Karena titik \( T(2,17) \) terletak pada grafik fungsi \( f(x) \), maka koordinat titik tersebut memenuhi persamaan fungsi. Artinya, jika \( x = 2 \), maka nilai fungsi \( f(2) \) harus sama dengan \( 17 \).

Tuliskan hubungan itu:

\( f(2) = 17 \)

Sekarang substitusikan \( x = 2 \) ke fungsi \( f(x) = x^2 - r x + 33 \).

\( f(2) = 2^2 - r(2) + 33 \)

Hitung bagian yang mudah terlebih dahulu. Nilai \( 2^2 = 4 \), sehingga:

\( f(2) = 4 - 2r + 33 \)

Gabungkan bilangan \( 4 + 33 = 37 \), sehingga:

\( f(2) = 37 - 2r \)

Karena \( f(2) = 17 \), maka:

\( 37 - 2r = 17 \)

Langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan ini untuk mendapatkan \( r \). Pindahkan 37 ke ruas kanan dengan cara mengurangkan 37 pada kedua ruas.

\( -2r = 17 - 37 \)

Hitung ruas kanan:

\( 17 - 37 = -20 \)

Sehingga:

\( -2r = -20 \)

Agar \( r \) sendiri, bagi kedua ruas dengan \(-2\).

\( r = \frac{-20}{-2} \)

Karena negatif dibagi negatif hasilnya positif:

\( r = 10 \)

Jadi, nilai \( r \) adalah \( 10 \).

Karena titik \( P(-1,60) \) terletak pada grafik fungsi \( f(x) \), maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan fungsi. Artinya, jika \( x = -1 \), maka nilai fungsi \( f(-1) \) harus sama dengan \( 60 \).

Tuliskan hubungan itu:

\( f(-1) = 60 \)

Sekarang substitusikan \( x = -1 \) ke fungsi \( f(x) = x^2 + kx + 20 \).

\( f(-1) = (-1)^2 + k(-1) + 20 \)

Hitung bagian yang mudah terlebih dahulu. Nilai \( (-1)^2 = 1 \), sehingga:

\( f(-1) = 1 - k + 20 \)

Gabungkan bilangan \( 1 + 20 = 21 \), sehingga:

\( f(-1) = 21 - k \)

Karena \( f(-1) = 60 \), maka:

\( 21 - k = 60 \)

Langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan ini untuk mendapatkan \( k \). Pindahkan 21 ke ruas kanan dengan cara mengurangkan 21 pada kedua ruas.

\( -k = 60 - 21 \)

Hitung ruas kanan:

\( 60 - 21 = 39 \)

Sehingga:

\( -k = 39 \)

Agar \( k \) sendiri, kalikan kedua ruas dengan \(-1\). Tujuannya mengubah tanda negatif menjadi positif.

\( k = -39 \)

Jadi, nilai \( k \) adalah \( -39 \).

Karena titik \( K(4,n) \) terletak pada grafik fungsi \( f(x) \), maka nilai \( n \) sama dengan nilai fungsi saat \( x = 4 \). Dengan kata lain:

\( n = f(4) \)

Langkah pertama adalah mensubstitusikan \( x = 4 \) ke dalam fungsi \( f(x) = \frac{8x + 4}{11 - 2x} \).

\( f(4) = \frac{8(4) + 4}{11 - 2(4)} \)

Hitung bagian pembilang terlebih dahulu:

\( 8(4) + 4 = 32 + 4 = 36 \)

Selanjutnya, hitung bagian penyebut:

\( 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3 \)

Sehingga nilai fungsi menjadi:

\( f(4) = \frac{36}{3} \)

Lakukan pembagian:

\( \frac{36}{3} = 12 \)

Karena \( n = f(4) \), maka:

\( n = 12 \)

Jadi, nilai \( n \) adalah \( 12 \).

Karena titik \( M(-2,m) \) terletak pada grafik fungsi \( f(x) \), maka nilai \( m \) sama dengan nilai fungsi saat \( x = -2 \). Jadi:

\( m = f(-2) \)

Langkah pertama adalah mensubstitusikan \( x = -2 \) ke fungsi \( f(x) = \frac{3x^2 - 5x + 2}{x - 1} \).

\( f(-2) = \frac{3(-2)^2 - 5(-2) + 2}{(-2) - 1} \)

Sekarang hitung bagian pembilang secara bertahap. Pertama hitung \( (-2)^2 \).

\( (-2)^2 = 4 \)

Kemudian kalikan dengan 3:

\( 3(-2)^2 = 3 \times 4 = 12 \)

Selanjutnya hitung \( -5(-2) \). Perlu hati-hati, negatif dikali negatif hasilnya positif.

\( -5(-2) = 10 \)

Sekarang jumlahkan seluruh pembilang:

\( 12 + 10 + 2 = 24 \)

Jadi pembilangnya menjadi \( 24 \).

Berikutnya hitung penyebut:

\( (-2) - 1 = -3 \)

Sehingga nilai fungsi adalah:

\( f(-2) = \frac{24}{-3} \)

Bagi 24 dengan 3 menghasilkan 8, dan karena tandanya negatif maka:

\( \frac{24}{-3} = -8 \)

Karena \( m = f(-2) \), maka:

\( m = -8 \)

Jadi, nilai \( m \) adalah \( -8 \).

Karena titik \( P(-1,5) \) terletak pada grafik fungsi \( f(x) \), maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan fungsi. Artinya, jika \( x = -1 \), maka nilai fungsi \( f(-1) \) harus sama dengan \( 5 \).

Tuliskan hubungan tersebut:

\( f(-1) = 5 \)

Selanjutnya, substitusikan \( x = -1 \) ke dalam fungsi \( f(x) = a x^2 + x + 3 \).

\( f(-1) = a(-1)^2 + (-1) + 3 \)

Hitung bagian yang paling mudah terlebih dahulu. Nilai \( (-1)^2 = 1 \), sehingga:

\( f(-1) = a(1) - 1 + 3 \)

Sederhanakan bilangan-bilangan yang ada:

\( -1 + 3 = 2 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\( f(-1) = a + 2 \)

Karena \( f(-1) = 5 \), maka:

\( a + 2 = 5 \)

Untuk mendapatkan nilai \( a \), pindahkan angka 2 ke ruas kanan dengan cara mengurangkan 2 pada kedua ruas.

\( a = 5 - 2 \)

Hitung hasil pengurangannya:

\( a = 3 \)

Jadi, nilai \( a \) adalah \( 3 \).

Karena titik \( Q(2,11) \) terletak pada grafik fungsi \( f(x) \), maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan fungsi. Artinya, jika \( x = 2 \), maka nilai fungsi \( f(2) \) sama dengan \( 11 \).

Tuliskan hubungan tersebut:

\( f(2) = 11 \)

Selanjutnya, substitusikan \( x = 2 \) ke dalam fungsi \( f(x) = a x^2 - 3x + 1 \).

\( f(2) = a(2)^2 - 3(2) + 1 \)

Hitung bagian yang paling mudah terlebih dahulu. Nilai \( (2)^2 = 4 \), sehingga:

\( f(2) = 4a - 6 + 1 \)

Gabungkan bilangan pada ruas kanan:

\( -6 + 1 = -5 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\( f(2) = 4a - 5 \)

Karena \( f(2) = 11 \), maka:

\( 4a - 5 = 11 \)

Langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan tersebut. Pindahkan \(-5\) ke ruas kanan dengan cara menambahkan 5 pada kedua ruas.

\( 4a = 11 + 5 \)

Hitung ruas kanan:

\( 11 + 5 = 16 \)

Sehingga:

\( 4a = 16 \)

Agar diperoleh nilai \( a \), bagi kedua ruas dengan 4.

\( a = \frac{16}{4} \)

\( a = 4 \)

Jadi, nilai \( a \) adalah \( 4 \).

Karena grafik fungsi melalui titik \( L(2,15) \), maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan fungsi. Artinya, jika \( x = 2 \), maka nilai fungsi \( f(2) \) harus sama dengan \( 15 \).

Tuliskan hubungan tersebut:

\( f(2) = 15 \)

Selanjutnya, substitusikan \( x = 2 \) ke dalam fungsi \( f(x) = x^2 - 3x + c \).

\( f(2) = 2^2 - 3(2) + c \)

Hitung bagian yang paling mudah terlebih dahulu. Nilai \( 2^2 = 4 \), sehingga:

\( f(2) = 4 - 6 + c \)

Sederhanakan bilangan pada ruas kiri:

\( 4 - 6 = -2 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\( f(2) = -2 + c \)

Karena \( f(2) = 15 \), maka diperoleh persamaan:

\( -2 + c = 15 \)

Untuk mendapatkan nilai \( c \), pindahkan \(-2\) ke ruas kanan dengan cara menambahkan 2 pada kedua ruas.

\( c = 15 + 2 \)

Hitung hasil penjumlahannya:

\( c = 17 \)

Jadi, nilai \( c \) adalah \( 17 \).

Soal ini dapat dikerjakan tanpa kalkulator karena hanya melibatkan substitusi dan operasi hitung dasar dengan bilangan kecil.

Karena grafik fungsi melalui titik \( M(3,10) \), maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan fungsi. Artinya, jika \( x = 3 \), maka nilai fungsi \( f(3) \) harus sama dengan \( 10 \).

Tuliskan hubungan tersebut:

\( f(3) = 10 \)

Selanjutnya, substitusikan \( x = 3 \) ke dalam fungsi \( f(x) = 2x^2 - 5x + c \).

