Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan. Bilangannya adalah: 2, 4, 8, 3, 5, 7, 8, 4.

Perhatikan bahwa ada bilangan yang muncul lebih dari satu kali, misalnya 8 dan 4. Semua bilangan tetap dihitung, tidak ada yang dihilangkan.

Selanjutnya, urutkan bilangan tersebut dari yang terbesar hingga yang terkecil.

Urutan dari terbesar ke terkecil adalah: 8, 8, 7, 5, 4, 4, 3, 2.

Sekarang kita tentukan nilai \( u \) dan \( t \) berdasarkan posisi.

Bilangan pada posisi ke-3 adalah 7, sehingga:

\( u = 7 \)

Bilangan pada posisi ke-8 adalah 2, sehingga:

\( t = 2 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( (2 \times u) - t \).

Substitusikan nilai \( u \) dan \( t \):

\( (2 \times 7) - 2 \)

Hitung satu per satu. Pertama, \( 2 \times 7 = 14 \).

Kemudian:

\( 14 - 2 = 12 \)

Jadi, nilai \( (2 \times u) - t \) adalah \( 12 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan. Bilangannya adalah: 6, 2, 9, 4, 7, 2, 8, 5, 9, 3.

Perhatikan bahwa ada bilangan yang muncul lebih dari satu kali, misalnya 9 dan 2. Semua bilangan tetap dihitung, tidak ada yang dihapus.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan dari yang terbesar hingga yang terkecil.

Urutkan dengan cara mengambil bilangan terbesar terlebih dahulu. Bilangan terbesar adalah 9, dan muncul dua kali, jadi ditulis 9, 9. Setelah itu bilangan berikutnya adalah 8, lalu 7, lalu 6, lalu 5, lalu 4, lalu 3, lalu 2, 2.

Jadi urutan lengkap dari terbesar ke terkecil adalah: 9, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 2.

Sekarang tentukan nilai \( p \), \( q \), dan \( r \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Posisi ke-2 adalah bilangan kedua, yaitu 9, sehingga:

\( p = 9 \)

Posisi ke-6 adalah bilangan keenam, yaitu 5, sehingga:

\( q = 5 \)

Posisi ke-9 adalah bilangan kesembilan, yaitu 2, sehingga:

\( r = 2 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( (p + q) - (2 \times r) \).

Substitusikan nilai \( p \), \( q \), dan \( r \):

\( (9 + 5) - (2 \times 2) \)

Hitung satu per satu. Pertama \( 9 + 5 = 14 \).

Kemudian \( 2 \times 2 = 4 \).

Terakhir:

\( 14 - 4 = 10 \)

Jadi, nilai \( (p + q) - (2 \times r) \) adalah \( 10 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan. Bilangannya adalah: 1, 3, 7, 2, 5, 4, 6, 7, 2.

Perhatikan bahwa ada bilangan yang muncul lebih dari satu kali, seperti 2 dan 7. Semua bilangan tetap dihitung dan tidak ada yang dihilangkan.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar.

Urutan dari yang terkecil ke terbesar adalah: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7.

Selanjutnya tentukan nilai \( u \) dan \( t \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Bilangan pada posisi ke-3 adalah 2, sehingga:

\( u = 2 \)

Bilangan pada posisi ke-7 adalah 6, sehingga:

\( t = 6 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( (5 \times u) - t \).

Substitusikan nilai \( u \) dan \( t \):

\( (5 \times 2) - 6 \)

Hitung satu per satu. Pertama, \( 5 \times 2 = 10 \).

Kemudian:

\( 10 - 6 = 4 \)

Jadi, nilai \( (5 \times u) - t \) adalah \( 4 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan, yaitu: 4, 1, 6, 3, 8, 5, 2, 7, 6, 3.

Perhatikan bahwa ada beberapa bilangan yang muncul lebih dari satu kali, seperti 3 dan 6. Semua bilangan tetap dihitung dan tidak ada yang dihilangkan.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan tersebut dari yang terkecil hingga terbesar.

Urutan bilangan dari yang terkecil ke terbesar adalah: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8.

Selanjutnya, tentukan nilai \( p \) dan \( q \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Bilangan pada posisi ke-4 adalah 3, sehingga:

\( p = 3 \)

Bilangan pada posisi ke-9 adalah 7, sehingga:

\( q = 7 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( (3 \times p) - q \).

Substitusikan nilai \( p \) dan \( q \) ke dalam ekspresi:

\( (3 \times 3) - 7 \)

Hitung satu per satu. Pertama, \( 3 \times 3 = 9 \).

Kemudian:

\( 9 - 7 = 2 \)

Jadi, nilai \( (3 \times p) - q \) adalah \( 2 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan. Bilangannya adalah: 3, 8, 1, 5, 3, 4, 9, 7.

Perhatikan bahwa ada bilangan yang muncul lebih dari satu kali, yaitu 3. Semua bilangan tetap dihitung dan tidak ada yang dihilangkan.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar.

Urutan bilangan dari yang terkecil ke terbesar adalah: 1, 3, 3, 4, 5, 7, 8, 9.

Selanjutnya tentukan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Bilangan pada posisi ke-1 adalah 1, sehingga:

\( a = 1 \)

Bilangan pada posisi ke-2 adalah 3, sehingga:

\( b = 3 \)

Bilangan pada posisi ke-3 adalah 3, sehingga:

\( c = 3 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( a + (b \times c) \).

Substitusikan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \):

\( 1 + (3 \times 3) \)

Hitung perkalian terlebih dahulu:

\( 3 \times 3 = 9 \)

Kemudian jumlahkan dengan \( a \):

\( 1 + 9 = 10 \)

Jadi, nilai \( a + (b \times c) \) adalah \( 10 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan, yaitu: 6, 2, 9, 4, 6, 1, 8, 3, 5, 2.

Perhatikan bahwa beberapa bilangan muncul lebih dari satu kali, seperti 2 dan 6. Semua bilangan tetap dihitung dan tidak ada yang dihilangkan.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar.

Urutan bilangan dari yang terkecil ke terbesar adalah: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8, 9.

Selanjutnya tentukan nilai \( p \), \( q \), dan \( r \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Bilangan pada posisi ke-2 adalah 2, sehingga:

\( p = 2 \)

Bilangan pada posisi ke-5 adalah 4, sehingga:

\( q = 4 \)

Bilangan pada posisi ke-8 adalah 6, sehingga:

\( r = 6 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( (p \times q) - r \).

Substitusikan nilai \( p \), \( q \), dan \( r \):

\( (2 \times 4) - 6 \)

Hitung satu per satu. Pertama, \( 2 \times 4 = 8 \).

Kemudian:

\( 8 - 6 = 2 \)

Jadi, nilai \( (p \times q) - r \) adalah \( 2 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan. Bilangannya adalah: 7, 1, 3, 5, 2, 5, 1, 4, 6, 9.

Perhatikan bahwa ada bilangan yang muncul lebih dari satu kali, yaitu 1 dan 5. Semua bilangan tetap dihitung dan tidak ada yang dihilangkan.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar.

Urutan bilangan dari yang terkecil ke terbesar adalah: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 9.

Selanjutnya, tentukan nilai \( t \) dan \( v \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Bilangan pada posisi ke-3 adalah 2, sehingga:

\( t = 2 \)

Bilangan pada posisi ke-8 adalah 6, sehingga:

\( v = 6 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( t + (2 \times v) \).

Substitusikan nilai \( t \) dan \( v \):

\( 2 + (2 \times 6) \)

Hitung perkalian terlebih dahulu:

\( 2 \times 6 = 12 \)

Kemudian jumlahkan dengan \( t \):

\( 2 + 12 = 14 \)

Jadi, nilai \( t + (2 \times v) \) adalah \( 14 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan, yaitu: 9, 2, 7, 3, 5, 2, 8, 4, 7, 1, 6.

Perhatikan bahwa ada bilangan yang muncul lebih dari satu kali, misalnya 2 dan 7. Semua bilangan tetap dihitung dan tidak ada yang dihilangkan.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar.

Urutan bilangan dari yang terkecil ke terbesar adalah: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9.

Langkah ketiga adalah menentukan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Posisi ke-4 adalah bilangan keempat, yaitu 3, sehingga:

\( a = 3 \)

Posisi ke-7 adalah bilangan ketujuh, yaitu 6, sehingga:

\( b = 6 \)

Posisi ke-10 adalah bilangan kesepuluh, yaitu 8, sehingga:

\( c = 8 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( (2 \times a) + b - c \).

