \]
Langkah 2: Hitung \([3]\)
\(3\) ganjil, maka:
\[ [3] = \dfrac{3 + 1}{2} = 2 \]
Langkah 3: Hitung \(4 - [3]\)
\[ 4 - 2 = 2 \]
Langkah 4: Hitung \([\,4 - [3]\,] = [2]\)
\(2\) adalah genap tak negatif, maka:
\[ [2] = \dfrac{2^2}{4} = 1 \]
Langkah 5: Hitung \([5] - [\,4 - [3]\,]\)
\[ 3 - 1 = 2 \]
Langkah 6: Hitung \([2]\)
\(2\) genap tak negatif, maka:
\[ [2] = \dfrac{2^2}{4} = 1 \]
Kesimpulan:
\[ [\, [5] - [\,4 - [3]\,] \,] = 1 \]
No 3
Untuk semua bilangan bulat \(y\), didefinisikan fungsi sebagai berikut.
\[ [y] = \begin{cases} \dfrac{y - 5}{y + 3}, & \text{jika } y \le -5 \\ \dfrac{y + 5}{y - 1}, & \text{jika } -5 \lt y \lt 1 \\ 2 - y^2, & \text{jika } y \ge 1 \end{cases} \]
Nilai dari \([\,6 + [3]\,]\) adalah …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Tujuan soal: memahami bahwa tanda [ ] harus dihitung dari dalam terlebih dahulu, dan setiap hasilnya harus dicek masuk ke kasus yang mana.
Langkah 1: Hitung nilai \([3]\)
Perhatikan bilangan \(3\):
- \(3 \ge 1\)
Maka gunakan rumus:
\[ [y] = 2 - y^2 \]
Substitusi \(y = 3\):
\[ [3] = 2 - 3^2 = 2 - 9 = -7 \]
Langkah 2: Hitung nilai \(6 + [3]\)
\[ 6 + (-7) = -1 \]
Langkah 3: Hitung nilai \([-1]\)
Perhatikan bilangan \(-1\):
- \(-5 \lt -1 \lt 1\)
Maka gunakan rumus:
\[ [y] = \dfrac{y + 5}{y - 1} \]
Substitusi \(y = -1\):
\[ [-1] = \dfrac{-1 + 5}{-1 - 1} = \dfrac{4}{-2} = -2 \]
Kesimpulan:
\[ [\,6 + [3]\,] = -2 \]
No 4
Untuk semua bilangan bulat \(y\), didefinisikan fungsi sebagai berikut.
\[ [y] = \begin{cases} \dfrac{y - 5}{y + 3}, & \text{jika } y \le -5 \\ \dfrac{y + 5}{y - 1}, & \text{jika } -5 \lt y \lt 1 \\ 2 - y^2, & \text{jika } y \ge 1 \end{cases} \]
Nilai dari \(\bigl[\,[4] + [\,0 + [2]\,]\,\bigr]\) adalah …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Strategi: hitung dari dalam. Setiap kali dapat hasil baru, tentukan masuk kasus mana.
Langkah 1: Hitung \([4]\)
\(4 \ge 1\), maka gunakan \([y] = 2 - y^2\).
\[ [4] = 2 - 4^2 = 2 - 16 = -14 \]
Langkah 2: Hitung \([2]\)
\(2 \ge 1\), maka gunakan \([y] = 2 - y^2\).
\[ [2] = 2 - 2^2 = 2 - 4 = -2 \]
Langkah 3: Hitung \(0 + [2]\)
\[ 0 + (-2) = -2 \]
Langkah 4: Hitung \([\,0 + [2]\,] = [-2]\)
Periksa intervalnya:
- \(-5 \lt -2 \lt 1\)
Maka gunakan \([y] = \dfrac{y + 5}{y - 1}\).
\[ [-2] = \dfrac{-2 + 5}{-2 - 1} = \dfrac{3}{-3} = -1 \]
Langkah 5: Hitung ([4] + [0 + [2]]
\[ -14 + (-1) = -15 \]
Langkah 6: Hitung \(\bigl[\,[4] + [\,0 + [2]\,]\,\bigr] = [-15]\)
Periksa kasusnya:
- \(-15 \le -5\)
Maka gunakan \([y] = \dfrac{y - 5}{y + 3}\).