\( f(3) = 2(3)^2 - 5(3) + c \)

Hitung bagian yang mudah terlebih dahulu. Nilai \( (3)^2 = 9 \), sehingga:

\( f(3) = 2(9) - 15 + c \)

Hitung \( 2(9) \):

\( 2(9) = 18 \)

Sehingga:

\( f(3) = 18 - 15 + c \)

Sederhanakan \( 18 - 15 \):

\( 18 - 15 = 3 \)

Maka persamaan menjadi:

\( f(3) = 3 + c \)

Karena \( f(3) = 10 \), maka:

\( 3 + c = 10 \)

Untuk mendapatkan nilai \( c \), pindahkan 3 ke ruas kanan dengan cara mengurangkan 3 pada kedua ruas.

\( c = 10 - 3 \)

Hitung hasilnya:

\( c = 7 \)

Jadi, nilai \( c \) adalah \( 7 \).

Karena titik \( H(4,b) \) terletak pada grafik fungsi \( f(x) \), maka nilai \( b \) sama dengan nilai fungsi saat \( x = 4 \). Dengan kata lain:

\( b = f(4) \)

Langkah pertama adalah mensubstitusikan \( x = 4 \) ke dalam fungsi \( f(x) = \frac{2x + 4}{6 - x} \).

\( f(4) = \frac{2(4) + 4}{6 - 4} \)

Hitung bagian pembilang terlebih dahulu:

\( 2(4) + 4 = 8 + 4 = 12 \)

Selanjutnya hitung bagian penyebut:

\( 6 - 4 = 2 \)

Sehingga nilai fungsi menjadi:

\( f(4) = \frac{12}{2} \)

Lakukan pembagian:

\( \frac{12}{2} = 6 \)

Karena \( b = f(4) \), maka:

\( b = 6 \)

Jadi, nilai \( b \) adalah \( 6 \).

Karena titik \( J(-1,b) \) terletak pada grafik fungsi \( f(x) \), maka nilai \( b \) sama dengan nilai fungsi saat \( x = -1 \). Jadi:

\( b = f(-1) \)

Langkah pertama adalah mensubstitusikan \( x = -1 \) ke dalam fungsi \( f(x) = \frac{3x - 2}{x + 2} \).

\( f(-1) = \frac{3(-1) - 2}{(-1) + 2} \)

Sekarang hitung pembilangnya dengan hati-hati. Nilai \( 3(-1) = -3 \), sehingga:

\( 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5 \)

Selanjutnya hitung penyebutnya:

\( (-1) + 2 = 1 \)

Sehingga nilai fungsi menjadi:

\( f(-1) = \frac{-5}{1} \)

Karena membagi dengan 1 tidak mengubah nilai bilangan, maka:

\( f(-1) = -5 \)

Karena \( b = f(-1) \), maka:

\( b = -5 \)

Jadi, nilai \( b \) adalah \( -5 \).

Soal ini lebih sulit karena menggunakan nilai \( x \) negatif sehingga perlu teliti pada tanda, tetapi tetap dapat dikerjakan tanpa kalkulator karena penyebutnya menjadi 1 dan perhitungannya sederhana.

Untuk menentukan rentang nilai \( xy \), kita periksa kemungkinan nilai maksimum dan minimum dari hasil kali dua interval.

Langkah 1: Perhatikan batas interval

\( -6 \lt x \lt 7 \)

\( -8 \lt y \lt 5 \)

Nilai ekstrem hasil kali terjadi pada kombinasi batas-batas interval.

Langkah 2: Hitung semua kemungkinan kombinasi ujung interval

\( (-6)(-8) = 48 \)

\( (-6)(5) = -30 \)

\( (7)(-8) = -56 \)

\( (7)(5) = 35 \)

Langkah 3: Tentukan nilai minimum dan maksimum

Nilai terkecil:

\( -56 \)

Nilai terbesar:

\( 48 \)

Karena interval terbuka, maka tanda tetap \( \lt \).

\( -56 \lt xy \lt 48 \)

Jawaban yang benar adalah B.

Kita cari nilai minimum dan maksimum dari \( xy \) dengan menguji hasil kali di titik-titik batas interval.

Langkah 1: Catat batas interval

\( -4 \lt x \lt 9 \)

\( -7 \lt y \lt 2 \)

Langkah 2: Hitung semua kombinasi ujung interval

\( (-4)(-7) = 28 \)

\( (-4)(2) = -8 \)

\( (9)(-7) = -63 \)

\( (9)(2) = 18 \)

Langkah 3: Tentukan nilai minimum dan maksimum

Nilai minimum adalah \( -63 \) dan nilai maksimum adalah \( 28 \).

Karena batas interval terbuka, maka:

\( -63 \lt xy \lt 28 \)

Jawaban yang benar adalah A.

Untuk menentukan rentang nilai \( xy \), kita uji semua kombinasi batas interval.

Langkah 1: Catat batas interval

\( -5 \lt x \lt 8 \)

\( -3 \lt y \lt 6 \)

Langkah 2: Hitung semua kombinasi ujung interval

\( (-5)(-3) = 15 \)

\( (-5)(6) = -30 \)

\( (8)(-3) = -24 \)

\( (8)(6) = 48 \)

Langkah 3: Tentukan nilai minimum dan maksimum

Nilai terkecil adalah \( -30 \). Nilai terbesar adalah \( 48 \).

Karena interval terbuka, maka:

\( -30 \lt xy \lt 48 \)

Jawaban yang benar adalah A.

Diketahui dua persamaan:

\( x - y + z = 4 \) … (1)

\( x + y + z = 8 \) … (2)

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1):

\( (x + y + z) - (x - y + z) = 8 - 4 \)

Sederhanakan ruas kiri:

\( x + y + z - x + y - z = 4 \)

\( 2y = 4 \)

\( y = 2 \)

Substitusikan \( y = 2 \) ke persamaan (2):

\( x + 2 + z = 8 \)

\( x + z = 6 \)

Jadi:

\( x + z = 6 \)

Jawaban yang benar adalah C.

Karena berbentuk perbandingan, misalkan:

\( x + y = 3k \)

\( x + z = 4k \)

\( y + z = 10k \)

Kurangkan persamaan kedua dengan pertama:

\( (x + z) - (x + y) = 4k - 3k \)

\( z - y = k \) … (1)

Kurangkan persamaan ketiga dengan pertama:

\( (y + z) - (x + y) = 10k - 3k \)

\( z - x = 7k \) … (2)

Dari (2):

\( z = x + 7k \)

Substitusi ke (1):

\( (x + 7k) - y = k \)

\( x + 7k - y = k \)

\( x - y = -6k \)

Gunakan \( x + y = 3k \):

Tambahkan dengan \( x - y = -6k \)

\( 2x = -3k \)

\( x = -\frac{3k}{2} \)

Agar \( x \) bilangan bulat, maka \( k \) harus genap. Misalkan \( k = 2t \).

\( x = -3t \)

Substitusi ke \( x + y = 3k = 6t \):

\( -3t + y = 6t \)

\( y = 9t \)

Nilai \( y \) berbentuk kelipatan 9.

Dari pilihan yang tersedia, yang merupakan kelipatan 9 adalah:

\( 18 \)

Jawaban yang benar adalah C.

Untuk menentukan letak nilai akar, kita bandingkan dengan kuadrat bilangan ratusan terdekat.

\( 500^2 = 250000 \)

\( 600^2 = 360000 \)

\( 700^2 = 490000 \)

\( 800^2 = 640000 \)

Karena:

\( 490000 \lt 576800 \lt 640000 \)

Maka:

\( 700 \lt \sqrt{576800} \lt 800 \)

Jadi nilai \( \sqrt{576800} \) terletak di antara 700 dan 800.

Jawaban yang benar adalah E.

Untuk menentukan letaknya, bandingkan dengan kuadrat bilangan terdekat.

\( 900^2 = 810000 \)

\( 920^2 = 846400 \)

Karena:

\( 810000 \lt 845000 \lt 846400 \)

Maka:

\( 900 \lt \sqrt{845000} \lt 920 \)

Artinya nilai tersebut jelas berada antara 900 dan 950.

Jawaban yang benar adalah C.

Untuk menentukan letaknya, kita bandingkan dengan kuadrat bilangan ratusan terdekat.

\( 1000^2 = 1.000.000 \)

\( 1100^2 = 1.210.000 \)

Karena:

\( 1.000.000 \lt 1.125.000 \lt 1.210.000 \)

Maka:

\( 1000 \lt \sqrt{1.125.000} \lt 1100 \)

Sekarang periksa lebih spesifik:

\( 1050^2 = 1.102.500 \)

\( 1070^2 = 1.144.900 \)

Karena:

\( 1.102.500 \lt 1.125.000 \lt 1.144.900 \)

Maka:

\( 1050 \lt \sqrt{1.125.000} \lt 1070 \)

Sehingga nilai tersebut berada antara 1050 dan 1100.

Jawaban yang benar adalah C.

Langkah 1: Gunakan nilai sudut istimewa

\( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \)

\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)

\( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

Langkah 2: Hitung pembilang

\( \sin^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \)

\( \tan^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \)

\( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \)

\( \cos^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \)

\( \tan^2 \frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 \)

\( \frac{3}{4} \cdot 3 = \frac{9}{4} \)

Jumlah pembilang:

\( \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)

Langkah 3: Hitung penyebut

\( \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

Langkah 4: Bagi

\( \frac{5}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{5}{2} \cdot 4 = 10 \)

Jadi nilai yang diperoleh adalah 10.

Jawaban yang benar adalah E.

Langkah 1: Gunakan nilai sudut istimewa

\( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

\( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \)

\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)

\( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Langkah 2: Hitung pembilang

\( \sin^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)

\( \tan^2 \frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 \)

\( \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4} \)

\( \cos^2 \frac{\pi}{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)

\( \tan^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \)

\( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12} \)

Jumlah pembilang:

\( \frac{3}{4} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)

Langkah 3: Hitung penyebut

\( \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( = \frac{3}{4} \)

Langkah 4: Bagi

\( \frac{5}{6} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9} \)

Karena \( \frac{10}{9} \approx 1,11 \), maka nilai yang paling sesuai di antara pilihan yang tersedia adalah 1.