Substitusikan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \):

\( (2 \times 3) + 6 - 8 \)

Hitung satu per satu. Pertama, \( 2 \times 3 = 6 \).

Kemudian:

\( 6 + 6 = 12 \)

Terakhir:

\( 12 - 8 = 4 \)

Jadi, nilai \( (2 \times a) + b - c \) adalah \( 4 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan. Bilangannya adalah: 6, 2, 6, 8, 9, 4, 4, 3, 2, 9.

Perhatikan bahwa ada bilangan yang muncul lebih dari satu kali, seperti 2, 4, 6, dan 9. Semua bilangan tetap dihitung dan tidak ada yang dihilangkan.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar.

Urutan bilangan dari yang terkecil ke terbesar adalah: 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 9, 9.

Selanjutnya, tentukan nilai \( r \) dan \( u \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Bilangan pada posisi ke-5 adalah 4, sehingga:

\( r = 4 \)

Bilangan pada posisi ke-7 adalah 6, sehingga:

\( u = 6 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( (r \times u) - u \).

Substitusikan nilai \( r \) dan \( u \):

\( (4 \times 6) - 6 \)

Hitung perkalian terlebih dahulu:

\( 4 \times 6 = 24 \)

Kemudian kurangkan dengan \( u \):

\( 24 - 6 = 18 \)

Jadi, nilai \( (r \times u) - u \) adalah \( 18 \).

Langkah pertama adalah menuliskan semua bilangan yang diberikan, yaitu: 8, 3, 7, 2, 5, 9, 4, 6, 3, 8, 1, 7.

Perhatikan bahwa ada bilangan yang muncul lebih dari satu kali, seperti 3, 7, dan 8. Semua bilangan tetap dihitung dan tidak ada yang dihilangkan.

Langkah kedua adalah mengurutkan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar.

Urutan bilangan dari yang terkecil ke terbesar adalah: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9.

Langkah ketiga adalah menentukan nilai \( p \) dan \( q \) berdasarkan posisi dalam urutan tersebut.

Posisi ke-6 adalah bilangan keenam, yaitu 5, sehingga:

\( p = 5 \)

Posisi ke-11 adalah bilangan kesebelas, yaitu 8, sehingga:

\( q = 8 \)

Langkah berikutnya adalah menghitung nilai \( (p \times q) - (p + q) \).

Substitusikan nilai \( p \) dan \( q \):

\( (5 \times 8) - (5 + 8) \)

Hitung perkalian terlebih dahulu:

\( 5 \times 8 = 40 \)

Kemudian hitung penjumlahan di dalam tanda kurung:

\( 5 + 8 = 13 \)

Terakhir kurangkan:

\( 40 - 13 = 27 \)

Jadi, nilai \( (p \times q) - (p + q) \) adalah \( 27 \).

Langkah pertama, kita hitung terlebih dahulu bagian dalam yaitu \(3 \Delta 2\).

Rumus operasi \(\Delta\) adalah:

\(a \Delta b = \frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b\)

Substitusi \(a = 3\) dan \(b = 2\):

\(3 \Delta 2 = \frac{1}{3}(3) + \frac{2}{3}(2)\)

Hitung satu per satu:

\(\frac{1}{3}(3) = 1\)

\(\frac{2}{3}(2) = \frac{4}{3}\)

Sehingga:

\(3 \Delta 2 = 1 + \frac{4}{3}\)

Samakan penyebut:

\(1 = \frac{3}{3}\)

Maka:

\(3 \Delta 2 = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}\)

Langkah kedua, kita hitung:

\((3 \Delta 2) \nabla 6 = \frac{7}{3} \nabla 6\)

Rumus operasi \(\nabla\) adalah:

\(a \nabla b = \frac{2}{3}a + \frac{1}{3}b\)

Substitusi \(a = \frac{7}{3}\) dan \(b = 6\):

\(\frac{7}{3} \nabla 6 = \frac{2}{3}\left(\frac{7}{3}\right) + \frac{1}{3}(6)\)

Hitung masing-masing:

\(\frac{2}{3} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{9}\)

\(\frac{1}{3} \times 6 = 2\)

Ubah 2 ke bentuk pecahan berpenyebut 9:

\(2 = \frac{18}{9}\)

Jumlahkan:

\(\frac{14}{9} + \frac{18}{9} = \frac{32}{9}\)

Jadi,

\((3 \Delta 2) \nabla 6 = \frac{32}{9}\)

Jawaban yang benar adalah (A).

Langkah pertama, kita hitung bagian dalam yaitu \(4 \nabla 1\).

Rumus operasi \(\nabla\) adalah:

\(a \nabla b = \frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b\)

Substitusi \(a = 4\) dan \(b = 1\):

\(4 \nabla 1 = \frac{1}{3}(4) + \frac{2}{3}(1)\)

Hitung masing-masing:

\(\frac{1}{3}(4) = \frac{4}{3}\)

\(\frac{2}{3}(1) = \frac{2}{3}\)

Jumlahkan:

\(\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2\)

Langkah kedua, kita hitung:

\((4 \nabla 1) \Delta 5 = 2 \Delta 5\)

Rumus operasi \(\Delta\) adalah:

\(a \Delta b = \frac{2}{3}a + \frac{1}{3}b\)

Substitusi \(a = 2\) dan \(b = 5\):

\(2 \Delta 5 = \frac{2}{3}(2) + \frac{1}{3}(5)\)

Hitung masing-masing:

\(\frac{2}{3}(2) = \frac{4}{3}\)

\(\frac{1}{3}(5) = \frac{5}{3}\)

Jumlahkan:

\(\frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3\)

Nilai akhir adalah \(3\).

Dalam bentuk pecahan berpenyebut 9:

\(3 = \frac{27}{9}\)

Namun hasil tersebut tidak ada pada pilihan. Maka kita cek kembali definisi awal.

Definisi yang digunakan pada soal adalah:

\(a \Delta b = \frac{2}{3}a + \frac{1}{3}b\)

\(a \nabla b = \frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b\)

Perhitungan di atas sudah sesuai, sehingga hasil akhirnya adalah \(3 = \frac{27}{9}\).

Karena pilihan terdekat adalah \(\frac{31}{9}\), maka soal ini mengandung jebakan jika siswa tidak teliti membaca definisi.

Langkah pertama, hitung terlebih dahulu bagian dalam yaitu \(5 \Delta 1\).

Rumus operasi \(\Delta\) adalah:

\(a \Delta b = \frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b\)

Substitusi \(a = 5\) dan \(b = 1\):

\(5 \Delta 1 = \frac{1}{3}(5) + \frac{2}{3}(1)\)

Hitung masing-masing:

\(\frac{1}{3}(5) = \frac{5}{3}\)

\(\frac{2}{3}(1) = \frac{2}{3}\)

Jumlahkan:

\(\frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}\)

Langkah kedua, hitung:

\((5 \Delta 1) \nabla 4 = \frac{7}{3} \nabla 4\)

Rumus operasi \(\nabla\) adalah:

\(a \nabla b = \frac{2}{3}a + \frac{1}{3}b\)

Substitusi \(a = \frac{7}{3}\) dan \(b = 4\):

\(\frac{7}{3} \nabla 4 = \frac{2}{3}\left(\frac{7}{3}\right) + \frac{1}{3}(4)\)

Hitung masing-masing:

\(\frac{2}{3} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{9}\)

\(\frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}\)

Ubah \(\frac{4}{3}\) menjadi penyebut 9:

\(\frac{4}{3} = \frac{12}{9}\)

Jumlahkan:

\(\frac{14}{9} + \frac{12}{9} = \frac{26}{9}\)

Jadi,

\((5 \Delta 1) \nabla 4 = \frac{26}{9}\)

Namun nilai tersebut tidak terdapat pada pilihan, sehingga kita periksa kembali perhitungan.

Perhitungan sudah sesuai dengan rumus, sehingga nilai akhirnya adalah \(\frac{26}{9}\).

Artinya soal ini menuntut ketelitian penuh dalam memahami definisi operasi.

Karena bangun tersebut adalah persegi panjang, maka dua sisi yang berdekatan harus saling tegak lurus.

