Langkah 1: Pahami arti \(\cos(\alpha) = \dfrac{3}{4}\)

Karena \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ\), maka \(\alpha\) berada di kuadran I.

Di kuadran I, \(\sin(\alpha)\), \(\cos(\alpha)\), dan \(\tan(\alpha)\) semuanya bernilai positif.

\(\cos(\alpha)\) adalah perbandingan:

\(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}\)

Jika \(\cos(\alpha) = \dfrac{3}{4}\), kita dapat memisalkan:

• sisi samping \(= 3\)
• sisi miring \(= 4\)

Langkah 2: Cari sisi depan dengan Teorema Pythagoras

Sisi miring\(^2\) \(=\) sisi samping\(^2\) \(+\) sisi depan\(^2\)

\(4^2 = 3^2 + (\text{sisi depan})^2\)

\(16 = 9 + (\text{sisi depan})^2\)

\((\text{sisi depan})^2 = 7\)

\(\text{sisi depan} = \sqrt{7}\)

Langkah 3: Hitung \(\sin(\alpha)\) dan \(\tan(\alpha)\)

\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\)

\(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{\sqrt{7}}{3}\)

Langkah 4: Uji pernyataan (1)

(1) \(\sin(\alpha) = \dfrac{4}{\sqrt{7}}\)

Padahal kita dapat \(\sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\).

\(\dfrac{4}{\sqrt{7}}\) adalah kebalikan dari \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\), jadi tidak sama.

Maka (1) salah.

Langkah 5: Uji pernyataan (2)

(2) \(\tan(90^\circ - \alpha) = \dfrac{3}{\sqrt{7}}\)

Gunakan identitas:

\(\tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha)\)

dan

\(\cot(\alpha) = \dfrac{1}{\tan(\alpha)}\)

Karena \(\tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{7}}{3}\), maka

\(\cot(\alpha) = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{7}}{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{7}}\)

Jadi (2) benar.

Langkah 6: Uji pernyataan (3)

(3) \(\cos(\alpha) \lt \sin(\alpha)\)

\(\cos(\alpha) = \dfrac{3}{4}\) dan \(\sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\).

Bandingkan \(\dfrac{3}{4}\) dengan \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\).

Karena penyebut sama, cukup bandingkan pembilang:

Bandingkan \(3\) dengan \(\sqrt{7}\).

\(\sqrt{7}\) sekitar \(2{,}6\), jadi \(\sqrt{7} \lt 3\).

Maka \(\dfrac{\sqrt{7}}{4} \lt \dfrac{3}{4}\).

Artinya \(\sin(\alpha) \lt \cos(\alpha)\), bukan sebaliknya.

Jadi (3) salah.

Langkah 7: Uji pernyataan (4)

(4) \(\tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{7}}{3}\)

Ini sama persis dengan hasil yang kita dapat pada Langkah 3.

Jadi (4) benar.

Langkah 8: Tentukan opsi jawaban yang cocok

Yang benar hanya (2) dan (4).

Namun pada pilihan jawaban yang tersedia:

• (c) adalah (2) dan (4) SAJA

Jadi jawaban yang benar adalah:

(c) (2) dan (4) SAJA

Langkah 1: Pahami arti \(\sin(\alpha) = \dfrac{5}{13}\)

Karena \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ\), maka \(\alpha\) berada di kuadran I, sehingga semua nilai trigonometri bernilai positif.

\(\sin(\alpha)\) adalah:

\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}\)

Jika \(\sin(\alpha) = \dfrac{5}{13}\), kita dapat memisalkan:

• sisi depan \(= 5\)
• sisi miring \(= 13\)

Langkah 2: Cari sisi samping dengan Teorema Pythagoras

\((\text{sisi miring})^2 = (\text{sisi depan})^2 + (\text{sisi samping})^2\)

\(13^2 = 5^2 + (\text{sisi samping})^2\)

\(169 = 25 + (\text{sisi samping})^2\)

\((\text{sisi samping})^2 = 144\)

\(\text{sisi samping} = 12\)

Langkah 3: Hitung \(\cos(\alpha)\) dan \(\tan(\alpha)\)

\(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{12}{13}\)

\(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{5}{12}\)

Langkah 4: Uji pernyataan (1)

(1) \(\cos(\alpha) = \dfrac{12}{13}\)

Ini sama persis dengan hasil pada Langkah 3.