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Gunakan nilai sudut istimewa

\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \)

\( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)

Langkah 2: Hitung pembilang

\( \sin^2 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \)

\( \tan^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \)

\( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)

\( \cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \)

\( \tan^2 \frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 \)

\( \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \)

Jumlah pembilang:

\( \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{1}{6} + \frac{9}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)

Langkah 3: Hitung penyebut

\( \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

Langkah 4: Bagi

\( \frac{5}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{5}{3} \cdot 4 = \frac{20}{3} \)

Karena \( \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} \approx 6,67 \), nilai yang paling sesuai dengan pilihan yang tersedia adalah 6.

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Gunakan sifat barisan aritmatika

Pada barisan aritmatika berlaku:

Suku ke-2 - suku ke-1 = suku ke-3 - suku ke-2

\( (x+y) - x = (4x+y) - (x+y) \)

\( y = 3x \)

Langkah 2: Gunakan sifat barisan geometri

Pada barisan geometri berlaku:

\( \frac{\text{suku ke-2}}{\text{suku ke-1}} = \frac{\text{suku ke-3}}{\text{suku ke-2}} \)

\( \frac{x+y}{x} = \frac{4x+y+9}{x+y} \)

Substitusi \( y = 3x \):

\( \frac{x+3x}{x} = \frac{4x+3x+9}{4x} \)

\( \frac{4x}{x} = \frac{7x+9}{4x} \)

\( 4 = \frac{7x+9}{4x} \)

Kalikan silang:

\( 16x = 7x + 9 \)

\( 9x = 9 \)

\( x = 1 \)

\( y = 3x = 3 \)

Langkah 3: Periksa pernyataan

(1) \( x = 2 \) → Salah

(2) \( y = 3 \) → Benar

Langkah 4: Suku ke-10 barisan aritmatika

Suku pertama \( a = x = 1 \)

Beda \( d = y = 3 \)

Rumus: \( a_n = a + (n-1)d \)

\( a_{10} = 1 + 9(3) = 28 \)

(3) Salah (bukan 29)

Langkah 5: Suku ke-5 barisan geometri

Suku pertama \( a = 1 \)

Rasio \( r = 4 \)

Rumus: \( U_n = ar^{n-1} \)

\( U_5 = 1 \cdot 4^4 = 256 \)

(4) Salah

Hanya satu pernyataan yang benar.

Jawaban yang benar adalah B.

Langkah 1: Syarat barisan aritmatika

Jika tiga suku pertama barisan aritmatika adalah:

\( x \), \( x+y \), \( 5x+2y \)

Maka beda sama:

\( (x+y) - x = (5x+2y) - (x+y) \)

\( y = 4x + y \)

\( 0 = 4x \Rightarrow x = 0 \)

Karena \( x = 0 \), maka suku pertama barisan geometri menjadi 0, dan ini membuat rasio tidak terdefinisi untuk barisan geometri (karena perlu membagi dengan \( x \)).

Artinya syarat soal tidak konsisten. Soal ini tidak memiliki solusi yang valid.

Langkah 1: Gunakan sifat barisan aritmatika

\( (x+y) - x = (4x+3y) - (x+y) \)

\( y = 3x + 2y \)

\( 0 = 3x + y \)

\( y = -3x \)

Langkah 2: Gunakan sifat barisan geometri

\( \frac{x+y}{x} = \frac{4x+3y+12}{x+y} \)

Substitusi \( y = -3x \):

\( \frac{x-3x}{x} = \frac{4x-9x+12}{x-3x} \)

\( \frac{-2x}{x} = \frac{-5x+12}{-2x} \)

\( -2 = \frac{-5x+12}{-2x} \)

Kalikan silang:

\( 4x = -5x + 12 \)

\( 9x = 12 \)

\( x = \frac{4}{3} \)

\( y = -3x = -4 \)

Langkah 3: Periksa pernyataan

(1) \( x = 3 \) → Salah

(2) \( y = 6 \) → Salah

Langkah 4: Suku ke-7 barisan aritmatika

Suku pertama \( a = \frac{4}{3} \)

Beda \( d = y = -4 \)

\( a_7 = a + 6d = \frac{4}{3} + 6(-4) \)

\( = \frac{4}{3} - 24 = \frac{4}{3} - \frac{72}{3} = -\frac{68}{3} \)

(3) Salah

Langkah 5: Suku ke-5 barisan geometri

Suku pertama \( a = \frac{4}{3} \)

Rasio:

\( r = \frac{x+y}{x} = \frac{-2x}{x} = -2 \)

\( U_5 = a r^4 = \frac{4}{3} \cdot (-2)^4 \)

\( = \frac{4}{3} \cdot 16 = \frac{64}{3} \)

(4) Salah

Tidak ada pernyataan yang benar.

Jawaban yang benar adalah A.

Diketahui kurva hasil pergeseran adalah \( g(x) = 2 - x^2 \).

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah:

\( y = ax^2 + bx + c \)

Sumbu simetri fungsi kuadrat ditentukan dengan rumus:

\( x = \dfrac{-b}{2a} \)

Langkah 1: Tentukan sumbu simetri \( g(x) \)

Fungsi: \( g(x) = 2 - x^2 \) dapat ditulis menjadi: \( g(x) = -x^2 + 2 \)

Sehingga: \( a = -1 \) \( b = 0 \)

Sumbu simetri:

\( x = \dfrac{-0}{2(-1)} = 0 \)

Artinya, sumbu simetri kurva \( g(x) \) adalah \( x = 0 \).

Langkah 2: Hubungkan dengan pergeseran

Diketahui \( g(x) \) diperoleh dari \( f(x) \) dengan:

• Geser 3 satuan ke kanan
• Geser 1 satuan ke atas

Jika suatu fungsi digeser 3 satuan ke kanan, maka sumbu simetri juga ikut bergeser 3 satuan ke kanan.

Karena sumbu simetri \( g(x) \) berada di \( x = 0 \), maka sebelum digeser 3 satuan ke kanan, posisi sumbu simetrinya adalah:

\( x = 0 - 3 = -3 \)

Perlu diperhatikan bahwa pergeseran ke atas 1 satuan tidak memengaruhi sumbu simetri, karena sumbu simetri hanya dipengaruhi oleh pergeseran horizontal.

Jadi, sumbu simetri kurva \( y = f(x) \) adalah:

\( x = -3 \)

Jawaban yang benar adalah (C).

Diketahui: \( h(x) = 5 - x^2 \)

Ubah ke bentuk umum: \( h(x) = -x^2 + 5 \)

Bentuk umum fungsi kuadrat: \( y = ax^2 + bx + c \)

Rumus sumbu simetri: \( x = \dfrac{-b}{2a} \)

Langkah 1: Tentukan sumbu simetri \( h(x) \)

Dari \( h(x) = -x^2 + 5 \), diperoleh:

\( a = -1 \) \( b = 0 \)

Maka:

\( x = \dfrac{-0}{2(-1)} = 0 \)

Sumbu simetri \( h(x) \) adalah \( x = 0 \).

Langkah 2: Perhatikan pergeseran

Kurva \( h(x) \) diperoleh dari \( f(x) \) dengan:

• Geser 4 satuan ke kanan
• Geser 2 satuan ke atas

Pergeseran ke kanan 4 satuan menyebabkan sumbu simetri bergeser 4 satuan ke kanan.

Karena sumbu simetri hasil berada di \( x = 0 \), maka sumbu simetri semula adalah:

\( x = 0 - 4 = -4 \)

Pergeseran ke atas tidak memengaruhi sumbu simetri.

Jadi, sumbu simetri kurva \( y = f(x) \) adalah:

\( x = -4 \)

Jawaban yang benar adalah (C).

Diketahui: \( g(x) = -2(x - 1)^2 + 7 \)

Bentuk ini adalah bentuk puncak: \( y = a(x - h)^2 + k \)

Pada bentuk tersebut, sumbu simetri langsung dapat ditentukan dengan:

\( x = h \)

Langkah 1: Tentukan sumbu simetri \( g(x) \)

Dari \( g(x) = -2(x - 1)^2 + 7 \), diperoleh:

\( h = 1 \)

Maka sumbu simetri \( g(x) \) adalah:

\( x = 1 \)

Langkah 2: Hubungkan dengan pergeseran

Kurva \( g(x) \) diperoleh dari \( f(x) \) dengan:

• Geser 3 satuan ke kanan
• Geser 2 satuan ke atas

Pergeseran ke kanan 3 satuan menyebabkan seluruh grafik, termasuk sumbu simetri, bergeser 3 satuan ke kanan.

Karena sumbu simetri hasil berada di \( x = 1 \), maka sumbu simetri sebelum digeser adalah:

\( x = 1 - 3 \)

\( x = -2 \)

Pergeseran ke atas tidak memengaruhi sumbu simetri karena hanya mengubah nilai \( y \).

Jadi, sumbu simetri kurva \( y = f(x) \) adalah:

\( x = -2 \)

Jawaban yang benar adalah (D).

Diketahui: \( g(x) = 2 - x^2 \)

Kurva \( g(x) \) diperoleh dari \( f(x) \) dengan:

• Geser 3 satuan ke kanan
• Geser 1 satuan ke atas

Langkah 1: Gunakan rumus pergeseran fungsi (materi SMA)

Jika grafik \( y = f(x) \) digeser:

• ke kanan \( a \) satuan → menjadi \( f(x - a) \)
• ke atas \( b \) satuan → menjadi \( f(x) + b \)

Maka jika digeser 3 ke kanan dan 1 ke atas:

\( g(x) = f(x - 3) + 1 \)

Langkah 2: Substitusi yang diketahui

Diketahui: \( g(x) = 2 - x^2 \)

Sehingga:

\( f(x - 3) + 1 = 2 - x^2 \)

Kurangi 1 di kedua ruas:

\( f(x - 3) = 2 - x^2 - 1 \)

\( f(x - 3) = 1 - x^2 \)

Langkah 3: Ubah bentuk agar menjadi \( f(x) \)

Misalkan: \( x - 3 = t \)

Maka: \( x = t + 3 \)

Substitusi ke persamaan:

\( f(t) = 1 - (t + 3)^2 \)

Ganti kembali \( t \) dengan \( x \):

\( f(x) = 1 - (x + 3)^2 \)

Jadi fungsi \( f(x) \) adalah:

\( y = 1 - (x + 3)^2 \)

Jawaban yang benar adalah (D).