Gunakan rumus gradien garis:

\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

Hitung gradien antara dua titik pertama:

Titik \(A(-5,1)\) dan \(B(-4,4)\)

\(m_{AB} = \frac{4 - 1}{-4 - (-5)} = \frac{3}{1} = 3\)

Sekarang hitung gradien antara \(A(-5,1)\) dan \(C(8,0)\)

\(m_{AC} = \frac{0 - 1}{8 - (-5)} = \frac{-1}{13}\)

Karena \(3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\), maka pasangan sisi yang tegak lurus harus memenuhi

\(m_1 \times m_2 = -1\)

Periksa titik \(B(-4,4)\) dan \(C(8,0)\):

\(m_{BC} = \frac{0 - 4}{8 - (-4)} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\)

Karena

\(3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\)

Maka sudut siku-siku berada di titik \(B\).

Untuk mencari titik keempat persegi panjang, gunakan sifat jajargenjang:

Jika tiga titik diketahui \(A, B, C\), maka titik keempat \(D\) dapat dicari dengan:

\(D = A + C - B\)

Substitusi:

\(D_x = -5 + 8 - (-4) = -5 + 8 + 4 = 7\)

\(D_y = 1 + 0 - 4 = -3\)

Sehingga diperoleh:

\(D = (7,-3)\)

Jadi titik keempat persegi panjang tersebut adalah

\((7,-3)\)

Jawaban yang benar adalah (D).

Karena segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi, maka ketiga sisinya sama panjang.

Langkah pertama, hitung panjang sisi yang diketahui menggunakan rumus jarak dua titik:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Untuk titik \(A(-2,1)\) dan \(B(4,1)\):

\(d_{AB} = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2}\)

\(= \sqrt{6^2 + 0}\)

\(= 6\)

Jadi panjang sisi segitiga adalah \(6\).

Karena kedua titik memiliki ordinat sama, maka sisi \(AB\) sejajar sumbu \(x\). Titik tengah \(AB\) adalah:

\(\left(\frac{-2+4}{2},\frac{1+1}{2}\right) = (1,1)\)

Tinggi segitiga sama sisi dengan sisi \(s\) adalah:

\(t = \frac{\sqrt{3}}{2}s\)

Substitusi \(s = 6\):

\(t = \frac{\sqrt{3}}{2}(6) = 3\sqrt{3}\)

Karena alas sejajar sumbu \(x\), maka titik ketiga berada di atas atau di bawah titik tengah.

Koordinat titik ketiga:

\((1, 1 + 3\sqrt{3})\) atau \((1, 1 - 3\sqrt{3})\)

Yang terdapat pada pilihan jawaban adalah:

\((1,3\sqrt{3}+1)\)

Jadi jawaban yang benar adalah (A).

Diketahui dua titik alas segitiga:

\(A(-3,2)\) dan \(B(5,2)\)

Karena kedua titik memiliki ordinat sama, maka \(AB\) sejajar sumbu \(x\).

Langkah pertama, hitung panjang alas menggunakan rumus jarak dua titik:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(d_{AB} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (2 - 2)^2}\)

\(= \sqrt{8^2 + 0}\)

\(= 8\)

Titik ketiga segitiga sama kaki terletak pada garis sumbu tegak lurus alas. Titik tengah \(AB\) adalah:

\(\left(\frac{-3+5}{2},\frac{2+2}{2}\right) = (1,2)\)

Misalkan titik ketiga \(C(1,y)\).

Karena panjang sisi yang sama adalah \(5\), maka berlaku:

\(AC = 5\)

Gunakan rumus jarak:

\(\sqrt{(1 - (-3))^2 + (y - 2)^2} = 5\)

\(\sqrt{4^2 + (y - 2)^2} = 5\)

\(\sqrt{16 + (y - 2)^2} = 5\)

Kuadratkan kedua ruas:

\(16 + (y - 2)^2 = 25\)

\((y - 2)^2 = 9\)

\(y - 2 = 3\) atau \(y - 2 = -3\)

\(y = 5\) atau \(y = -1\)

Maka titik ketiga adalah:

\((1,5)\) atau \((1,-1)\)

Yang terdapat pada pilihan adalah \((1,5)\).

Jadi jawaban yang benar adalah (A).

Karena bangun tersebut adalah persegi panjang, maka dua sisi yang berdekatan saling tegak lurus.

Langkah pertama, hitung panjang sisi menggunakan rumus jarak dua titik:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Hitung panjang sisi antara titik \(A(-5,1)\) dan \(B(-4,4)\):

\(AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (4 - 1)^2}\)

\(= \sqrt{1^2 + 3^2}\)

\(= \sqrt{1 + 9}\)

\(= \sqrt{10}\)

Hitung panjang sisi antara titik \(B(-4,4)\) dan \(C(8,0)\):

\(BC = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (0 - 4)^2}\)

\(= \sqrt{12^2 + (-4)^2}\)

\(= \sqrt{144 + 16}\)

\(= \sqrt{160}\)

\(= 4\sqrt{10}\)

Karena \(AB\) dan \(BC\) adalah sisi yang saling tegak lurus, maka luas persegi panjang adalah:

\(L = p \times l\)

\(L = \sqrt{10} \times 4\sqrt{10}\)

Gunakan sifat akar:

\(\sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10\)

Sehingga:

\(L = 4 \times 10\)

\(L = 40\)

Jadi luas persegi panjang tersebut adalah \(40\).

Jawaban yang benar adalah (B).

Karena segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi, maka ketiga sisinya sama panjang.

Langkah pertama, hitung panjang sisi menggunakan rumus jarak dua titik:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Untuk titik \(A(-2,1)\) dan \(B(4,1)\):

\(AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2}\)

\(= \sqrt{6^2 + 0}\)

\(= 6\)

Karena segitiga sama sisi, maka panjang sisi \(s = 6\).

Rumus luas segitiga sama sisi adalah:

\(L = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2\)

Substitusi \(s = 6\):

\(L = \frac{\sqrt{3}}{4}(6^2)\)

\(= \frac{\sqrt{3}}{4}(36)\)

\(= 9\sqrt{3}\)

Jadi luas segitiga sama sisi tersebut adalah \(9\sqrt{3}\).

Jawaban yang benar adalah (A).

Diketahui titik alas segitiga:

\(A(-3,2)\) dan \(B(5,2)\)

Karena kedua titik memiliki ordinat sama, maka alas segitiga sejajar sumbu \(x\).

Langkah pertama, hitung panjang alas menggunakan rumus jarak dua titik:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

\(AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (2 - 2)^2}\)

\(= \sqrt{8^2}\)

\(= 8\)

Titik ketiga \(C\) terletak pada garis sumbu tegak lurus alas. Titik tengah alas:

\(\left(\frac{-3+5}{2},\frac{2+2}{2}\right) = (1,2)\)

Misalkan \(C(1,y)\).

Karena panjang sisi yang sama adalah \(5\), maka berlaku:

\(\sqrt{(1 - (-3))^2 + (y - 2)^2} = 5\)

\(\sqrt{4^2 + (y - 2)^2} = 5\)

\(\sqrt{16 + (y - 2)^2} = 5\)

Kuadratkan kedua ruas:

\(16 + (y - 2)^2 = 25\)

\((y - 2)^2 = 9\)

\(y - 2 = 3\) atau \(y - 2 = -3\)

\(y = 5\) atau \(y = -1\)

Tinggi segitiga adalah jarak vertikal dari alas ke titik \(C\):

\(t = |5 - 2| = 3\)

Gunakan rumus luas segitiga:

\(L = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi\)

\(L = \frac{1}{2} \times 8 \times 3\)

\(L = 12\)

Jadi luas segitiga sama kaki tersebut adalah \(12\).

Jawaban yang benar adalah (A).

Karena bangun tersebut adalah persegi panjang, maka dua sisi yang berdekatan saling tegak lurus.

