Soal 26
Nilai \( \lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-x-2}{x^2-2x} \) adalah ....
A. \( 5 \)
B. \( 3 \)
C. \( 2\frac{1}{2} \)
D. \( 1\frac{1}{2} \)
E. \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Faktorkan pembilang dan penyebut.
\( x^2-x-2=(x-2)(x+1) \) dan \( x^2-2x=x(x-2) \).
Langkah 2: Sederhanakan (untuk \( x\ne 2 \)).
\( \frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)}=\frac{x+1}{x} \).
Langkah 3: Hitung limit dengan substitusi.
\( \lim\limits_{x\to 2}\frac{x+1}{x}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} \).
Kesimpulan: nilai limit \( =1\frac{1}{2} \) sehingga jawaban yang benar opsi D.
Soal 27
Nilai \( \lim\limits_{x\to \infty}\left(\sqrt{4x^2+7x+1}-\sqrt{4x^2-4x+1}\right) \) adalah ....
A. \( \frac{3}{4} \)
B. \( \frac{7}{4} \)
C. \( \frac{7}{2} \)
D. \( \frac{11}{4} \)
E. \( \frac{11}{2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Bentuk \( \infty-\infty \), kalikan sekawan.
\( \sqrt{4x^2+7x+1}-\sqrt{4x^2-4x+1}=\frac{(4x^2+7x+1)-(4x^2-4x+1)}{\sqrt{4x^2+7x+1}+\sqrt{4x^2-4x+1}} \).
Langkah 2: Sederhanakan pembilang.
\( (4x^2+7x+1)-(4x^2-4x+1)=11x \).
Langkah 3: Bentuk limit menjadi:
\( \lim\limits_{x\to \infty}\frac{11x}{\sqrt{4x^2+7x+1}+\sqrt{4x^2-4x+1}} \).
Langkah 4: Faktorkan \( x \) dari akar (untuk \( x \gt 0 \)).
\( \sqrt{4x^2+7x+1}=x\sqrt{4+\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}} \), dan \( \sqrt{4x^2-4x+1}=x\sqrt{4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} \).
Langkah 5: Sederhanakan.
Penyebut \( =x\left(\sqrt{4+\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}\right) \), maka \( \frac{11x}{\text{penyebut}}=\frac{11}{\sqrt{4+\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}} \).
Langkah 6: Ambil limit \( x\to \infty \).
\( \sqrt{4+\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}}\to \sqrt{4}=2 \) dan \( \sqrt{4-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}\to \sqrt{4}=2 \).
Jadi limit \( =\frac{11}{2+2}=\frac{11}{4} \).
Kesimpulan: nilai limit \( =\frac{11}{4} \), sesuai opsi D.
Soal 28
Turunan pertama dari \( f(x)=x^3-2x+4 \) adalah ....
A. \( f'(x)=3x-2 \)
B. \( f'(x)=-2x+4 \)
C. \( f'(x)=3x^2-2 \)
D. \( f'(x)=3x^2+4 \)
E. \( f'(x)=3x^2+2 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah: Turunkan tiap suku.
\( \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2 \), \( \frac{d}{dx}(-2x)=-2 \), dan \( \frac{d}{dx}(4)=0 \).
Maka \( f'(x)=3x^2-2 \).
Kesimpulan: jawaban yang benar opsi C.
Soal 29
Persamaan garis singgung kurva \( y=2x^3-8 \) pada titik \( (2,8) \) adalah ....
A. \( 24x-y+40=0 \)
B. \( 24x-y-40=0 \)
C. \( 24x-y+56=0 \)
D. \( 24x-y-56=0 \)
E. \( 24x+y+56=0 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Gradien garis singgung adalah turunan \( y' \).
Jika \( y=2x^3-8 \), maka \( y'=6x^2 \).
Langkah 2: Hitung gradien di \( x=2 \).
\( m=y'(2)=6(2)^2=24 \).
Langkah 3: Gunakan rumus titik-gradien melalui \( (2,8) \).
\( y-8=24(x-2) \Rightarrow y-8=24x-48 \Rightarrow y=24x-40 \).
Langkah 4: Ubah ke bentuk umum.
\( 24x-y-40=0 \).
Kesimpulan: persamaan yang benar adalah \( 24x-y-40=0 \), sesuai opsi B.
Soal 30
Nilai maksimum dari \( f(x)=-8x^2+4x-5 \) adalah ....
A. \( -6\frac{1}{2} \)
B. \( -4\frac{1}{2} \)
C. \( -3\frac{1}{2} \)
D. \( -\frac{1}{4} \)
E. \( \frac{1}{4} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Karena \( a=-8 \lt 0 \), parabola membuka ke bawah, sehingga nilai maksimum terjadi di puncak.
Langkah 2: Absis puncak \( x_p=-\frac{b}{2a} \) untuk \( ax^2+bx+c \).
Di sini \( a=-8 \), \( b=4 \), maka \( x_p=-\frac{4}{2(-8)}=\frac{1}{4} \).
Langkah 3: Hitung nilai fungsi di \( x=\frac{1}{4} \).
\( f\left(\frac{1}{4}\right)=-8\left(\frac{1}{4}\right)^2+4\left(\frac{1}{4}\right)-5 =-8\left(\frac{1}{16}\right)+1-5 =-\frac{1}{2}-4 =-\frac{9}{2}=-4\frac{1}{2} \).
Kesimpulan: nilai maksimum adalah \( -4\frac{1}{2} \), sesuai opsi B.