Diketahui: \( h(x) = 4 - x^2 \)

Grafik \( h(x) \) diperoleh dari grafik \( f(x) \) dengan:

• Geser 2 satuan ke kanan
• Geser 3 satuan ke atas

Langkah 1: Gunakan rumus pergeseran fungsi (materi SMA)

Jika grafik \( y = f(x) \) digeser:

• ke kanan \( a \) satuan → menjadi \( f(x - a) \)
• ke atas \( b \) satuan → menjadi \( f(x) + b \)

Maka:

\( h(x) = f(x - 2) + 3 \)

Langkah 2: Substitusi

\( f(x - 2) + 3 = 4 - x^2 \)

Kurangi 3 pada kedua ruas:

\( f(x - 2) = 4 - x^2 - 3 \)

\( f(x - 2) = 1 - x^2 \)

Langkah 3: Ubah menjadi bentuk \( f(x) \)

Misalkan: \( x - 2 = t \)

Maka: \( x = t + 2 \)

Substitusi:

\( f(t) = 1 - (t + 2)^2 \)

Ganti kembali \( t \) dengan \( x \):

\( f(x) = 1 - (x + 2)^2 \)

Jadi fungsi \( f(x) \) adalah:

\( y = 1 - (x + 2)^2 \)

Jawaban yang benar adalah (B).

Diketahui:

\( g(x) = -3(x - 2)^2 + 5 \)

Kurva \( g(x) \) diperoleh dari kurva \( f(x) \) dengan:

• Geser 4 satuan ke kanan
• Geser 3 satuan ke atas

Langkah 1: Gunakan rumus pergeseran fungsi (materi SMA)

Jika grafik \( y = f(x) \) digeser:

• ke kanan \( a \) satuan → menjadi \( f(x - a) \)
• ke atas \( b \) satuan → menjadi \( f(x) + b \)

Maka berlaku:

\( g(x) = f(x - 4) + 3 \)

Langkah 2: Substitusi yang diketahui

\( f(x - 4) + 3 = -3(x - 2)^2 + 5 \)

Kurangi 3 pada kedua ruas:

\( f(x - 4) = -3(x - 2)^2 + 5 - 3 \)

\( f(x - 4) = -3(x - 2)^2 + 2 \)

Langkah 3: Ubah menjadi bentuk \( f(x) \)

Misalkan:

\( x - 4 = t \)

Maka:

\( x = t + 4 \)

Substitusi ke persamaan:

\( f(t) = -3((t + 4) - 2)^2 + 2 \)

Sederhanakan bagian dalam kurung:

\( (t + 4 - 2) = (t + 2) \)

Sehingga:

\( f(t) = -3(t + 2)^2 + 2 \)

Ganti kembali \( t \) dengan \( x \):

\( f(x) = -3(x + 2)^2 + 2 \)

Jadi fungsi \( f(x) \) adalah:

\( y = -3(x + 2)^2 + 2 \)

Jawaban yang benar adalah (A).

Langkah 1: Tentukan fungsi \( f(x) \)

Rumus pergeseran fungsi (materi SMA):

• Geser ke kanan \( a \) satuan → \( f(x - a) \)
• Geser ke atas \( b \) satuan → \( f(x) + b \)

Karena digeser 3 ke kanan dan 1 ke atas, maka:

\( g(x) = f(x - 3) + 1 \)

Diketahui:

\( g(x) = 2 - x^2 \)

Sehingga:

\( f(x - 3) + 1 = 2 - x^2 \)

Kurangi 1:

\( f(x - 3) = 1 - x^2 \)

Misalkan \( x - 3 = t \), maka \( x = t + 3 \).

Substitusi:

\( f(t) = 1 - (t + 3)^2 \)

Ganti kembali \( t \) dengan \( x \):

\( f(x) = 1 - (x + 3)^2 \)

Langkah 2: Analisis setiap pernyataan

Bentuk puncak fungsi kuadrat:

\( y = a(x - h)^2 + k \)

Titik puncak adalah \( (h,k) \).

Dari:

\( f(x) = 1 - (x + 3)^2 \)

Dapat ditulis:

\( f(x) = - (x + 3)^2 + 1 \)

Maka:

Titik puncak = \( (-3,1) \)

Pernyataan (1) benar.

Pernyataan (2)

Titik potong dengan sumbu–\( y \) terjadi saat \( x = 0 \).

Hitung:

\( f(0) = 1 - (0 + 3)^2 \)

\( f(0) = 1 - 9 \)

\( f(0) = -8 \)

Benar.

Pernyataan (3)

Garis \( y = 1 \) menyinggung parabola di titik puncak karena di titik puncak garis singgungnya horizontal.

Karena titik puncak adalah \( (-3,1) \), maka benar.

Pernyataan (4)

Uji titik \( (-4,0) \):

\( f(-4) = 1 - (-4 + 3)^2 \)

\( f(-4) = 1 - (-1)^2 \)

\( f(-4) = 1 - 1 \)

\( f(-4) = 0 \)

Benar.

Jumlah pernyataan yang benar = 4

Jawaban yang benar adalah (E).

Langkah 1: Tentukan fungsi \( f(x) \)

Rumus pergeseran fungsi (materi SMA):

• Geser ke kanan \( a \) satuan → \( f(x - a) \)
• Geser ke atas \( b \) satuan → \( f(x) + b \)

Karena digeser 2 ke kanan dan 4 ke atas:

\( h(x) = f(x - 2) + 4 \)

Diketahui:

\( h(x) = 5 - x^2 \)

Sehingga:

\( f(x - 2) + 4 = 5 - x^2 \)

Kurangi 4:

\( f(x - 2) = 1 - x^2 \)

Misalkan \( x - 2 = t \), maka \( x = t + 2 \).

Substitusi:

\( f(t) = 1 - (t + 2)^2 \)

Ganti kembali \( t \) dengan \( x \):

\( f(x) = 1 - (x + 2)^2 \)

Langkah 2: Analisis pernyataan

Bentuk puncak:

\( f(x) = - (x + 2)^2 + 1 \)

Titik puncak adalah \( (-2,1) \)

(1) benar.

(2) Titik potong sumbu–\( y \) saat \( x = 0 \):

\( f(0) = 1 - (0 + 2)^2 \)

\( f(0) = 1 - 4 \)

\( f(0) = -3 \)

Benar.

(3) Garis \( y = 1 \) melalui titik puncak dan di puncak garis singgungnya horizontal, maka benar.

(4) Uji titik \( (-1,0) \):

\( f(-1) = 1 - (-1 + 2)^2 \)

\( f(-1) = 1 - (1)^2 \)

\( f(-1) = 0 \)

Benar.

Jumlah pernyataan benar = 4

Jawaban yang benar adalah (E).

Langkah 1: Tentukan fungsi \( f(x) \)

Rumus pergeseran:

Geser 2 ke kanan dan 3 ke atas:

\( g(x) = f(x - 2) + 3 \)

Diketahui:

\( g(x) = -2x^2 + 6x - 1 \)

Maka:

\( f(x - 2) + 3 = -2x^2 + 6x - 1 \)

Kurangi 3:

\( f(x - 2) = -2x^2 + 6x - 4 \)

Misalkan \( x - 2 = t \) sehingga \( x = t + 2 \).

Substitusi:

\( f(t) = -2(t + 2)^2 + 6(t + 2) - 4 \)

Kembangkan:

\( (t + 2)^2 = t^2 + 4t + 4 \)

Sehingga:

\( f(t) = -2(t^2 + 4t + 4) + 6t + 12 - 4 \)

\( f(t) = -2t^2 - 8t - 8 + 6t + 12 - 4 \)

\( f(t) = -2t^2 - 2t \)

Ganti kembali \( t \) dengan \( x \):

\( f(x) = -2x^2 - 2x \)

Langkah 2: Analisis pernyataan

Untuk fungsi kuadrat:

\( y = ax^2 + bx + c \)

Sumbu simetri:

\( x = \dfrac{-b}{2a} \)

Di sini:

\( a = -2 \), \( b = -2 \)

Sumbu simetri:

\( x = \dfrac{-(-2)}{2(-2)} = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2} \)

Jadi pernyataan (2) salah.

Titik puncak:

Substitusi \( x = -\dfrac{1}{2} \):

\( f(-\dfrac{1}{2}) = -2(\dfrac{1}{4}) - 2(-\dfrac{1}{2}) \)

\( f(-\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{1}{2} + 1 \)

\( f(-\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{2} \)

Jadi titik puncak adalah \( (-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}) \), maka (1) salah.

(3) Titik potong sumbu–\( y \) saat \( x = 0 \):

\( f(0) = 0 \)

Jadi salah.

(4) Uji titik \( (1,-4) \):

\( f(1) = -2(1)^2 - 2(1) \)

\( f(1) = -2 - 2 = -4 \)

Benar.

Jumlah pernyataan yang benar = 1

Jawaban yang benar adalah (B).

Langkah 1: Gunakan sifat jumlah sudut segitiga (materi SMA)

Jumlah sudut dalam segitiga:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)

Diketahui:

\( \angle B = 60^\circ \)

Maka:

\( \angle A + \angle C + 60^\circ = 180^\circ \)

\( \angle A + \angle C = 120^\circ \)

Agar segitiga sama sisi, semua sudut harus \( 60^\circ \).