\[ [-15] = \dfrac{-15 - 5}{-15 + 3} = \dfrac{-20}{-12} = \dfrac{5}{3} \]
Kesimpulan:
\[ \bigl[\,[4] + [\,0 + [2]\,]\,\bigr] = \dfrac{5}{3} \]
No 5
Untuk setiap bilangan bulat \(r\), didefinisikan
\[ |r| = \begin{cases} \dfrac{r^2}{4} - 3, & \text{jika } r \text{ genap lebih dari } 1, \\ 4 - \dfrac{r^2}{2}, & \text{jika } r \text{ genap kurang dari } 1, \\ \dfrac{1 - r^2}{4}, & \text{jika } r \text{ ganjil}. \end{cases} \]
Nilai dari \(\lvert 1 - | -4 | \rvert\) sama dengan …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Tujuan pembelajaran:
- Memahami bahwa tanda \(|\ |\) di soal ini bukan nilai mutlak biasa
- Melatih urutan pengerjaan dari dalam ke luar
- Membiasakan mengecek jenis bilangan sebelum memilih rumus
Langkah 1: Hitung nilai \(|-4|\)
Perhatikan bilangan \(-4\):
- bilangan genap
- \(-4 \lt 1\)
Maka gunakan rumus:
\[ |r| = 4 - \dfrac{r^2}{2} \]
Substitusi \(r = -4\):
\[ |-4| = 4 - \dfrac{(-4)^2}{2} \]
\[ |-4| = 4 - \dfrac{16}{2} = 4 - 8 = -4 \]
Langkah 2: Hitung nilai \(1 - |-4|\)
\[ 1 - (-4) = 5 \]
Langkah 3: Hitung nilai \(|5|\)
Perhatikan bilangan \(5\):
- bilangan ganjil
Maka gunakan rumus:
\[ |r| = \dfrac{1 - r^2}{4} \]
Substitusi \(r = 5\):
\[ |5| = \dfrac{1 - 5^2}{4} \]
\[ |5| = \dfrac{1 - 25}{4} = \dfrac{-24}{4} = -6 \]
Kesimpulan:
\[ \lvert 1 - | -4 | \rvert = -6 \]
No 6
Untuk setiap bilangan bulat \(r\), didefinisikan
\[ |r| = \begin{cases} \dfrac{r^2}{4} - 3, & \text{jika } r \text{ genap lebih dari } 1, \\ 4 - \dfrac{r^2}{2}, & \text{jika } r \text{ genap kurang dari } 1, \\ \dfrac{1 - r^2}{4}, & \text{jika } r \text{ ganjil}. \end{cases} \]
Nilai dari \(\lvert\, |3| - |\,1 - | -2 |\,| \,\rvert\) sama dengan …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Tujuan soal: melatih pengerjaan bertahap dari dalam ke luar dan memilih rumus yang tepat berdasarkan jenis bilangan (ganjil/genap dan \(\gt\) atau \(\lt\) dari \(1\)).
Langkah 1: Hitung nilai \(|-2|\)
Perhatikan \(-2\):
- genap
- \(-2 \lt 1\)
Maka gunakan:
\[ |r| = 4 - \dfrac{r^2}{2} \]
Substitusi \(r = -2\):
\[ |-2| = 4 - \dfrac{(-2)^2}{2} = 4 - \dfrac{4}{2} = 4 - 2 = 2 \]
Langkah 2: Hitung nilai \(1 - | -2 |\)
\[ 1 - 2 = -1 \]
Langkah 3: Hitung nilai \(|\,1 - | -2 |\,| = |-1|\)
Perhatikan \(-1\):
- ganjil
Maka gunakan:
\[ |r| = \dfrac{1 - r^2}{4} \]
Substitusi \(r = -1\):
\[ |-1| = \dfrac{1 - (-1)^2}{4} = \dfrac{1 - 1}{4} = 0 \]
Langkah 4: Hitung nilai \(|3|\)
Perhatikan \(3\):
- ganjil
Maka gunakan:
\[ |r| = \dfrac{1 - r^2}{4} \]
Substitusi \(r = 3\):
\[ |3| = \dfrac{1 - 3^2}{4} = \dfrac{1 - 9}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2 \]
Langkah 5: Hitung nilai \(|3| - |\,1 - | -2 |\,|\)
\[ -2 - 0 = -2 \]
Langkah 6: Hitung nilai \(\lvert\, |3| - |\,1 - | -2 |\,| \,\rvert = |-2|\)
Perhatikan \(-2\):
- genap
- \(-2 \lt 1\)
Maka gunakan:
\[ |r| = 4 - \dfrac{r^2}{2} \]
\[ |-2| = 4 - \dfrac{(-2)^2}{2} = 4 - \dfrac{4}{2} = 2 \]
Kesimpulan:
\[ \lvert\, |3| - |\,1 - | -2 |\,| \,\rvert = 2 \]
No 7
Untuk setiap bilangan bulat \(r\), didefinisikan
\[ |r| = \begin{cases} \dfrac{r^2}{4} - 3, & \text{jika } r \text{ genap lebih dari } 1, \\ 4 - \dfrac{r^2}{2}, & \text{jika } r \text{ genap kurang dari } 1, \\ \dfrac{1 - r^2}{4}, & \text{jika } r \text{ ganjil}. \end{cases} \]
Nilai dari \(\lvert\, 1 - |\,2 - |\, -4 \,|\,| \,\rvert\) sama dengan …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Tujuan soal: melatih urutan pengerjaan dari dalam ke luar, dan melatih ketelitian memilih rumus karena hasil di dalam tanda \(|\ |\) bisa menjadi negatif.