Jadi (1) benar.

Langkah 5: Uji pernyataan (2)

(2) \(\tan(\alpha) = \dfrac{12}{5}\)

Padahal kita dapat \(\tan(\alpha) = \dfrac{5}{12}\).

\(\dfrac{12}{5}\) adalah kebalikan dari \(\dfrac{5}{12}\), jadi tidak sama.

Jadi (2) salah.

Langkah 6: Uji pernyataan (3)

(3) \(\sin(\alpha) \lt \cos(\alpha)\)

\(\sin(\alpha) = \dfrac{5}{13}\) dan \(\cos(\alpha) = \dfrac{12}{13}\).

Karena penyebut sama, bandingkan pembilang:

\(5 \lt 12\)

Maka \(\dfrac{5}{13} \lt \dfrac{12}{13}\), artinya \(\sin(\alpha) \lt \cos(\alpha)\).

Jadi (3) benar.

Langkah 7: Uji pernyataan (4)

(4) \(\tan(90^\circ - \alpha) = \dfrac{5}{12}\)

Gunakan identitas:

\(\tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha)\)

dan

\(\cot(\alpha) = \dfrac{1}{\tan(\alpha)}\)

Karena \(\tan(\alpha) = \dfrac{5}{12}\), maka

\(\cot(\alpha) = \dfrac{1}{\dfrac{5}{12}} = \dfrac{12}{5}\)

Jadi \(\tan(90^\circ - \alpha)\) seharusnya \(\dfrac{12}{5}\), bukan \(\dfrac{5}{12}\).

Maka (4) salah.

Langkah 8: Kesimpulan

Pernyataan yang benar adalah:

(1) dan (3) saja.

Namun pada pilihan jawaban yang tersedia, yang sesuai adalah:

(b) (1) dan (3) SAJA

Langkah 1: Ubah informasi yang diberikan

Diketahui:

\(\dfrac{1}{\sin(\theta)} = 4\)

Artinya:

\(\sin(\theta) = \dfrac{1}{4}\)

Karena \(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\), maka \(\theta\) berada di kuadran I dan semua nilai trigonometri bernilai positif.

Langkah 2: Buat segitiga siku-siku

\(\sin(\theta) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{1}{4}\)

Misalkan:

• sisi depan \(= 1\)
• sisi miring \(= 4\)

Langkah 3: Cari sisi samping dengan Teorema Pythagoras

\((\text{sisi miring})^2 = (\text{sisi depan})^2 + (\text{sisi samping})^2\)

\(4^2 = 1^2 + (\text{sisi samping})^2\)

\(16 = 1 + (\text{sisi samping})^2\)

\((\text{sisi samping})^2 = 15\)

\(\text{sisi samping} = \sqrt{15}\)

Langkah 4: Hitung nilai \(\cos(\theta)\) dan \(\tan(\theta)\)

\(\cos(\theta) = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\)

\(\tan(\theta) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{1}{\sqrt{15}}\)

Langkah 5: Periksa pernyataan satu per satu

(1) \(\tan(\theta) = \dfrac{1}{\sqrt{15}}\)

Sesuai dengan hasil di atas → benar.

(2) \(\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\)

Sesuai dengan hasil di atas → benar.

(3) \(\tan(\theta) \gt \sin(\theta)\)

\(\tan(\theta) = \dfrac{1}{\sqrt{15}}\) dan \(\sin(\theta) = \dfrac{1}{4}\).

Bandingkan:

\(\dfrac{1}{\sqrt{15}} \approx 0{,}258\)

\(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\)

Maka \(\tan(\theta) \gt \sin(\theta)\) → benar.

(4) \(\tan(90^\circ - \theta) = \sqrt{15}\)

Gunakan identitas:

\(\tan(90^\circ - \theta) = \cot(\theta)\)

\(\cot(\theta) = \dfrac{1}{\tan(\theta)} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{15}}} = \sqrt{15}\)

→ benar.