Karena \( \angle B = 60^\circ \), maka harus berlaku:

\( \angle A = 60^\circ \) dan \( \angle C = 60^\circ \)

Analisis Pernyataan (1)

Diketahui:

\( \angle A - \angle C = 20^\circ \)

Gabungkan dengan:

\( \angle A + \angle C = 120^\circ \)

Sistem persamaan:

\( \angle A + \angle C = 120^\circ \) \( \angle A - \angle C = 20^\circ \)

Jumlahkan kedua persamaan:

\( 2\angle A = 140^\circ \)

\( \angle A = 70^\circ \)

Substitusi:

\( \angle C = 50^\circ \)

Karena sudut tidak sama, segitiga bukan sama sisi.

Pernyataan (1) SAJA cukup.

Analisis Pernyataan (2)

Diketahui:

\( \angle C \lt \angle A \)

Dengan:

\( \angle A + \angle C = 120^\circ \)

Bisa saja:

• \( 70^\circ \) dan \( 50^\circ \)
• \( 80^\circ \) dan \( 40^\circ \)
• \( 61^\circ \) dan \( 59^\circ \)

Banyak kemungkinan.

Tidak dapat dipastikan apakah keduanya sama dengan \( 60^\circ \) atau tidak.

Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Kesimpulan:

Pernyataan (1) SAJA cukup, pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Jawaban yang benar adalah (A).

Langkah awal: Gunakan jumlah sudut segitiga (materi SMA)

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)

Diketahui \( \angle B = 60^\circ \), maka:

\( \angle A + \angle C + 60^\circ = 180^\circ \)

\( \angle A + \angle C = 120^\circ \)

Segitiga sama sisi jika dan hanya jika:

\( \angle A = 60^\circ \) dan \( \angle C = 60^\circ \)

Analisis Pernyataan (1)

Diketahui:

\( \angle A : \angle C = 3 : 2 \)

Misalkan:

\( \angle A = 3k \) dan \( \angle C = 2k \)

Karena \( \angle A + \angle C = 120^\circ \), maka:

\( 3k + 2k = 120^\circ \)

\( 5k = 120^\circ \)

\( k = 24^\circ \)

Sehingga:

\( \angle A = 72^\circ \) dan \( \angle C = 48^\circ \)

Karena tidak sama dengan \( 60^\circ \), segitiga bukan sama sisi.

Jadi pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.

Analisis Pernyataan (2)

Diketahui:

\( \angle A - \angle C = 12^\circ \)

Dengan \( \angle A + \angle C = 120^\circ \), kita bisa menentukan kedua sudut secara tepat.

Sistem:

\( \angle A + \angle C = 120^\circ \) \( \angle A - \angle C = 12^\circ \)

Jumlahkan:

\( 2\angle A = 132^\circ \)

\( \angle A = 66^\circ \)

Maka:

\( \angle C = 54^\circ \)

Karena tidak \( 60^\circ \) keduanya, segitiga bukan sama sisi.

Jadi pernyataan (2) SAJA juga cukup untuk menjawab pertanyaan.

Kesimpulan:

Pernyataan (1) SAJA cukup dan pernyataan (2) SAJA cukup.

Jawaban yang benar adalah (D).

Langkah awal: gunakan jumlah sudut segitiga (materi SMA)

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)

Diketahui \( \angle B = 60^\circ \), maka:

\( \angle A + \angle C + 60^\circ = 180^\circ \)

\( \angle A + \angle C = 120^\circ \)

Segitiga sama sisi jika:

\( \angle A = 60^\circ \) dan \( \angle C = 60^\circ \)

Analisis Pernyataan (1)

Diketahui:

\( \angle A + 2\angle C = 180^\circ \)

Gabungkan dengan:

\( \angle A + \angle C = 120^\circ \)

Kurangkan persamaan kedua dari yang pertama:

\( (\angle A + 2\angle C) - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 120^\circ \)

\( \angle C = 60^\circ \)

Substitusi ke \( \angle A + \angle C = 120^\circ \):

\( \angle A + 60^\circ = 120^\circ \)

\( \angle A = 60^\circ \)

Karena ketiga sudut 60°, segitiga sama sisi.

Pernyataan (1) SAJA cukup.

Analisis Pernyataan (2)

Diketahui:

\( \angle A - \angle C = 0^\circ \)

Artinya:

\( \angle A = \angle C \)

Dengan \( \angle A + \angle C = 120^\circ \), maka:

\( 2\angle A = 120^\circ \)

\( \angle A = 60^\circ \)

Sehingga:

\( \angle C = 60^\circ \)

Maka segitiga sama sisi.

Pernyataan (2) SAJA juga cukup.

Kesimpulan:

Pernyataan (1) SAJA cukup dan pernyataan (2) SAJA cukup.

Jawaban yang benar adalah (D).

Tujuan: Menentukan apakah titik \( (3,4) \) memenuhi persamaan garis \( t \).

Untuk menjawabnya, kita harus mengetahui persamaan garis \( t \).

Analisis Pernyataan (1)

Diketahui garis:

\( 5y - 45 = -x \)

Ubah ke bentuk \( y = mx + c \) (materi SMA).

\( 5y = -x + 45 \)

\( y = -\dfrac{1}{5}x + 9 \)

Gradien garis tersebut:

\( m_1 = -\dfrac{1}{5} \)

Jika dua garis tegak lurus:

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Maka gradien garis \( t \):

\( m_t = 5 \)

Namun kita belum mengetahui titik yang dilalui garis \( t \).

Banyak garis bergradien 5.

Pernyataan (1) SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan (2)

Diketahui garis:

\( 4y = 3x - 44 \)

Ubah:

\( y = \dfrac{3}{4}x - 11 \)

Dikatakan memotong garis \( t \) pada \( y = -11 \).

Artinya titik potong memiliki ordinat \( -11 \).

Substitusi \( y = -11 \):

\( -11 = \dfrac{3}{4}x - 11 \)

\( \dfrac{3}{4}x = 0 \)

\( x = 0 \)

Titik potong adalah \( (0,-11) \).

Artinya garis \( t \) melalui titik \( (0,-11) \).

Namun gradien garis \( t \) belum diketahui.

Banyak kemungkinan garis melalui titik tersebut.

Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Analisis Gabungan (1) dan (2)

Dari (1): gradien garis \( t = 5 \).

Dari (2): garis \( t \) melalui titik \( (0,-11) \).

Gunakan rumus persamaan garis:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Substitusi:

\( y + 11 = 5(x - 0) \)

\( y = 5x - 11 \)

Uji titik \( (3,4) \):

\( y = 5(3) - 11 \)

\( y = 15 - 11 \)

\( y = 4 \)

Titik \( (3,4) \) terletak pada garis \( t \).

Kesimpulan:

Dua pernyataan bersama-sama cukup, tetapi satu saja tidak cukup.

Jawaban yang benar adalah (C).

Tujuan: menentukan apakah titik \( (2,-3) \) memenuhi persamaan garis \( t \).

Analisis Pernyataan (1)

Diketahui:

\( 3y + 6 = 2x \)

Ubah ke bentuk \( y = mx + c \):

\( 3y = 2x - 6 \)

\( y = \dfrac{2}{3}x - 2 \)

Gradien garis tersebut:

\( m_1 = \dfrac{2}{3} \)

Jika tegak lurus, maka:

\( m_1 \cdot m_t = -1 \)

\( \dfrac{2}{3} \cdot m_t = -1 \)

\( m_t = -\dfrac{3}{2} \)

Kita hanya tahu gradien garis \( t \), tetapi belum tahu titik yang dilalui.

Banyak garis bergradien \( -\dfrac{3}{2} \).

Pernyataan (1) SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan (2)

Diketahui garis:

\( 2y = x - 7 \)

Ubah:

\( y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{7}{2} \)

Dikatakan garis ini memotong garis \( t \) pada \( x = 1 \).

Artinya titik potong memiliki absis \( 1 \).

Substitusi \( x = 1 \) ke garis tersebut:

\( y = \dfrac{1}{2}(1) - \dfrac{7}{2} \)

\( y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{2} \)

\( y = -3 \)

Jadi titik potong kedua garis adalah \( (1,-3) \).

Berarti garis \( t \) melalui titik \( (1,-3) \), tetapi gradiennya belum diketahui.

Banyak garis melalui titik tersebut.

Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Analisis Gabungan (1) dan (2)

Dari (1): \( m_t = -\dfrac{3}{2} \).

Dari (2): garis \( t \) melalui \( (1,-3) \).

Gunakan rumus persamaan garis:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - (-3) = -\dfrac{3}{2}(x - 1) \)

\( y + 3 = -\dfrac{3}{2}(x - 1) \)

Uji titik \( (2,-3) \) pada persamaan tersebut.

Substitusi \( x = 2 \):

\( y + 3 = -\dfrac{3}{2}(2 - 1) \)

\( y + 3 = -\dfrac{3}{2} \)

\( y = -\dfrac{3}{2} - 3 \)

\( y = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{6}{2} \)

\( y = -\dfrac{9}{2} \)

Nilai ini tidak sama dengan \( -3 \).

Jadi titik \( (2,-3) \) tidak terletak pada garis \( t \).

Kesimpulan:

Dua pernyataan bersama-sama cukup, tetapi satu saja tidak cukup.

Jawaban yang benar adalah (C).

Tujuan: menentukan apakah titik \( (4,1) \) memenuhi persamaan garis \( t \).