Langkah 1: Hitung nilai \(|-4|\)
Perhatikan \(-4\):
- genap
- \(-4 \lt 1\)
Maka gunakan:
\[ |r| = 4 - \dfrac{r^2}{2} \]
Substitusi \(r = -4\):
\[ |-4| = 4 - \dfrac{(-4)^2}{2} = 4 - \dfrac{16}{2} = 4 - 8 = -4 \]
Langkah 2: Hitung nilai \(2 - |-4|\)
\[ 2 - (-4) = 6 \]
Langkah 3: Hitung nilai \(|\,2 - |-4|\,| = |6|\)
Perhatikan \(6\):
- genap
- \(6 \gt 1\)
Maka gunakan:
\[ |r| = \dfrac{r^2}{4} - 3 \]
Substitusi \(r = 6\):
\[ |6| = \dfrac{6^2}{4} - 3 = \dfrac{36}{4} - 3 = 9 - 3 = 6 \]
Langkah 4: Hitung nilai \(1 - |\,2 - |-4|\,|\)
\[ 1 - 6 = -5 \]
Langkah 5: Hitung nilai \(\lvert\, 1 - |\,2 - |-4|\,| \,\rvert = |-5|\)
Perhatikan \(-5\):
- ganjil
Maka gunakan:
\[ |r| = \dfrac{1 - r^2}{4} \]
Substitusi \(r = -5\):
\[ |-5| = \dfrac{1 - (-5)^2}{4} = \dfrac{1 - 25}{4} = \dfrac{-24}{4} = -6 \]
Kesimpulan:
\[ \lvert\, 1 - |\,2 - |\, -4 \,|\,| \,\rvert = -6 \]
No 8
Untuk setiap bilangan bulat \(z\) didefinisikan
\[ ||z \ge = \begin{cases} \dfrac{16 - z^2}{3}, & \text{jika } z \text{ ganjil negatif};\\[6pt] \dfrac{36}{5z + 2}, & \text{jika } z \text{ genap positif};\\[6pt] 5z^2 - 9z + 2, & \text{jika } z \text{ lainnya}. \end{cases} \]
Nilai \(\lvert\lvert 3 - \lvert\lvert 2 \rvert\rvert \rvert\rvert\) sama dengan …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Tujuan pembelajaran:
- Melatih mengerjakan dari dalam ke luar
- Melatih klasifikasi bilangan: ganjil / genap, positif / negatif
- Menyadari bahwa simbol \(\lvert\lvert \ \rvert\rvert\) di soal ini adalah fungsi khusus, bukan nilai mutlak biasa
Langkah 1: Hitung nilai \(\lvert\lvert 2 \rvert\rvert\)
Perhatikan bilangan \(2\):
- genap
- positif
Maka gunakan aturan:
\[ ||z \ge = \dfrac{36}{5z + 2} \]
Substitusi \(z = 2\):
\[ \lvert\lvert 2 \rvert\rvert = \dfrac{36}{5(2) + 2} = \dfrac{36}{12} = 3 \]
Langkah 2: Hitung nilai \(3 - \lvert\lvert 2 \rvert\rvert\)
\[ 3 - 3 = 0 \]
Langkah 3: Hitung nilai \(\lvert\lvert 3 - \lvert\lvert 2 \rvert\rvert \rvert\rvert = \lvert\lvert 0 \rvert\rvert\)
Perhatikan bilangan \(0\):
- bukan ganjil negatif
- bukan genap positif
Maka \(0\) masuk ke kategori z lainnya.
Gunakan rumus:
\[ ||z \ge = 5z^2 - 9z + 2 \]
Substitusi \(z = 0\):
\[ \lvert\lvert 0 \rvert\rvert = 5(0)^2 - 9(0) + 2 = 2 \]
Kesimpulan:
\[ \lvert\lvert 3 - \lvert\lvert 2 \rvert\rvert \rvert\rvert = 2 \]
No 9
Untuk setiap bilangan bulat \(z\) didefinisikan
\[ ||z>> = \begin{cases} \dfrac{16 - z^2}{3}, & \text{jika } z \text{ ganjil negatif};\\[6pt] \dfrac{36}{5z + 2}, & \text{jika } z \text{ genap positif};\\[6pt] \dfrac{4}{5z^2 - 9z + 2}, & \text{jika } z \text{ lainnya}. \end{cases} \]
Nilai \(\,||\,||1 - ||0>> >> - 3>>\,\) sama dengan …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Tujuan soal: melatih hitung dari dalam ke luar, dan setiap hasil baru harus dicek masuk kategori yang mana (ganjil negatif / genap positif / lainnya).