Langkah pertama, hitung panjang sisi menggunakan rumus jarak dua titik:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Hitung panjang sisi \(AB\) antara titik \(A(-5,1)\) dan \(B(-4,4)\):

\(AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (4 - 1)^2}\)

\(= \sqrt{1^2 + 3^2}\)

\(= \sqrt{10}\)

Hitung panjang sisi \(BC\) antara titik \(B(-4,4)\) dan \(C(8,0)\):

\(BC = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (0 - 4)^2}\)

\(= \sqrt{12^2 + (-4)^2}\)

\(= \sqrt{144 + 16}\)

\(= \sqrt{160}\)

\(= 4\sqrt{10}\)

Diagonal persegi panjang dapat dihitung menggunakan Teorema Pythagoras:

\(d = \sqrt{p^2 + l^2}\)

Dengan \(p = \sqrt{10}\) dan \(l = 4\sqrt{10}\):

\(d = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + (4\sqrt{10})^2}\)

\(= \sqrt{10 + 16 \times 10}\)

\(= \sqrt{10 + 160}\)

\(= \sqrt{170}\)

Jadi panjang diagonal persegi panjang tersebut adalah \(\sqrt{170}\).

Jawaban yang benar adalah (A).

Karena terdapat 7 huruf berbeda, maka secara umum banyak susunan seluruh huruf adalah menggunakan rumus permutasi:

\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1\)

Namun pada soal ini terdapat syarat bahwa huruf konsonan harus berada pada posisi pertama dan terakhir.

Langkah pertama, pilih huruf konsonan untuk posisi pertama.

Tersedia 4 konsonan, sehingga ada:

\(4\) cara.

Langkah kedua, pilih huruf konsonan untuk posisi terakhir.

Karena satu konsonan sudah dipakai, tersisa 3 konsonan.

Sehingga ada:

\(3\) cara.

Langkah ketiga, susun 5 huruf yang tersisa (2 konsonan dan 3 vokal) di posisi tengah.

Karena semua huruf berbeda, gunakan permutasi:

\(5!\)

Hitung:

\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

Total cara:

\(4 \times 3 \times 120\)

\(= 12 \times 120\)

\(= 1440\)

Jadi banyak cara menyusun huruf tersebut adalah \(1440\).

Jawaban yang benar adalah (A).

Kita akan mengubah satuan volume dari \(cm^3\) ke \(m^3\).

Langkah pertama, ingat hubungan satuan panjang:

\(1 \, m = 100 \, cm\)

Karena yang diubah adalah volume (pangkat tiga), maka:

\(1 \, m^3 = (100)^3 \, cm^3\)

\(= 1.000.000 \, cm^3\)

Artinya:

\(1 \, cm^3 = \frac{1}{1.000.000} \, m^3\)

Sekarang ubah \(4.750 \, cm^3\) ke \(m^3\):

\(4.750 \div 1.000.000\)

\(= 0,00475\)

Jadi volume kubus tersebut dalam \(m^3\) adalah \(0,00475\).

Jawaban yang benar adalah (E).

Rumus volume prisma adalah:

\(V = L_{alas} \times t\)

Karena alas berbentuk segitiga siku-siku, maka luas alas dihitung dengan rumus:

\(L_{alas} = \frac{1}{2} \times a \times b\)

Dengan \(a = 6\) dan \(b = 8\):

\(L_{alas} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8\)

\(= \frac{1}{2} \times 48\)

\(= 24 \, cm^2\)

Tinggi prisma adalah \(10 \, cm\), sehingga:

\(V = 24 \times 10\)

\(= 240 \, cm^3\)

Jadi volume prisma segitiga tersebut adalah \(240 \, cm^3\).

Jawaban yang benar adalah (C).

Rumus volume tabung adalah:

\(V = \pi r^2 t\)

Karena jari-jari \(r = 7 \, cm\) dan tinggi \(t = 10 \, cm\), maka:

\(V = \pi \times 7^2 \times 10\)

\(= \pi \times 49 \times 10\)

\(= 490\pi\)

Gunakan nilai \(\pi = \frac{22}{7}\) karena jari-jari kelipatan 7.

\(V = 490 \times \frac{22}{7}\)

\(= 70 \times 22\)

\(= 1.540 \, cm^3\)

Jadi volume tabung tersebut adalah \(1.540 \, cm^3\).

Jawaban yang benar adalah (A).

Rumus volume bola adalah:

\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)

Diketahui \(r = 7 \, cm\), maka:

\(V = \frac{4}{3}\pi (7^3)\)

Hitung terlebih dahulu:

\(7^3 = 343\)

Sehingga:

\(V = \frac{4}{3}\pi (343)\)

Karena jari-jari kelipatan 7, gunakan \(\pi = \frac{22}{7}\).

\(V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 343\)

Sederhanakan terlebih dahulu:

\(343 \div 7 = 49\)

Maka:

\(V = \frac{4}{3} \times 22 \times 49\)

Hitung:

\(22 \times 49 = 1.078\)

Sehingga:

\(V = \frac{4 \times 1.078}{3}\)

\(= \frac{4.312}{3} \, cm^3\)

Jadi volume bola tersebut adalah \(\frac{4.312}{3} \, cm^3\).

Jawaban yang benar adalah (A).

Rumus volume balok adalah:

\(V = p \times l \times t\)

Dengan:

\(p = 12\)

\(l = 8\)

\(t = 5\)

Substitusi ke rumus:

\(V = 12 \times 8 \times 5\)

Hitung bertahap:

\(12 \times 8 = 96\)

\(96 \times 5 = 480\)

Jadi volume balok tersebut adalah \(480 \, cm^3\).

Jawaban yang benar adalah (D).

Rumus volume limas adalah:

\(V = \frac{1}{3} \times L_{alas} \times t\)

Karena alas berbentuk persegi, maka luas alas:

\(L_{alas} = s^2\)

Dengan \(s = 12\), maka:

\(L_{alas} = 12^2\)

\(= 144\)

Tinggi limas \(t = 10\).

Substitusi ke rumus volume:

\(V = \frac{1}{3} \times 144 \times 10\)

\(= \frac{1}{3} \times 1.440\)

\(= 480 \, cm^3\)

Jadi volume limas segiempat tersebut adalah \(480 \, cm^3\).

Jawaban yang benar adalah (C).

Bilangan ganjil berurutan membentuk barisan aritmetika.

Rumus jumlah \(n\) suku pertama barisan aritmetika adalah:

\(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)

Dengan:

\(a\) = suku pertama \(l\) = suku terakhir \(n\) = banyak suku

Diketahui:

\(a = 35\) \(l = 85\)

Langkah pertama, tentukan banyak suku.

Rumus suku ke-\(n\):

\(l = a + (n-1)b\)

Karena selisih bilangan ganjil adalah \(b = 2\), maka:

\(85 = 35 + (n-1)2\)

\(85 - 35 = 2(n-1)\)

\(50 = 2(n-1)\)

\(25 = n-1\)

\(n = 26\)

Langkah kedua, hitung jumlah:

\(S_n = \frac{26}{2}(35 + 85)\)

\(= 13 \times 120\)

\(= 1.560\)

Jadi jumlah semua bilangan ganjil tersebut adalah 1.560.

Jawaban yang benar adalah (E).

Bilangan genap berurutan membentuk barisan aritmetika.

Rumus jumlah \(n\) suku pertama barisan aritmetika adalah:

\(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)

Dengan:

\(a\) = suku pertama \(l\) = suku terakhir \(b\) = beda \(n\) = banyak suku

Diketahui:

\(a = 24\) \(l = 84\) \(b = 2\)

Langkah pertama, tentukan banyak suku menggunakan rumus suku ke-\(n\):

\(l = a + (n-1)b\)

\(84 = 24 + (n-1)2\)

\(84 - 24 = 2(n-1)\)

\(60 = 2(n-1)\)

\(30 = n-1\)

\(n = 31\)

Langkah kedua, hitung jumlah:

\(S_n = \frac{31}{2}(24 + 84)\)

\(= \frac{31}{2}(108)\)

\(= 31 \times 54\)

\(= 1.674\)

Jadi jumlah semua bilangan genap tersebut adalah 1.674.

Jawaban yang benar tidak terdapat pada pilihan, sehingga perlu diperiksa kembali opsi jawaban.

Bilangan yang habis dibagi 3 membentuk barisan aritmetika dengan beda \(b = 3\).

Bilangan pertama \(a = 30\) dan bilangan terakhir \(l = 90\).

Rumus suku ke-\(n\):

\(l = a + (n-1)b\)

\(90 = 30 + (n-1)3\)

\(60 = 3(n-1)\)

\(20 = n-1\)

\(n = 21\)

Rumus jumlah \(n\) suku pertama:

\(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)

\(S_n = \frac{21}{2}(30 + 90)\)

\(= \frac{21}{2}(120)\)

\(= 21 \times 60\)

\(= 1.260\)

Jadi jumlah semua bilangan tersebut adalah 1.260.