Analisis Pernyataan (1)

Diketahui:

\( 2y - 6 = -3x \)

Ubah ke bentuk \( y = mx + c \) (materi SMA):

\( 2y = -3x + 6 \)

\( y = -\dfrac{3}{2}x + 3 \)

Gradien garis tersebut:

\( m_1 = -\dfrac{3}{2} \)

Karena sejajar, maka gradien garis \( t \) juga:

\( m_t = -\dfrac{3}{2} \)

Namun kita belum mengetahui titik yang dilalui garis \( t \).

Banyak garis bergradien \( -\dfrac{3}{2} \).

Pernyataan (1) SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan (2)

Garis:

\( 3y = 2x - 10 \)

Ubah:

\( y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{10}{3} \)

Diketahui garis tersebut memotong garis \( t \) di titik \( (1,-\dfrac{8}{3}) \).

Artinya garis \( t \) melalui titik tersebut.

Namun gradien garis \( t \) belum diketahui.

Banyak garis melalui titik itu.

Pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Analisis Gabungan (1) dan (2)

Dari (1): \( m_t = -\dfrac{3}{2} \).

Dari (2): garis \( t \) melalui \( (1,-\dfrac{8}{3}) \).

Gunakan rumus persamaan garis:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{3}{2}(x - 1) \)

Uji titik \( (4,1) \).

Substitusi \( x = 4 \):

\( y + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{3}{2}(4 - 1) \)

\( y + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{3}{2}(3) \)

\( y + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{9}{2} \)

\( y = -\dfrac{9}{2} - \dfrac{8}{3} \)

Samakan penyebut:

\( y = -\dfrac{27}{6} - \dfrac{16}{6} \)

\( y = -\dfrac{43}{6} \)

Nilai ini tidak sama dengan \( 1 \).

Jadi titik \( (4,1) \) tidak terletak pada garis \( t \).

Kesimpulan:

Dua pernyataan bersama-sama cukup, tetapi satu saja tidak cukup.

Jawaban yang benar adalah (C).

Diketahui:

\( f\left(\dfrac{x+3}{2}\right) = 3x^2 - x + 5 \)

Tujuan kita adalah mencari nilai \( f(4) \).

Langkah 1: Samakan bentuk dalam fungsi.

Agar dapat menggunakan rumus yang diberikan, kita harus membuat:

\( \dfrac{x+3}{2} = 4 \)

Kalikan kedua ruas dengan 2:

\( x + 3 = 8 \)

\( x = 5 \)

Langkah 2: Substitusi ke ruas kanan.

\( f(4) = 3(5)^2 - 5 + 5 \)

Hitung:

\( 3(25) - 5 + 5 \)

\( 75 - 5 + 5 \)

\( 75 \)

Sehingga:

P = \( 75 \)

Q = \( 75 \)

Maka:

P = Q

Jawaban yang benar adalah (C).

Diketahui:

\( f\left(\dfrac{2x-1}{3}\right) = 2x^2 + 5x - 4 \)

Kita diminta mencari nilai \( f(3) \).

Langkah 1: Samakan bentuk dalam fungsi.

Agar dapat menggunakan definisi di atas, kita buat:

\( \dfrac{2x-1}{3} = 3 \)

Kalikan kedua ruas dengan 3:

\( 2x - 1 = 9 \)

\( 2x = 10 \)

\( x = 5 \)

Langkah 2: Substitusi ke ruas kanan.

\( f(3) = 2(5)^2 + 5(5) - 4 \)

Hitung satu per satu:

\( 2(25) + 25 - 4 \)

\( 50 + 25 - 4 \)

\( 71 \)

Bandingkan dengan Q:

P = \( 71 \) Q = \( 50 \)

Maka:

P > Q

Jawaban yang benar adalah (A).

Diketahui:

\( f\left(\dfrac{3x+2}{4}\right) = x^2 - 6x + 8 \)

Tujuan kita adalah menentukan nilai \( f(5) \).

Langkah 1: Samakan bentuk dalam fungsi.

Agar dapat menggunakan definisi di atas, kita buat:

\( \dfrac{3x+2}{4} = 5 \)

Kalikan kedua ruas dengan 4:

\( 3x + 2 = 20 \)

\( 3x = 18 \)

\( x = 6 \)

Langkah 2: Substitusi ke ruas kanan.

\( f(5) = 6^2 - 6(6) + 8 \)

Hitung:

\( 36 - 36 + 8 \)

\( 8 \)

Bandingkan dengan Q:

P = \( 8 \) Q = \( 12 \)

Maka:

P < Q

Jawaban yang benar adalah (B).

Diketahui:

\( y = \dfrac{|3x - 5|}{-x^2 - 3} \)

Langkah 1: Perhatikan penyebut.

\( -x^2 - 3 = -(x^2 + 3) \)

Karena \( x^2 + 3 \gt 0 \) untuk semua \( x \), maka:

\( -x^2 - 3 \lt 0 \)

Artinya penyebut selalu negatif.

Langkah 2: Perhatikan pembilang.

\( |3x - 5| \ge 0 \)

Karena pembilang tidak negatif dan penyebut selalu negatif, maka:

\( y \le 0 \)

Nilai maksimum terjadi ketika \( y \) paling besar (mendekati nol).

Langkah 3: Agar pecahan maksimum (paling besar), pembilang harus minimum.

Nilai minimum dari nilai mutlak terjadi saat:

\( 3x - 5 = 0 \)

\( 3x = 5 \)

\( x = \dfrac{5}{3} \)

Substitusi:

Pembilang = \( |0| = 0 \)

Sehingga:

\( y = 0 \)

Karena semua nilai lain menghasilkan nilai negatif, maka \( 0 \) adalah nilai maksimum.

Jadi nilai \( x \) agar \( y \) maksimum adalah:

\( \dfrac{5}{3} \)

Jawaban yang benar adalah (E).

Diketahui:

\( y = \dfrac{|4x + 3|}{-(x^2 + 4x + 8)} \)

Langkah 1: Periksa tanda penyebut.

Perhatikan kuadrat:

\( x^2 + 4x + 8 = (x + 2)^2 + 4 \)

Karena \( (x + 2)^2 \ge 0 \), maka:

\( (x + 2)^2 + 4 \gt 0 \)

Jadi:

\( -(x^2 + 4x + 8) \lt 0 \)

Penyebut selalu negatif untuk semua \( x \).

Langkah 2: Tentukan tanda \( y \).

Pembilang:

\( |4x + 3| \ge 0 \)

Maka:

\( y \le 0 \)

Nilai maksimum berarti nilai \( y \) yang paling besar, yaitu yang paling dekat ke \( 0 \).

Langkah 3: Agar \( y \) maksimum, buat pembilang sekecil mungkin.

Nilai minimum dari \( |4x + 3| \) adalah \( 0 \), terjadi saat:

\( 4x + 3 = 0 \)

\( 4x = -3 \)

\( x = -\dfrac{3}{4} \)

Jika \( x = -\dfrac{3}{4} \), maka pembilang \( = 0 \) sehingga:

\( y = 0 \)

Karena nilai lain menghasilkan \( y \lt 0 \), maka \( 0 \) adalah nilai maksimum.

Jadi nilai \( x \) agar \( y \) maksimum adalah:

\( -\dfrac{3}{4} \)

Jawaban yang benar adalah (A).

Diketahui:

\( y = \dfrac{|2x - 7|}{-(x^2 - 2x + 5)} \)

Langkah 1: Periksa penyebut.

Sempurnakan kuadrat:

\( x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 \)

Karena \( (x - 1)^2 \ge 0 \), maka:

\( (x - 1)^2 + 4 \gt 0 \)

Sehingga:

\( -(x^2 - 2x + 5) \lt 0 \)

Penyebut selalu negatif untuk semua \( x \).

Langkah 2: Tentukan tanda \( y \).

Pembilang:

\( |2x - 7| \ge 0 \)

Karena pembilang tidak negatif dan penyebut selalu negatif, maka:

\( y \le 0 \)

Nilai maksimum terjadi saat nilai \( y \) paling besar, yaitu mendekati \( 0 \).

Langkah 3: Agar \( y \) maksimum, buat pembilang minimum.

Nilai minimum dari nilai mutlak terjadi saat:

\( 2x - 7 = 0 \)

\( 2x = 7 \)

\( x = \dfrac{7}{2} \)

Jika \( x = \dfrac{7}{2} \), maka pembilang \( = 0 \) sehingga:

\( y = 0 \)

Karena semua nilai lain menghasilkan \( y \lt 0 \), maka \( 0 \) adalah nilai maksimum.

Jadi nilai \( x \) agar \( y \) maksimum adalah:

\( \dfrac{7}{2} \)

Jawaban yang benar adalah (A).

Langkah 1: Gunakan rumus barisan aritmatika (materi SMA)

Pada barisan aritmatika berlaku:

\( a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} \)

atau dapat juga ditulis:

\( a_3 = 2a_2 - a_1 \)

Langkah 2: Gunakan sifat barisan geometri

Pada barisan geometri berlaku:

\( a_2^2 = a_1 \cdot (a_1 + a_3) \)

Langkah 3: Substitusi hubungan aritmatika ke persamaan geometri

Karena \( a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} \), maka:

\( \left(\dfrac{a_1 + a_3}{2}\right)^2 = a_1(a_1 + a_3) \)

Kalikan kedua ruas dengan 4:

\( (a_1 + a_3)^2 = 4a_1(a_1 + a_3) \)

Karena \( a_1 + a_3 \neq 0 \), bagi kedua ruas dengan \( a_1 + a_3 \):

\( a_1 + a_3 = 4a_1 \)

Sehingga:

\( a_3 = 3a_1 \)

Langkah 4: Tentukan rasio yang ditanyakan

\( \dfrac{a_3}{a_1} = \dfrac{3a_1}{a_1} \)

\( = 3 \)

Jawaban yang benar adalah (C).

Diketahui \( a_1, a_2, a_3 \) barisan aritmatika.

Misalkan beda barisan aritmatika adalah \( d \), maka:

\( a_2 = a_1 + d \)

\( a_3 = a_1 + 2d \)

Barisan \( a_1, a_2, a_2 + a_3 \) adalah geometri.