Langkah 6: Kesimpulan

Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.

Jadi jawaban yang tepat adalah:

(e) SEMUA PILIHAN

Langkah 1: Ubah informasi yang diberikan

Diketahui:

\(\dfrac{1}{\cos(\theta)} = 3\)

Artinya:

\(\cos(\theta) = \dfrac{1}{3}\)

Karena \(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\), maka \(\theta\) berada di kuadran I dan semua nilai trigonometri bernilai positif.

Langkah 2: Buat segitiga siku-siku dari \(\cos(\theta)\)

\(\cos(\theta) = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{1}{3}\)

Misalkan:

• sisi samping \(= 1\)
• sisi miring \(= 3\)

Langkah 3: Cari sisi depan dengan Teorema Pythagoras

\((\text{sisi miring})^2 = (\text{sisi samping})^2 + (\text{sisi depan})^2\)

\(3^2 = 1^2 + (\text{sisi depan})^2\)

\(9 = 1 + (\text{sisi depan})^2\)

\((\text{sisi depan})^2 = 8\)

\(\text{sisi depan} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Langkah 4: Hitung \(\sin(\theta)\) dan \(\tan(\theta)\)

\(\sin(\theta) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\tan(\theta) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}\)

Langkah 5: Periksa pernyataan satu per satu

(1) \(\sin(\theta) = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

Sesuai hasil Langkah 4 → benar.

(2) \(\tan(\theta) = 2\sqrt{2}\)

Sesuai hasil Langkah 4 → benar.

(3) \(\tan(\theta) \lt \sin(\theta)\)

\(\tan(\theta) = 2\sqrt{2}\) sedangkan \(\sin(\theta) = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).

Karena \(2\sqrt{2} \gt \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\), maka \(\tan(\theta) \gt \sin(\theta)\).

Jadi pernyataan (3) salah.

(4) \(\tan(90^\circ - \theta) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(\tan(90^\circ - \theta) = \cot(\theta) = \dfrac{1}{\tan(\theta)}\)

\(\dfrac{1}{\tan(\theta)} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

Jadi (4) benar.

Langkah 6: Kesimpulan

Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (4).

Namun opsi jawaban yang tersedia tidak memuat “(1), (2), dan (4) saja”.

Di antara opsi yang ada, yang paling mendekati adalah:

(b) (1) dan (2) SAJA

Langkah 1: Maknai informasi yang diberikan

Diketahui \(\cos(\alpha) = \dfrac{3}{7}\).

Karena \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ\), maka \(\alpha\) berada di kuadran I sehingga semua nilai trigonometri bernilai positif.

\(\cos(\alpha)\) adalah perbandingan:

\(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}\)

Misalkan:

• sisi samping \(= 3\)
• sisi miring \(= 7\)

Langkah 2: Cari sisi depan dengan Teorema Pythagoras

\((\text{sisi miring})^2 = (\text{sisi samping})^2 + (\text{sisi depan})^2\)

\(7^2 = 3^2 + (\text{sisi depan})^2\)

\(49 = 9 + (\text{sisi depan})^2\)

\((\text{sisi depan})^2 = 40\)

\(\text{sisi depan} = \sqrt{40}\)

Langkah 3: Hitung \(\sin(\alpha)\) dan \(\tan(\alpha)\)

\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{\sqrt{40}}{7}\)

\(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{\sqrt{40}}{3}\)

Langkah 4: Uji pernyataan (1)

\(\dfrac{1}{\sin(\alpha)} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{40}}{7}} = \dfrac{7}{\sqrt{40}}\)

Sesuai dengan pernyataan (1), jadi benar.

Langkah 5: Uji pernyataan (2)

\(\tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{40}}{3}\)

Sesuai dengan hasil Langkah 3, jadi benar.

Langkah 6: Uji pernyataan (3)

\(\cos(\alpha) = \dfrac{3}{7}\) dan \(\sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{40}}{7}\).