Jawaban yang benar tidak terdapat pada pilihan.

Bilangan yang habis dibagi 4 membentuk barisan aritmetika dengan beda \(b = 4\).

Bilangan pertama \(a = 20\) dan bilangan terakhir \(l = 100\).

Rumus suku ke-\(n\):

\(l = a + (n-1)b\)

\(100 = 20 + (n-1)4\)

\(80 = 4(n-1)\)

\(20 = n-1\)

\(n = 21\)

Rumus jumlah \(n\) suku pertama:

\(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)

\(S_n = \frac{21}{2}(20 + 100)\)

\(= \frac{21}{2}(120)\)

\(= 21 \times 60\)

\(= 1.260\)

Jadi jumlah semua bilangan tersebut adalah 1.260.

Perlu diperiksa kembali pilihan jawaban karena hasil tidak terdapat pada opsi.

Bilangan ganjil berurutan membentuk barisan aritmetika.

Rumus rata-rata (mean) barisan aritmetika adalah:

\(\bar{x} = \frac{a + l}{2}\)

Dengan:

\(a\) = suku pertama \(l\) = suku terakhir

Diketahui:

\(a = 35\) \(l = 85\)

Substitusi ke rumus:

\(\bar{x} = \frac{35 + 85}{2}\)

\(= \frac{120}{2}\)

\(= 60\)

Jadi rata-rata bilangan ganjil tersebut adalah 60.

Jawaban yang benar adalah (A).

Bilangan genap berurutan membentuk barisan aritmetika dengan beda \(b = 2\).

Rumus rata-rata barisan aritmetika adalah:

\(\bar{x} = \frac{a + l}{2}\)

Dengan:

\(a\) = suku pertama \(l\) = suku terakhir

Diketahui:

\(a = 24\) \(l = 84\)

Substitusi ke rumus:

\(\bar{x} = \frac{24 + 84}{2}\)

\(= \frac{108}{2}\)

\(= 54\)

Jadi rata-rata bilangan genap tersebut adalah 54.

Jawaban yang benar adalah (B).

Bentuk umum lingkaran pada materi SMA adalah:

\( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)

Untuk mengubah ke bentuk pusat \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), kita melakukan metode melengkapi kuadrat sempurna.

Diketahui:

\( x^2 + y^2 - 8x + 10y = c \)

Kelompokkan suku \( x \) dan \( y \):

\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 10y) = c \)

Lengkapi kuadrat pada masing-masing kelompok.

Untuk \( x^2 - 8x \):

\( \left(\frac{-8}{2}\right)^2 = 16 \)

Untuk \( y^2 + 10y \):

\( \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25 \)

Tambahkan 16 dan 25 ke ruas kiri, maka harus ditambahkan juga ke ruas kanan agar tetap seimbang:

\( (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = c + 16 + 25 \)

Ubah menjadi bentuk kuadrat sempurna:

\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = c + 41 \)

Diketahui bentuk ekuivalennya adalah:

\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = 9 \)

Artinya:

\( c + 41 = 9 \)

Sehingga:

\( c = 9 - 41 \)

\( c = -32 \)

Jadi jawabannya adalah B.

Gunakan bentuk umum lingkaran:

\( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)

Lakukan metode melengkapi kuadrat sempurna.

\( x^2 + y^2 + 6x - 4y = c \)

\( (x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) = c \)

Untuk \( x^2 + 6x \):

\( \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 \)

Untuk \( y^2 - 4y \):

\( \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4 \)

Tambahkan ke kedua ruas:

\( (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = c + 9 + 4 \)

\( (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = c + 13 \)

Diketahui ekuivalen dengan:

\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = 16 \)

Maka:

\( c + 13 = 16 \)

\( c = 3 \)

Namun perhatikan bahwa bentuk awal belum dalam bentuk sama dengan nol. Untuk menyamakan dengan bentuk standar:

\( (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16 \)

Sehingga:

\( c + 13 = 16 \Rightarrow c = 3 \)

Karena pilihan jawaban bernilai negatif, kita cek kembali tanda awal. Persamaan harus dipindahkan:

\( x^2 + y^2 + 6x - 4y - c = 0 \)

Setelah proses yang sama akan diperoleh:

\( (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 13 + c \)

Agar sama dengan \( 16 \):

\( 13 + c = 16 \)

\( c = 3 \)

Karena tidak ada dalam pilihan, berarti radius harus sesuai opsi. Perbaikan perhitungan:

\( (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = c + 13 \)

Agar sama dengan \( 16 \):

\( c + 13 = 16 \Rightarrow c = 3 \)

Soal ini menghasilkan nilai positif. Jika mengikuti opsi yang tersedia, maka soal dapat dimodifikasi. Namun secara perhitungan matematis yang benar:

Jawaban yang benar adalah \( 3 \).

Gunakan metode melengkapi kuadrat sempurna.

\( x^2 + y^2 - 4x - 6y = c \)

\( (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) = c \)

Lengkapi kuadrat pada masing-masing bagian.

Untuk \( x^2 - 4x \):

\( \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4 \)

Untuk \( y^2 - 6y \):

\( \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9 \)

Tambahkan 4 dan 9 ke kedua ruas:

\( (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = c + 4 + 9 \)

\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = c + 13 \)

Diketahui bentuk ekuivalennya:

\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = 25 \)

Maka:

\( c + 13 = 25 \)

\( c = 12 \)

Namun karena persamaan awal ditulis

\( x^2 + y^2 - 4x - 6y = c \)

Jika dipindahkan ke bentuk standar:

\( x^2 + y^2 - 4x - 6y - c = 0 \)

Maka setelah melengkapi kuadrat:

\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 + c \)

Agar sama dengan 25:

\( 13 + c = 25 \Rightarrow c = 12 \)

Karena nilai 12 tidak ada dalam pilihan, perhatikan tanda awal: kita kembali ke bentuk pertama

\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = c + 13 \)

Agar sama dengan 25:

\( c + 13 = 25 \)

\( c = 12 \)

Secara perhitungan matematis yang benar:

\( c = 12 \)

Semua bilangan dua angka yang dapat dibentuk dari angka \( 1,5,7,9 \) tanpa pengulangan adalah:

\( 15,17,19,51,57,59,71,75,79,91,95,97 \)

Pernyataan 1

Bilangan dua angka terkecil adalah \( 15 \).

Syarat kelipatan 5 (materi SMP/SMA):

Bilangan kelipatan 5 berakhiran \( 0 \) atau \( 5 \).

Karena \( 15 \) berakhiran \( 5 \), maka merupakan kelipatan 5.

Pernyataan pertama = B.

Pernyataan 2

Untuk hasil kali terbesar, ambil dua bilangan terbesar:

\( 97 \) dan \( 95 \)

\( 97 \times 95 = 9215 \)

Sedangkan:

\( 91 \times 75 = 6825 \)

Karena \( 9215 \gt 6825 \), maka pernyataan kedua salah.

Pernyataan kedua = S.

Pernyataan 3

Selisih terkecil terjadi pada dua bilangan yang nilainya paling berdekatan.

\( 97 - 95 = 2 \)

Karena \( 2 \lt 12 \), maka pernyataan salah.

Pernyataan ketiga = S.

Pernyataan 4

Selisih terbesar terjadi pada:

\( 97 - 15 = 82 \)

Karena hasilnya \( 82 \), maka pernyataan benar.

Pernyataan keempat = B.

Urutan jawaban:

\( BSSB \)

Jadi jawaban yang benar adalah C.

Semua bilangan dua angka yang dapat dibentuk tanpa pengulangan dari angka \( 2,4,6,8 \) adalah:

\( 24,26,28,42,46,48,62,64,68,82,84,86 \)

Pernyataan 1

Bilangan terbesar adalah \( 86 \).

Syarat kelipatan 4:

Dua angka terakhir habis dibagi 4.

Karena \( 86 \div 4 \) tidak menghasilkan bilangan bulat, maka bukan kelipatan 4.

Pernyataan pertama = S.

Pernyataan 2

Perkalian terbesar diperoleh dari dua bilangan terbesar:

\( 86 \times 84 \)

\( = 7224 \)

Coba pasangan lain terbesar:

\( 86 \times 82 = 7052 \)

Karena \( 7224 \gt 7052 \), maka benar bahwa hasil terbesar adalah \( 86 \times 84 \).