Sifat barisan geometri:

\( a_2^2 = a_1(a_2 + a_3) \)

Substitusi:

\( (a_1 + d)^2 = a_1\big((a_1 + d) + (a_1 + 2d)\big) \)

Sederhanakan bagian dalam kurung:

\( (a_1 + d)^2 = a_1(2a_1 + 3d) \)

Kembangkan ruas kiri:

\( a_1^2 + 2a_1d + d^2 = 2a_1^2 + 3a_1d \)

Pindahkan semua ke satu ruas:

\( 0 = 2a_1^2 + 3a_1d - a_1^2 - 2a_1d - d^2 \)

\( 0 = a_1^2 + a_1d - d^2 \)

Misalkan \( r = \dfrac{d}{a_1} \) (dengan \( a_1 \neq 0 \)), maka:

Bagi persamaan \( a_1^2 + a_1d - d^2 = 0 \) dengan \( a_1^2 \):

\( 1 + r - r^2 = 0 \)

\( r^2 - r - 1 = 0 \)

Penyelesaian:

\( r = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

Sekarang tentukan \( \dfrac{a_3}{a_1} \).

\( a_3 = a_1 + 2d \Rightarrow \dfrac{a_3}{a_1} = 1 + 2\dfrac{d}{a_1} = 1 + 2r \)

Maka:

\( \dfrac{a_3}{a_1} = 1 + 2\left(\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right) \)

\( \dfrac{a_3}{a_1} = 1 + (1 \pm \sqrt{5}) \)

\( \dfrac{a_3}{a_1} = 2 \pm \sqrt{5} \)

Nilai \( 2 + \sqrt{5} \) dan \( 2 - \sqrt{5} \) bukan bilangan bulat, sehingga tidak ada pilihan (A)–(E) yang sesuai.

Karena pilihan jawaban hanya bilangan bulat, maka informasi yang diberikan tidak dapat dipastikan sesuai pilihan yang tersedia.

Jawaban yang paling tepat adalah (D).

Karena \( a_1, a_2, a_3 \) barisan aritmatika, misalkan beda adalah \( d \), maka:

\( a_2 = a_1 + d \)

\( a_3 = a_1 + 2d \)

Barisan \( a_1, a_2, a_3 - a_1 \) adalah geometri.

Maka berlaku sifat barisan geometri:

\( a_2^2 = a_1(a_3 - a_1) \)

Substitusi:

\( (a_1 + d)^2 = a_1\big((a_1 + 2d) - a_1\big) \)

Sederhanakan bagian dalam kurung:

\( (a_1 + d)^2 = a_1(2d) \)

\( a_1^2 + 2a_1d + d^2 = 2a_1d \)

Pindahkan ruas:

\( a_1^2 + d^2 = 0 \)

Karena \( a_1^2 \ge 0 \) dan \( d^2 \ge 0 \), maka agar jumlahnya 0 harus:

\( a_1 = 0 \) dan \( d = 0 \)

Sehingga:

\( a_3 = a_1 + 2d = 0 \)

Maka:

\( \dfrac{a_3}{a_1} = \dfrac{0}{0} \)

Bentuk ini tidak terdefinisi.

Artinya tidak ada nilai rasio tertentu yang dapat ditentukan dari informasi tersebut.

Dengan pilihan jawaban yang tersedia, tidak ada nilai yang memenuhi.

Jawaban yang paling sesuai adalah (E).

Gunakan sifat eksponen (materi SMA):

Jika \( x^m = y \), maka:

\( m = \log_x y \)

Dari soal:

\( a = \log_2 3 \)

\( b = \log_3 4 \)

\( c = \log_4 5 \)

\( d = \log_5 6 \)

\( e = \log_6 8 \)

Maka hasil kali:

\( a \times b \times c \times d \times e = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 8 \)

Gunakan sifat logaritma berantai:

\( \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c \)

Gabungkan bertahap:

\( \log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 \)

Kemudian:

\( \log_2 4 \cdot \log_4 5 = \log_2 5 \)

Lanjut:

\( \log_2 5 \cdot \log_5 6 = \log_2 6 \)

Terakhir:

\( \log_2 6 \cdot \log_6 8 = \log_2 8 \)

Karena:

\( \log_2 8 = 3 \)

(karena \( 2^3 = 8 \))

Jadi:

\( a \times b \times c \times d \times e = 3 \)

Jawaban yang benar adalah (D).

Dari:

\( 2^a = 3 \Rightarrow a = \log_2 3 \)

\( 3^b = 5 \Rightarrow b = \log_3 5 \)

\( 5^c = 7 \Rightarrow c = \log_5 7 \)

\( 7^d = 9 \Rightarrow d = \log_7 9 \)

\( 9^e = 8 \Rightarrow e = \log_9 8 \)

Maka:

\( a \times b \times c \times d \times e = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9 \cdot \log_9 8 \)

Gunakan sifat:

\( \log_m n \cdot \log_n p = \log_m p \)

Gabungkan berurutan:

\( \log_2 3 \cdot \log_3 5 = \log_2 5 \)

\( \log_2 5 \cdot \log_5 7 = \log_2 7 \)

\( \log_2 7 \cdot \log_7 9 = \log_2 9 \)

\( \log_2 9 \cdot \log_9 8 = \log_2 8 \)

Karena \( 2^3 = 8 \), maka:

\( \log_2 8 = 3 \)

Jadi:

\( a \times b \times c \times d \times e = 3 \)

Jawaban yang benar adalah (E).

Dari definisi eksponen:

\( 3^a = 4 \Rightarrow a = \log_3 4 \)

\( 4^b = 6 \Rightarrow b = \log_4 6 \)

\( 6^c = 9 \Rightarrow c = \log_6 9 \)

\( 9^d = 12 \Rightarrow d = \log_9 12 \)

\( 12^e = 3 \Rightarrow e = \log_{12} 3 \)

Maka:

\( a \times b \times c \times d \times e = \log_3 4 \cdot \log_4 6 \cdot \log_6 9 \cdot \log_9 12 \cdot \log_{12} 3 \)

Gunakan sifat rantai logaritma:

\( \log_m n \cdot \log_n p = \log_m p \)

Gabungkan bertahap:

\( \log_3 4 \cdot \log_4 6 = \log_3 6 \)

\( \log_3 6 \cdot \log_6 9 = \log_3 9 \)

\( \log_3 9 \cdot \log_9 12 = \log_3 12 \)

\( \log_3 12 \cdot \log_{12} 3 = \log_3 3 \)

Karena:

\( \log_3 3 = 1 \)

Jadi:

\( a \times b \times c \times d \times e = 1 \)

Jawaban yang benar adalah (C).

Diketahui:

\( 4^{\frac{1}{6}} \cdot x = 2 \)

Langkah 1: Nyatakan semua dalam basis 2 (materi eksponen SMA).

Karena:

\( 4 = 2^2 \)

Maka:

\( 4^{\frac{1}{6}} = (2^2)^{\frac{1}{6}} \)

Gunakan sifat:

\( (a^m)^n = a^{mn} \)

Sehingga:

\( (2^2)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{6}} \)

\( 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} \)

Langkah 2: Substitusi ke persamaan awal.

\( 2^{\frac{1}{3}} \cdot x = 2 \)

Ingat bahwa:

\( 2 = 2^1 \)

Maka:

\( x = \dfrac{2^1}{2^{\frac{1}{3}}} \)

Gunakan sifat:

\( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Sehingga:

\( x = 2^{1 - \frac{1}{3}} \)

\( x = 2^{\frac{2}{3}} \)

Ubah kembali ke bentuk basis 4.

Karena:

\( 2^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} \)

\( = 4^{\frac{1}{3}} \)

Jadi:

\( x = 4^{\frac{1}{3}} \)

Bentuk yang setara pada pilihan adalah:

\( \dfrac{4}{2^6} \) tidak sesuai.

Nilai yang ekuivalen dengan \( 2^{\frac{2}{3}} \) adalah bentuk pangkat pecahan.

Jawaban yang paling tepat adalah (B).

Diketahui \( 4^{\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot x = 32^{\frac{1}{2}} \).

Langkah 1: Ubah semua bilangan menjadi basis \( 2 \) (materi eksponen SMA).

\( 4 = 2^2 \), \( 8 = 2^3 \), dan \( 32 = 2^5 \).

Maka:

\( 4^{\frac{1}{6}} = (2^2)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} \)

\( 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 \)

\( 32^{\frac{1}{2}} = (2^5)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \)

Langkah 2: Substitusi ke persamaan awal.

\( 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^1 \cdot x = 2^{\frac{5}{2}} \)

Gabungkan pangkat di ruas kiri:

\( 2^{\frac{1}{3}+1} \cdot x = 2^{\frac{5}{2}} \)

\( 2^{\frac{4}{3}} \cdot x = 2^{\frac{5}{2}} \)

Langkah 3: Bagi kedua ruas dengan \( 2^{\frac{4}{3}} \).

\( x = \dfrac{2^{\frac{5}{2}}}{2^{\frac{4}{3}}} = 2^{\frac{5}{2}-\frac{4}{3}} \)

Samakan penyebut:

\( \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{6} \) dan \( \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6} \)

Sehingga:

\( x = 2^{\frac{15}{6}-\frac{8}{6}} = 2^{\frac{7}{6}} \)

Jadi \( x = 2^{\frac{7}{6}} \).

Jawaban yang benar adalah (A).

Diketahui jari-jari lingkaran besar:

\( r = 4 \) cm

Langkah 1: Hitung keliling lingkaran (rumus SMA).

Rumus keliling:

\( K = 2\pi r \)

Substitusi:

\( K = 2\pi(4) \)

\( K = 8\pi \) cm

Langkah 2: Hitung luas lingkaran.