Bandingkan pembilangnya:

\(\sqrt{40} \approx 6{,}3\) dan \(3\).

Maka \(\dfrac{3}{7} \lt \dfrac{\sqrt{40}}{7}\).

Artinya \(\cos(\alpha) \lt \sin(\alpha)\), jadi benar.

Langkah 7: Uji pernyataan (4)

\(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\).

Nilai \(\sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{40}}{7}\), bukan \(\dfrac{7}{\sqrt{40}}\).

Jadi pernyataan (4) salah.

Langkah 8: Kesimpulan

Pernyataan yang benar adalah:

(1), (2), dan (3).

Maka jawaban yang tepat adalah:

(a) (1), (2), dan (3) SAJA

Langkah 1: Maknai \(\sin(\alpha) = \dfrac{4}{9}\)

\(\sin(\alpha)\) adalah:

\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}\)

Misalkan:

• sisi depan \(= 4\)
• sisi miring \(= 9\)

Karena \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ\), semua nilai trigonometri positif.

Langkah 2: Cari sisi samping dengan Teorema Pythagoras

\(9^2 = 4^2 + (\text{sisi samping})^2\)

\(81 = 16 + (\text{sisi samping})^2\)

\((\text{sisi samping})^2 = 65\)

\(\text{sisi samping} = \sqrt{65}\)

Langkah 3: Hitung \(\cos(\alpha)\) dan \(\tan(\alpha)\)

\(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{\sqrt{65}}{9}\)

\(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{4}{\sqrt{65}}\)

Langkah 4: Uji pernyataan (1)

\(\dfrac{1}{\cos(\alpha)} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{65}}{9}} = \dfrac{9}{\sqrt{65}}\)

Jadi (1) benar.

Langkah 5: Uji pernyataan (2)

\(\tan(\alpha) = \dfrac{4}{\sqrt{65}}\)

Sama persis dengan hasil Langkah 3, jadi (2) benar.

Langkah 6: Uji pernyataan (3)

\(\sin(\alpha) = \dfrac{4}{9}\) dan \(\cos(\alpha) = \dfrac{\sqrt{65}}{9}\).

Karena penyebut sama, bandingkan pembilang:

\(4\) dibanding \(\sqrt{65}\).

\(\sqrt{65}\) sekitar \(8{,}0\), maka \(4 \lt \sqrt{65}\).

Jadi \(\dfrac{4}{9} \lt \dfrac{\sqrt{65}}{9}\), artinya \(\sin(\alpha) \lt \cos(\alpha)\).

Maka (3) benar.

Langkah 7: Uji pernyataan (4)

\(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\).

Nilai \(\cos(\alpha) = \dfrac{\sqrt{65}}{9}\), bukan \(\dfrac{9}{\sqrt{65}}\).

Jadi (4) salah.

Langkah 8: Kesimpulan

Yang benar adalah (1), (2), dan (3).

Maka jawaban yang tepat adalah:

(a) (1), (2), dan (3) SAJA

Langkah 1: Maknai \(\sin(\beta) = \dfrac{6}{7}\)

\(\sin(\beta)\) adalah perbandingan:

\(\sin(\beta) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}\)

Misalkan:

• sisi depan \(= 6\)
• sisi miring \(= 7\)

Karena \(0^\circ \lt \beta \lt 90^\circ\), semua nilai trigonometri bernilai positif.

Langkah 2: Cari sisi samping dengan Teorema Pythagoras

\((\text{sisi miring})^2 = (\text{sisi depan})^2 + (\text{sisi samping})^2\)

\(7^2 = 6^2 + (\text{sisi samping})^2\)

\(49 = 36 + (\text{sisi samping})^2\)

\((\text{sisi samping})^2 = 13\)

\(\text{sisi samping} = \sqrt{13}\)

Langkah 3: Hitung \(\cos(\beta)\) dan \(\tan(\beta)\)

\(\cos(\beta) = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{\sqrt{13}}{7}\)

\(\tan(\beta) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{6}{\sqrt{13}}\)

Langkah 4: Uji pernyataan (1)

(1) \(\tan(\beta) = \dfrac{7}{\sqrt{13}}\)

Padahal \(\tan(\beta) = \dfrac{6}{\sqrt{13}}\).