Langkah 1: Hitung \(||0>>\)
\(0\) bukan ganjil negatif dan bukan genap positif, jadi \(0\) termasuk z lainnya.
Gunakan rumus \(||z>> = \dfrac{4}{5z^2 - 9z + 2}\).
\[ ||0>> = \dfrac{4}{5(0)^2 - 9(0) + 2} = \dfrac{4}{2} = 2 \]
Langkah 2: Hitung \(1 - ||0>>\)
\[ 1 - 2 = -1 \]
Langkah 3: Hitung \(||1 - ||0>> >> = ||-1>>\)
\(-1\) adalah ganjil negatif, maka gunakan rumus \(||z>> = \dfrac{16 - z^2}{3}\).
\[ ||-1>> = \dfrac{16 - (-1)^2}{3} = \dfrac{16 - 1}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \]
Langkah 4: Hitung \(\,||1 - ||0>> >> - 3\)
\[ 5 - 3 = 2 \]
Langkah 5: Hitung \(||\,||1 - ||0>> >> - 3>> = ||2>>\)
\(2\) adalah genap positif, maka gunakan rumus \(||z>> = \dfrac{36}{5z + 2}\).
\[ ||2>> = \dfrac{36}{5(2) + 2} = \dfrac{36}{12} = 3 \]
Kesimpulan:
\[ ||\,||1 - ||0>> >> - 3>> = 3 \]
No 10
Untuk setiap bilangan bulat \(z\) didefinisikan
\[ ||z>> = \begin{cases} \dfrac{16 - z^2}{3}, & \text{jika } z \text{ ganjil negatif};\\[6pt] \dfrac{36}{5z + 2}, & \text{jika } z \text{ genap positif};\\[6pt] \dfrac{4}{5z^2 - 9z + 2}, & \text{jika } z \text{ lainnya}. \end{cases} \]
Nilai \(\,||\,||\,2 - ||-1>>\,>> - ||\,3 - ||2>>\,>>\,\) sama dengan …
Klik untuk melihat pembahasan lengkap
Tujuan soal: ini lebih sulit karena ada dua cabang yang dihitung terpisah, lalu hasilnya digabung, dan setiap langkah harus memilih rumus yang tepat.
Bagian A: Hitung \(||\,2 - ||-1>>\,>>\)
Langkah A1: Hitung \(||-1>>\)
\(-1\) adalah ganjil negatif, maka:
\[ ||-1>> = \dfrac{16 - (-1)^2}{3} = \dfrac{16 - 1}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \]
Langkah A2: Hitung \(2 - ||-1>>\)
\[ 2 - 5 = -3 \]
Langkah A3: Hitung \(||\,2 - ||-1>>\,>> = ||-3>>\)
\(-3\) adalah ganjil negatif, maka:
\[ ||-3>> = \dfrac{16 - (-3)^2}{3} = \dfrac{16 - 9}{3} = \dfrac{7}{3} \]
Bagian B: Hitung \(||\,3 - ||2>>\,>>\)
Langkah B1: Hitung \(||2>>\)
\(2\) adalah genap positif, maka:
\[ ||2>> = \dfrac{36}{5(2) + 2} = \dfrac{36}{12} = 3 \]
Langkah B2: Hitung \(3 - ||2>>\)
\[ 3 - 3 = 0 \]
Langkah B3: Hitung \(||\,3 - ||2>>\,>> = ||0>>\)
\(0\) termasuk z lainnya, maka:
\[ ||0>> = \dfrac{4}{5(0)^2 - 9(0) + 2} = \dfrac{4}{2} = 2 \]
Langkah terakhir: Gabungkan hasil Bagian A dan Bagian B
Soal meminta:
\[ ||\,||\,2 - ||-1>>\,>> - ||\,3 - ||2>>\,>> \]
Kita sudah dapat:
- \(\,||\,2 - ||-1>>\,>> = \dfrac{7}{3}\)
- \(\,||\,3 - ||2>>\,>> = 2\)
Maka:
\[ \dfrac{7}{3} - 2 = \dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} = \dfrac{1}{3} \]
Kesimpulan:
\[ ||\,||\,2 - ||-1>>\,>> - ||\,3 - ||2>>\,>> = \dfrac{1}{3} \]