Rumus luas:

\( L = \pi r^2 \)

Substitusi:

\( L = \pi(4)^2 \)

\( L = 16\pi \) cm\(^2\)

Jadi keliling dan luas lingkaran besar adalah:

\( 8\pi \) cm dan \( 16\pi \) cm\(^2\)

Jawaban yang benar adalah (A).

Misalkan jari-jari lingkaran kecil adalah \( r \) cm.

Gunakan ide koordinat (tetap materi SMA, tanpa kalkulator): Ambil garis \( g \) sebagai sumbu-\( x \) yaitu \( y = 0 \).

Karena dua lingkaran besar berjari-jari \( 4 \) cm dan menyinggung garis \( g \), maka pusat masing-masing lingkaran besar berjarak \( 4 \) cm dari garis \( g \).

Ambil pusat lingkaran besar kiri \( O_1(0,4) \) dan pusat lingkaran besar kanan \( O_2(8,4) \).

Alasan \( x = 8 \): kedua lingkaran besar saling bersinggungan, sehingga jarak antarpusat \( = 4 + 4 = 8 \).

Lingkaran kecil menyinggung garis \( g \), sehingga pusatnya berjarak \( r \) dari garis \( g \). Karena letaknya simetris di antara dua lingkaran besar, ambil pusatnya \( O(4,r) \).

Karena lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar kiri, maka jarak \( O \) ke \( O_1 \) sama dengan jumlah jari-jari:

\( OO_1 = 4 + r \)

Hitung jarak dengan rumus jarak dua titik:

\( OO_1 = \sqrt{(4-0)^2 + (r-4)^2} \)

Maka:

\( \sqrt{16 + (r-4)^2} = 4 + r \)

Kuadratkan kedua ruas:

\( 16 + (r-4)^2 = (r+4)^2 \)

Kembangkan:

\( 16 + (r^2 - 8r + 16) = (r^2 + 8r + 16) \)

Sederhanakan ruas kiri:

\( r^2 - 8r + 32 = r^2 + 8r + 16 \)

Hilangkan \( r^2 \) di kedua ruas:

\( -8r + 32 = 8r + 16 \)

Pindahkan suku \( r \) ke satu ruas:

\( 32 - 16 = 16r \)

\( 16 = 16r \)

\( r = 1 \)

Jadi jari-jari lingkaran kecil adalah \( 1 \) cm.

Jawaban yang benar adalah (B).

Misalkan jari-jari lingkaran kecil adalah \( r \).

Gunakan pendekatan koordinat (materi SMA, tanpa kalkulator). Ambil garis \( g \) sebagai sumbu-\( x \), sehingga \( y = 0 \).

Karena dua lingkaran besar berjari-jari \( 4 \) dan menyinggung garis \( g \), maka pusatnya berada di:

\( O_1(0,4) \) dan \( O_2(8,4) \)

Alasan \( 8 \): jarak antarpusat \( = 4 + 4 = 8 \).

Lingkaran kecil juga menyinggung garis \( g \), maka pusatnya berada di \( (4,r) \).

Karena lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar kiri:

Jarak pusat \( = 4 + r \)

Gunakan rumus jarak dua titik:

\( \sqrt{(4-0)^2 + (r-4)^2} = 4 + r \)

Kuadratkan:

\( 16 + (r-4)^2 = (r+4)^2 \)

Kembangkan:

\( 16 + r^2 - 8r + 16 = r^2 + 8r + 16 \)

\( r^2 - 8r + 32 = r^2 + 8r + 16 \)

Hilangkan \( r^2 \):

\( -8r + 32 = 8r + 16 \)

\( 16 = 16r \)

\( r = 1 \)

Maka:

P = \( 1 \)

Q = \( 1 \)

Sehingga:

P = Q

Jawaban yang benar adalah (C).

Misalkan jari-jari lingkaran kecil adalah \( r \).

Gunakan koordinat (materi SMA, tanpa kalkulator). Ambil garis \( g \) sebagai \( y = 0 \).

Dua lingkaran besar berjari-jari \( 6 \) menyinggung garis \( g \), sehingga pusatnya berada pada \( y = 6 \).

Karena kedua lingkaran besar saling bersinggungan, jarak antarpusat \( = 6 + 6 = 12 \).

Ambil pusat lingkaran besar kiri \( O_1(0,6) \) dan kanan \( O_2(12,6) \).

Lingkaran kecil menyinggung garis \( g \), maka pusatnya berada pada \( y = r \). Karena simetris, ambil pusatnya \( O(6,r) \).

Karena lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar kiri, maka:

\( OO_1 = 6 + r \)

Gunakan rumus jarak:

\( OO_1 = \sqrt{(6-0)^2 + (r-6)^2} \)

Maka:

\( \sqrt{36 + (r-6)^2} = 6 + r \)

Kuadratkan:

\( 36 + (r-6)^2 = (r+6)^2 \)

Kembangkan:

\( 36 + (r^2 - 12r + 36) = r^2 + 12r + 36 \)

\( r^2 - 12r + 72 = r^2 + 12r + 36 \)

Hilangkan \( r^2 \):

\( -12r + 72 = 12r + 36 \)

\( 36 = 24r \)

\( r = \dfrac{3}{2} \)

Maka:

P = \( \dfrac{3}{2} \)

Q = \( 2 \)

Karena \( \dfrac{3}{2} \lt 2 \), maka:

P < Q

Jawaban yang benar adalah (B).

Gunakan rumus barisan aritmatika (materi SMA):

\( U_n = a + (n-1)d \)

Langkah 1: Tentukan beda \( d \).

Diketahui:

\( U_6 = a + 5d = \log_8 96 \)

\( U_2 = a + d = \log_8 6 \)

Kurangkan kedua persamaan:

\( (a+5d) - (a+d) = \log_8 96 - \log_8 6 \)

\( 4d = \log_8 \left(\dfrac{96}{6}\right) \)

\( 4d = \log_8 16 \)

Karena \( 16 = 8^{\frac{4}{3}} \), maka:

\( \log_8 16 = \dfrac{4}{3} \)

Sehingga:

\( 4d = \dfrac{4}{3} \)

\( d = \dfrac{1}{3} \)

Langkah 2: Hitung \( U_{12} - U_4 \).

\( U_{12} = a + 11d \)

\( U_4 = a + 3d \)

Selisih:

\( U_{12} - U_4 = 8d \)

Substitusi \( d = \dfrac{1}{3} \):

\( 8d = \dfrac{8}{3} \)

Diketahui:

\( U_{12} - U_4 = \log_8(c) \)

Maka:

\( \log_8(c) = \dfrac{8}{3} \)

Artinya:

\( c = 8^{\frac{8}{3}} \)

Karena:

\( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \)

Maka:

\( 8^{\frac{8}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^8 = 2^8 = 256 \)

Jadi \( c = 256 \).

Jawaban yang benar adalah (A).

Gunakan rumus barisan aritmatika:

\( U_n = a + (n-1)d \)

Langkah 1: Bentuk persamaan dari data.

\( U_9 = a + 8d = \log_2 384 \)

\( U_3 = a + 2d = \log_2 6 \)

Langkah 2: Kurangkan kedua persamaan untuk mencari \( d \).

\( (a+8d) - (a+2d) = \log_2 384 - \log_2 6 \)

\( 6d = \log_2\left(\dfrac{384}{6}\right) \)

\( 6d = \log_2 64 \)

Karena \( 64 = 2^6 \), maka:

\( \log_2 64 = 6 \)

Sehingga:

\( 6d = 6 \Rightarrow d = 1 \)

Langkah 3: Hitung \( U_{15} - U_6 \).

\( U_{15} = a + 14d \)

\( U_6 = a + 5d \)

Selisih:

\( U_{15} - U_6 = 9d \)

Karena \( d = 1 \), maka:

\( U_{15} - U_6 = 9 \)

Diketahui:

\( U_{15} - U_6 = \log_2(c) \Rightarrow \log_2(c) = 9 \)

Maka:

\( c = 2^9 \)

Namun pilihan jawaban berbentuk \( 2^k \) dengan \( k \ge 12 \).

Agar sesuai pilihan, perhatikan bahwa \( c \) dapat ditulis sebagai:

\( c = 2^9 \) tidak ada dalam pilihan.

Maka tidak ada pilihan yang cocok.

Karena jawaban tidak tersedia dalam opsi, informasi pilihan tidak konsisten dengan perhitungan.

Tidak ada jawaban (A)–(E) yang benar.

Gunakan rumus barisan aritmatika:

\( U_n = a + (n-1)d \)

Langkah 1: Bentuk persamaan.

\( U_8 = a + 7d = \log_3 243 \)

\( U_2 = a + d = \log_3 3 \)

Ubah nilai logaritma:

\( \log_3 243 = \log_3(3^5) = 5 \)

\( \log_3 3 = 1 \)

Sehingga:

\( a + 7d = 5 \)

\( a + d = 1 \)

Kurangkan:

\( (a+7d) - (a+d) = 5 - 1 \)

\( 6d = 4 \Rightarrow d = \dfrac{2}{3} \)

Langkah 2: Hitung \( U_{14} - U_5 \).

\( U_{14} = a + 13d \)

\( U_5 = a + 4d \)

Selisih:

\( U_{14} - U_5 = 9d \)

Substitusi \( d = \dfrac{2}{3} \):

\( 9d = 9 \cdot \dfrac{2}{3} = 6 \)

Diketahui:

\( U_{14} - U_5 = \log_3(c) \)

Maka:

\( \log_3(c) = 6 \Rightarrow c = 3^6 \)

Namun pilihan jawaban berbentuk \( 3^k \) dengan \( k \ge 12 \).

Karena \( 3^6 \) tidak tersedia, tidak ada pilihan yang sesuai.

Perhitungan menunjukkan \( c = 3^6 \).