Pernyataan kedua = B.

Pernyataan 3

Selisih terkecil:

\( 86 - 84 = 2 \)

Tidak ada pasangan yang selisihnya lebih kecil dari 2.

Pernyataan ketiga = B.

Pernyataan 4

Selisih terbesar:

\( 86 - 24 = 62 \)

Karena \( 62 \lt 64 \), maka pernyataan salah.

Pernyataan keempat = S.

Urutan:

\( SBBS \)

Jawaban yang benar adalah C.

Semua bilangan dua angka yang dapat dibentuk tanpa pengulangan dari angka \( 3,4,6,8 \) adalah:

\( 34,36,38,43,46,48,63,64,68,83,84,86 \)

Pernyataan 1

Bilangan terkecil adalah \( 34 \).

Syarat kelipatan 3:

Jumlah digit habis dibagi 3.

Untuk \( 34 \):

\( 3 + 4 = 7 \)

Karena \( 7 \) tidak habis dibagi 3, maka bukan kelipatan 3.

Pernyataan pertama = S.

Pernyataan 2

Bilangan terbesar adalah \( 86 \) dan berikutnya \( 84 \).

\( 86 \times 84 = 7224 \)

Bandingkan dengan pasangan lain:

\( 86 \times 83 = 7138 \)

Karena \( 7224 \gt 7138 \), maka benar.

Pernyataan kedua = B.

Pernyataan 3

Selisih terkecil:

\( 86 - 84 = 2 \)

Tidak ada selisih yang lebih kecil.

Pernyataan ketiga = B.

Pernyataan 4

Selisih terbesar:

\( 86 - 34 = 52 \)

Karena \( 52 \lt 53 \), maka pernyataan salah.

Pernyataan keempat = S.

Urutan:

\( SBBS \)

Jawaban yang benar adalah B.

Langkah 1: Tentukan harga satu gulung benang.

Diketahui:

8 gulung = Rp72.000,00

Gunakan rumus perbandingan langsung (materi SMA):

Harga satu gulung = \( \frac{72.000}{8} \)

= \( 9.000 \)

Jadi harga satu gulung benang adalah Rp9.000,00.

Langkah 2: Tentukan harga 16 gulung.

16 gulung = \( 16 \times 9.000 \)

= \( 144.000 \)

Jadi harga benang untuk tiga potong kain adalah Rp144.000,00.

Langkah 3: Tentukan harga benang untuk satu potong kain.

Karena 3 potong membutuhkan 16 gulung, maka untuk 1 potong:

Harga satu potong = \( \frac{144.000}{3} \)

= \( 48.000 \)

Sehingga:

\( P = Rp48.000,00 \)

Sekarang bandingkan dengan Q.

Q adalah antara Rp20.000,00 dan Rp30.000,00.

Karena:

\( 48.000 \gt 30.000 \)

Maka:

\( P \gt Q \)

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Tentukan harga satu gulung benang.

12 gulung = Rp90.000,00

Harga satu gulung = \( \frac{90.000}{12} \)

= \( 7.500 \)

Jadi harga satu gulung benang adalah Rp7.500,00.

Langkah 2: Tentukan harga 30 gulung.

30 gulung = \( 30 \times 7.500 \)

= \( 225.000 \)

Jadi biaya benang untuk empat potong kain adalah Rp225.000,00.

Langkah 3: Harga benang untuk satu potong kain.

Harga benang per potong = \( \frac{225.000}{4} \)

= \( 56.250 \)

Langkah 4: Tambahkan biaya tetap.

P = \( 56.250 + 15.000 \)

= \( 71.250 \)

Bandingkan dengan Q.

Q berada antara Rp60.000,00 dan Rp70.000,00.

Karena:

\( 71.250 \gt 70.000 \)

Maka:

\( P \gt Q \)

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Tentukan harga satu gulung benang.

14 gulung = Rp126.000,00

Harga satu gulung = \( \frac{126.000}{14} \)

= \( 9.000 \)

Langkah 2: Tentukan harga 42 gulung.

42 gulung = \( 42 \times 9.000 \)

= \( 378.000 \)

Langkah 3: Tambahkan pajak 10%.

Pajak = \( 10\% \times 378.000 \)

= \( 0,1 \times 378.000 = 37.800 \)

Total harga benang setelah pajak =

\( 378.000 + 37.800 = 415.800 \)

Langkah 4: Harga benang per potong kain.

Harga benang per potong =

\( \frac{415.800}{5} = 83.160 \)

Langkah 5: Tambahkan biaya tetap.

P = \( 83.160 + 12.000 \)

= \( 95.160 \)

Bandingkan dengan Q.

Q antara Rp85.000,00 dan Rp95.000,00.

Karena:

\( 95.160 \gt 95.000 \)

Maka:

\( P \gt Q \)

Jawaban yang benar adalah A.

Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat (rumus Vieta).

Untuk persamaan umum:

\( x^2 + bx + c = 0 \)

Berlaku:

Jumlah akar = \( -b \)

Hasil kali akar = \( c \)

Diketahui persamaan:

\( x^2 - (a+2)x - a = 0 \)

Sehingga:

\( m + n = a + 2 \)

\( mn = -a \)

Diketahui syarat:

\( m(n + 1) = -2 \)

Uraikan:

\( mn + m = -2 \)

Substitusi \( mn = -a \):

\( -a + m = -2 \)

\( m = -2 + a \)

Gunakan hubungan jumlah akar:

\( m + n = a + 2 \)

Karena \( n = (a + 2) - m \), maka:

\( n = (a + 2) - (a - 2) \)

\( n = a + 2 - a + 2 \)

\( n = 4 \)

Gunakan hasil kali akar:

\( mn = -a \)

\( (a - 2)(4) = -a \)

\( 4a - 8 = -a \)

\( 5a = 8 \)

\( a = \frac{8}{5} \)

Bandingkan dengan:

\( Q = \frac{5}{8} \)

Karena:

\( \frac{8}{5} \gt \frac{5}{8} \)

Maka:

\( P \gt Q \)

Jawaban yang benar adalah A.

Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar (rumus Vieta).

Untuk persamaan:

\( x^2 + bx + c = 0 \)

Berlaku:

Jumlah akar = \( -b \)

Hasil kali akar = \( c \)

Diketahui:

\( x^2 - (a - 3)x + 2a = 0 \)

Maka:

\( p + q = a - 3 \)

\( pq = 2a \)

Diketahui syarat:

\( p(q - 1) = 6 \)

Uraikan:

\( pq - p = 6 \)

Substitusi \( pq = 2a \):

\( 2a - p = 6 \)

\( p = 2a - 6 \)

Gunakan jumlah akar:

\( p + q = a - 3 \)

Karena \( q = (a - 3) - p \), maka:

\( q = (a - 3) - (2a - 6) \)

\( q = a - 3 - 2a + 6 \)

\( q = -a + 3 \)

Gunakan hasil kali akar:

\( pq = 2a \)

\( (2a - 6)(-a + 3) = 2a \)

Hitung:

\( (2a - 6)(-a + 3) = -2a^2 + 6a + 6a - 18 \)

\( = -2a^2 + 12a - 18 \)

Sehingga:

\( -2a^2 + 12a - 18 = 2a \)

\( -2a^2 + 10a - 18 = 0 \)

Bagi \( -2 \):

\( a^2 - 5a + 9 = 0 \)

Diskriminan:

\( D = (-5)^2 - 4(1)(9) = 25 - 36 = -11 \)

Karena \( D \lt 0 \), tidak ada nilai \( a \) real yang memenuhi.

Artinya nilai \( a \) tidak dapat ditentukan dalam bilangan real.

Sehingga informasi tidak cukup untuk membandingkan dengan \( 2 \).

Jawaban yang benar adalah D.

Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar (rumus Vieta).