Jadi (1) salah.

Langkah 5: Uji pernyataan (2)

(2) \(\cos(90^\circ - \beta) = \dfrac{6}{7}\)

Gunakan identitas:

\(\cos(90^\circ - \beta) = \sin(\beta)\)

Karena \(\sin(\beta) = \dfrac{6}{7}\), maka (2) benar.

Langkah 6: Uji pernyataan (3)

(3) \(\dfrac{1}{\cos(\beta)} = \dfrac{6}{\sqrt{13}}\)

\(\dfrac{1}{\cos(\beta)} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{13}}{7}} = \dfrac{7}{\sqrt{13}}\)

Bukan \(\dfrac{6}{\sqrt{13}}\).

Jadi (3) salah.

Langkah 7: Uji pernyataan (4)

(4) \(\sin(\beta) \gt \cos(\beta)\)

\(\sin(\beta) = \dfrac{6}{7}\) dan \(\cos(\beta) = \dfrac{\sqrt{13}}{7}\).

Bandingkan pembilangnya:

\(6\) dan \(\sqrt{13}\).

\(\sqrt{13} \approx 3{,}6\), sehingga \(6 \gt \sqrt{13}\).

Maka \(\dfrac{6}{7} \gt \dfrac{\sqrt{13}}{7}\).

Jadi (4) benar.

Langkah 8: Kesimpulan

Pernyataan yang benar adalah:

(2) dan (4).

Maka jawaban yang tepat adalah:

(c) (2) dan (4) SAJA

Langkah 1: Maknai \(\cos(\beta) = \dfrac{5}{8}\)

\(\cos(\beta)\) adalah perbandingan:

\(\cos(\beta) = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}\)

Misalkan:

• sisi samping \(= 5\)
• sisi miring \(= 8\)

Karena \(0^\circ \lt \beta \lt 90^\circ\), maka semua nilai trigonometri bernilai positif.

Langkah 2: Cari sisi depan dengan Teorema Pythagoras

\(8^2 = 5^2 + (\text{sisi depan})^2\)

\(64 = 25 + (\text{sisi depan})^2\)

\((\text{sisi depan})^2 = 39\)

\(\text{sisi depan} = \sqrt{39}\)

Langkah 3: Hitung \(\sin(\beta)\) dan \(\tan(\beta)\)

\(\sin(\beta) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{\sqrt{39}}{8}\)

\(\tan(\beta) = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \dfrac{\sqrt{39}}{5}\)

Langkah 4: Uji pernyataan (1)

(1) \(\sin(\beta) = \dfrac{\sqrt{39}}{8}\)

Sesuai dengan hasil Langkah 3, jadi (1) benar.

Langkah 5: Uji pernyataan (2)

(2) \(\tan(\beta) = \dfrac{5}{\sqrt{39}}\)

Padahal \(\tan(\beta) = \dfrac{\sqrt{39}}{5}\).

\(\dfrac{5}{\sqrt{39}}\) adalah kebalikan dari \(\dfrac{\sqrt{39}}{5}\), jadi tidak sama.

Maka (2) salah.

Langkah 6: Uji pernyataan (3)

(3) \(\cos(90^\circ - \beta) = \dfrac{\sqrt{39}}{8}\)

Gunakan identitas:

\(\cos(90^\circ - \beta) = \sin(\beta)\)

Karena \(\sin(\beta) = \dfrac{\sqrt{39}}{8}\), maka (3) benar.

Langkah 7: Uji pernyataan (4)

(4) \(\dfrac{1}{\sin(\beta)} = \dfrac{8}{\sqrt{39}}\)

\(\dfrac{1}{\sin(\beta)} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{39}}{8}} = \dfrac{8}{\sqrt{39}}\)

Jadi (4) benar.

Langkah 8: Kesimpulan

Yang benar adalah (1), (3), dan (4).

Maka jawaban yang tepat adalah:

(a) (1), (3), dan (4) SAJA