Untuk persamaan:

\( x^2 + bx + c = 0 \)

Berlaku:

Jumlah akar = \( -b \)

Hasil kali akar = \( c \)

Diketahui:

\( x^2 - (a + 1)x + 3a = 0 \)

Maka:

\( r + s = a + 1 \)

\( rs = 3a \)

Diketahui syarat:

\( r(s - 2) = -3 \)

Uraikan:

\( rs - 2r = -3 \)

Substitusi \( rs = 3a \):

\( 3a - 2r = -3 \)

\( 2r = 3a + 3 \)

\( r = \frac{3a + 3}{2} \)

Gunakan jumlah akar:

\( r + s = a + 1 \)

Karena \( s = (a + 1) - r \), maka:

\( s = (a + 1) - \frac{3a + 3}{2} \)

Samakan penyebut:

\( s = \frac{2(a + 1) - (3a + 3)}{2} \)

\( s = \frac{2a + 2 - 3a - 3}{2} \)

\( s = \frac{-a - 1}{2} \)

Gunakan hasil kali akar:

\( rs = 3a \)

\( \frac{3a + 3}{2} \cdot \frac{-a - 1}{2} = 3a \)

\( \frac{-(3a + 3)(a + 1)}{4} = 3a \)

\( -(3a + 3)(a + 1) = 12a \)

\( -3(a + 1)^2 = 12a \)

\( -3(a^2 + 2a + 1) = 12a \)

\( -3a^2 - 6a - 3 = 12a \)

\( -3a^2 - 18a - 3 = 0 \)

Bagi \( -3 \):

\( a^2 + 6a + 1 = 0 \)

Gunakan rumus kuadrat:

\( a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} \)

\( a = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} \)

\( a = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} \)

\( a = -3 \pm 2\sqrt{2} \)

Nilai tersebut bukan \( 1 \).

Salah satu nilai mendekati:

\( -3 + 2\sqrt{2} \approx -0,17 \)

Dan yang lain sekitar \( -5,83 \).

Keduanya lebih kecil dari \( 1 \).

Maka:

\( P \lt Q \)

Jawaban yang benar adalah B.

Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar (rumus Vieta).

Untuk persamaan:

\( x^2 + bx + c = 0 \)

Jika akar-akarnya \( \alpha \) dan \( \beta \), maka berlaku:

Jumlah akar = \( \alpha + \beta = -b \)

Hasil kali akar = \( \alpha \beta = c \)

Misalkan akar lainnya adalah \( k \).

Karena salah satu akar adalah \( -4 \), maka:

Jumlah akar = \( -4 + k = -b \)

Hasil kali akar = \( (-4)(k) = c \)

\( -4k = c \)

Diketahui:

\( b + c = -21 \)

Substitusi \( b \) dan \( c \).

Dari jumlah akar:

\( -4 + k = -b \)

\( b = 4 - k \)

Dari hasil kali:

\( c = -4k \)

Masukkan ke persamaan \( b + c = -21 \):

\( (4 - k) + (-4k) = -21 \)

\( 4 - k - 4k = -21 \)

\( 4 - 5k = -21 \)

\( -5k = -25 \)

\( k = 5 \)

Jadi akar yang lain adalah:

\( 5 \)

Jawaban yang benar adalah C.

Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar (rumus Vieta).

Untuk persamaan:

\( x^2 + bx + c = 0 \)

Jika akar-akarnya \( \alpha \) dan \( \beta \), maka:

\( \alpha + \beta = -b \)

\( \alpha \beta = c \)

Diketahui salah satu akar adalah \( -3 \). Misalkan akar lainnya adalah \( k \).

\( \alpha = -3 \), \( \beta = k \)

Maka:

\( -3 + k = -b \Rightarrow b = 3 - k \)

\( (-3)(k) = c \Rightarrow c = -3k \)

Diketahui hubungan:

\( b + 2c = -10 \)

Substitusi \( b = 3 - k \) dan \( c = -3k \):

\( (3 - k) + 2(-3k) = -10 \)

\( 3 - k - 6k = -10 \)

\( 3 - 7k = -10 \)

\( -7k = -13 \)

\( k = \frac{13}{7} \)

Akar yang lain adalah \( \frac{13}{7} \).

Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar (rumus Vieta).

Untuk persamaan:

\( x^2 + bx + c = 0 \)

Jika akar-akarnya \( \alpha \) dan \( \beta \), maka berlaku:

Jumlah akar = \( \alpha + \beta = -b \)

Hasil kali akar = \( \alpha \beta = c \)

Diketahui salah satu akar adalah \( 2 \). Misalkan akar yang lain adalah \( k \).

\( \alpha = 2 \), \( \beta = k \)

Maka:

\( 2 + k = -b \Rightarrow b = -2 - k \)

\( (2)(k) = c \Rightarrow c = 2k \)

Diketahui hubungan:

\( 2b + c = -16 \)

Substitusi \( b = -2 - k \) dan \( c = 2k \):

\( 2(-2 - k) + 2k = -16 \)

\( -4 - 2k + 2k = -16 \)

\( -4 = -16 \)

Terjadi kontradiksi, berarti perlu cek kembali perhitungan.

Karena:

\( 2b + c = 2(-2 - k) + 2k \)

\( = -4 - 2k + 2k \)

\( = -4 \)

Artinya \( 2b + c \) selalu \( -4 \), tidak mungkin sama dengan \( -16 \). Maka tidak ada nilai \( k \) yang memenuhi.

Karena persamaan tidak konsisten dengan informasi yang diberikan, soal ini tidak memiliki solusi yang memenuhi syarat.

Gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar (rumus Vieta).

Untuk persamaan:

\( x^2 + bx + c = 0 \)

Berlaku:

Jumlah akar = \( -b \)

Hasil kali akar = \( c \)

Diketahui:

\( x^2 - ax - (a + 1) = 0 \)

Maka:

\( x_1 + x_2 = a \)

\( x_1 x_2 = -(a + 1) \)

Pernyataan (1)

Diketahui \( x_1 \gt 1 \) dan \( x_2 \lt 1 \). Artinya angka 1 berada di antara kedua akar.

Gunakan konsep nilai fungsi:

Jika 1 berada di antara akar, maka \( f(1) \lt 0 \)

Hitung:

\( f(1) = 1 - a - (a + 1) \)

\( = 1 - a - a - 1 \)

\( = -2a \)

Karena \( f(1) \lt 0 \), maka:

\( -2a \lt 0 \)

\( a \gt 0 \)

Jadi pernyataan (1) SAJA cukup.

Pernyataan (2)

Akar saling berkebalikan berarti:

\( x_1 x_2 = 1 \)

Padahal:

\( x_1 x_2 = -(a + 1) \)

\( -(a + 1) = 1 \)

\( a + 1 = -1 \)

\( a = -2 \)

Sehingga \( a \lt 0 \). Pernyataan (2) SAJA juga cukup.

Karena masing-masing pernyataan SAJA sudah cukup, maka jawabannya adalah D.

Gunakan rumus Vieta.

\( x_1 + x_2 = a \)

\( x_1 x_2 = a - 2 \)

Pernyataan (1)

Kedua akar positif. Syarat akar-akar positif untuk persamaan kuadrat dengan koefisien utama positif adalah:

Jumlah akar \( \gt 0 \) dan hasil kali akar \( \gt 0 \)

\( a \gt 0 \) dan \( a - 2 \gt 0 \)

\( a \gt 2 \)

Karena sudah diperoleh \( a \gt 2 \), maka pertanyaan terjawab YA.

Pernyataan (1) SAJA cukup.

Pernyataan (2)

Diketahui:

\( x_1 + x_2 \gt x_1 x_2 \)

\( a \gt a - 2 \)

Sederhanakan:

\( a \gt a - 2 \)

\( 0 \gt -2 \)

Pernyataan ini selalu benar untuk semua \( a \). Tidak memberikan informasi tentang apakah \( a \gt 2 \).

Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Jadi jawabannya adalah A.

Gunakan rumus Vieta.

\( x_1 + x_2 = a - 1 \)

\( x_1 x_2 = a - 3 \)

Pernyataan (1)

Syarat kedua akar positif (koefisien utama positif):

Jumlah akar \( \gt 0 \) dan hasil kali akar \( \gt 0 \)

\( a - 1 \gt 0 \Rightarrow a \gt 1 \)

\( a - 3 \gt 0 \Rightarrow a \gt 3 \)

Agar kedua akar positif harus memenuhi keduanya, maka:

\( a \gt 3 \)

Artinya pertanyaan dapat dijawab YA. Pernyataan (1) SAJA cukup.

Pernyataan (2)

Diketahui:

\( x_1 x_2 \gt 1 \)

\( a - 3 \gt 1 \)

\( a \gt 4 \)

Karena \( a \gt 4 \) maka otomatis \( a \gt 3 \). Pertanyaan terjawab YA.

Pernyataan (2) SAJA cukup.

Karena masing-masing pernyataan SAJA sudah cukup, jawabannya adalah D.

Gunakan sifat nilai mutlak:

\( |a| = \sqrt{a^2} \)

Bandingkan:

\( |x - y| \gt |x + y| \)

Kuadratkan kedua ruas (karena kedua ruas bernilai tidak negatif):

\( (x - y)^2 \gt (x + y)^2 \)

Kembangkan:

\( x^2 - 2xy + y^2 \gt x^2 + 2xy + y^2 \)

Sederhanakan:

\( -2xy \gt 2xy \)

\( -4xy \gt 0 \)

\( xy \lt 0 \)

Jadi pertanyaan awal ekuivalen dengan:

Apakah \( xy \lt 0 \)?

Pernyataan (1)

\( xy \lt 0 \)

Ini tepat sama dengan kondisi yang kita butuhkan. Artinya jawaban pertanyaan adalah YA.

Pernyataan (1) SAJA cukup.

Pernyataan (2)

\( x \gt y \)

Ini hanya memberi informasi urutan, tidak memberi informasi tanda hasil kali.

Contoh:

\( x = 5, y = 1 \Rightarrow xy \gt 0 \)

\( x = 1, y = -2 \Rightarrow xy \lt 0 \)

Keduanya memenuhi \( x \gt y \), tetapi menghasilkan jawaban berbeda.

Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Jawaban yang benar adalah A.

Misalkan:

\( A = \frac{x}{y} \) dan \( B = \frac{y}{x} \)

Pertanyaan menjadi:

\( |A - B| \gt |A + B| \)

Seperti soal sebelumnya, kuadratkan kedua ruas:

\( (A - B)^2 \gt (A + B)^2 \)

Kembangkan:

\( A^2 - 2AB + B^2 \gt A^2 + 2AB + B^2 \)

Sederhanakan:

\( -4AB \gt 0 \Rightarrow AB \lt 0 \)

Sekarang hitung \( AB \):

\( AB = \frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x} = 1 \)

Karena \( AB = 1 \), maka:

\( AB \lt 0 \) selalu SALAH.

Artinya:

\( \left|\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right| \gt \left|\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right| \)

selalu bernilai SALAH untuk semua \( x \neq 0 \) dan \( y \neq 0 \).

Karena pertanyaan selalu dapat dijawab tanpa perlu (1) maupun (2), maka kedua pernyataan tidak diperlukan.

Namun pada format kecukupan data, ini berarti setiap pernyataan secara otomatis "cukup", tetapi pilihan seperti itu tidak tersedia.

Sehingga soal ini tidak valid untuk format opsi A–E yang diberikan.

Bandingkan kedua ruas dengan menguadratkan (karena nilai mutlak selalu \( \ge 0 \)).

\( |x - y| \gt \left|\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right| \)

\( (x - y)^2 \gt \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right)^2 \)

Hitung masing-masing ruas.

\( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)

\( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \)

Sehingga kuadratnya:

\( \frac{(x^2 - y^2)^2}{x^2y^2} \)

Persamaan menjadi:

\( x^2 - 2xy + y^2 \gt \frac{(x^2 - y^2)^2}{x^2y^2} \)

Bentuk ini tidak bisa disederhanakan hanya dari (1) atau (2) saja tanpa informasi tambahan.

Pernyataan (1)

\( x^2 + y^2 \gt 2xy \)

Ini identik dengan:

\( (x - y)^2 \gt 0 \)

Artinya \( x \neq y \), tetapi tidak memberi hubungan dengan ekspresi pecahan di kanan. Tidak cukup.

Pernyataan (2)

\( xy \gt 0 \)

Artinya \( x \) dan \( y \) sejenis tanda, tetapi tetap belum bisa memastikan pertidaksamaan utama. Tidak cukup.

Gabungan (1) dan (2) pun masih tidak menentukan hubungan karena besar relatif kedua ruas masih bergantung nilai spesifik.

Jadi jawabannya adalah E.

Menentukan Persamaan Garis

Dari gambar terlihat garis miring ke atas melalui titik asal dan membentuk sudut 45°. Persamaannya:

\( y = x \)

Karena daerah diarsir berada di bawah garis tersebut, maka pertidaksamaan:

\( y \le x \)

Pernyataan (1) benar.

Garis \( l \) memotong sumbu-x di 4 dan sumbu-y di 6. Gunakan bentuk potong sumbu:

\( \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 \)

Kalikan 12:

\( 3x + 2y = 12 \)

Karena daerah diarsir berada di bawah garis, maka:

\( 3x + 2y \le 12 \)

Pernyataan (2) benar.

Menentukan Titik P

Titik \( P \) adalah perpotongan garis:

\( y = x \)

\( 3x + 2y = 12 \)

Substitusi \( y = x \):

\( 3x + 2x = 12 \)

\( 5x = 12 \)

\( x = \frac{12}{5} \)

\( y = \frac{12}{5} \)

Jadi pernyataan (3) benar.

Menentukan Nilai Maksimum

Fungsi objektif:

\( f(x,y) = 5x + 10y \)

Nilai maksimum terjadi di titik pojok. Coba di titik \( P \):

\( f\left(\frac{12}{5}, \frac{12}{5}\right) = 5\cdot\frac{12}{5} + 10\cdot\frac{12}{5} \)

\( = 12 + 24 = 36 \)

Karena \( 36 \neq 30 \), maka pernyataan (4) salah.

Jadi pernyataan yang benar adalah:

(1), (2), dan (3)

Jawaban yang benar adalah A.

Misalkan:

\( x = \sqrt{\,n + \sqrt{\,n + \sqrt{\,n + \cdots}}} \)

Karena bentuknya tak hingga dan berulang, bagian di dalam akar sama dengan \( x \). Sehingga:

\( x = \sqrt{n + x} \)

Kuadratkan kedua ruas:

\( x^2 = n + x \)

Susun menjadi persamaan kuadrat:

\( x^2 - x - n = 0 \)

Diketahui nilai seluruh bentuk adalah 3, maka:

\( x = 3 \)

Substitusi ke persamaan:

\( 3^2 - 3 - n = 0 \)

\( 9 - 3 - n = 0 \)

\( 6 - n = 0 \)

\( n = 6 \)

Jadi nilai \( n \) adalah:

\( 6 \)

Jawaban yang benar adalah B.

Misalkan:

\( x = \sqrt{\,2n + \sqrt{\,2n + \sqrt{\,2n + \cdots}}} \)

Karena bentuk di dalam akar tak hingga dan berulang, maka bagian di dalam akar sama dengan \( x \).

\( x = \sqrt{2n + x} \)

Kuadratkan kedua ruas:

\( x^2 = 2n + x \)

Susun menjadi persamaan kuadrat:

\( x^2 - x - 2n = 0 \)

Diketahui nilai seluruh bentuk adalah 4, maka:

\( x = 4 \)

Substitusi:

\( 4^2 - 4 - 2n = 0 \)

\( 16 - 4 - 2n = 0 \)

\( 12 - 2n = 0 \)

\( 2n = 12 \)

\( n = 6 \)

Jadi nilai \( n \) adalah:

\( 6 \)

Jawaban yang benar adalah B.

Misalkan bagian dalam yang berulang adalah:

\( y = \sqrt{\,4n + \sqrt{\,4n + \sqrt{\,4n + \cdots}}} \)

Karena bentuknya tak hingga dan berulang, maka:

\( y = \sqrt{4n + y} \)

Kuadratkan kedua ruas:

\( y^2 = 4n + y \)

\( y^2 - y - 4n = 0 \)

Sekarang bentuk utama:

\( \sqrt{\,n + y} = 5 \)

Kuadratkan:

\( n + y = 25 \)

\( y = 25 - n \)

Substitusi ke persamaan kuadrat:

\( (25 - n)^2 - (25 - n) - 4n = 0 \)

Kembangkan:

\( 625 - 50n + n^2 - 25 + n - 4n = 0 \)

\( n^2 - 53n + 600 = 0 \)

Faktorkan:

\( (n - 15)(n - 40) = 0 \)

\( n = 15 \) atau \( n = 40 \)

Uji ke bentuk awal agar bernilai 5. Jika \( n = 40 \), maka bagian dalam menjadi terlalu besar dan tidak konsisten dengan hasil 5.

Nilai yang sesuai adalah:

\( n = 15 \)

Jawaban yang benar adalah E.