Soal 16
Penyelesaian dari sistem persamaan linear \( \begin{cases} x+2y=4 \\ x-y=1 \end{cases} \) adalah \( x_1 \) dan \( y_1 \). Nilai \( x_1+y_1 \) = ....
A. \( 3 \)
B. \( 1 \)
C. \( -1 \)
D. \( -3 \)
E. \( -5 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Eliminasi \( x \) dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama.
\( (x+2y)-(x-y)=4-1 \Rightarrow 3y=3 \Rightarrow y=1 \).
Langkah 2: Substitusi \( y=1 \) ke \( x-y=1 \).
\( x-1=1 \Rightarrow x=2 \).
Langkah 3: Hitung \( x_1+y_1 \).
\( x_1+y_1=2+1=3 \).
Soal 17
Pak Gimin memiliki modal sebesar Rp. \( 60.000,00 \). Jika ia membeli \( 70 \) barang jenis I dan \( 50 \) barang jenis II uangnya sisa Rp. \( 2.500,00 \). Sedangkan jika ia membeli \( 70 \) barang jenis I dan \( 60 \) barang jenis II uangnya kurang Rp. \( 2.000,00 \). Model matematika yang dapat disusun adalah ....
A. \( 7x+5y=5.750 \) dan \( 7x+6y=6.200 \)
B. \( 7x+5y=6.200 \) dan \( 7x+6y=5.750 \)
C. \( 7x+5y=6.000 \) dan \( 7x+6y=5.750 \)
D. \( 7x+5y=6.250 \) dan \( 7x+6y=5.800 \)
E. \( 7x+5y=5.800 \) dan \( 7x+6y=6.250 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1 (definisi variabel): Misalkan harga barang jenis I \( =x \) dan harga barang jenis II \( =y \) (dalam rupiah).
Langkah 2 (kasus 1): Sisa Rp. \( 2.500,00 \) artinya uang yang dipakai \( 60.000-2.500=57.500 \).
Maka \( 70x+50y=57.500 \).
Langkah 3 (kasus 2): Kurang Rp. \( 2.000,00 \) artinya total belanja \( 60.000+2.000=62.000 \).
Maka \( 70x+60y=62.000 \).
Langkah 4 (samakan bentuk opsi): Bagi kedua persamaan dengan \( 10 \).
\( 7x+5y=5.750 \) dan \( 7x+6y=6.200 \).
Catatan: Karena pembelian bertambah (dari \( 50 \) ke \( 60 \) barang jenis II), total biaya harus naik, sehingga \( 6.200 \gt 5.750 \) konsisten.
Soal 18
Sita membeli \( 4 \) kue coklat dan \( 3 \) kue donat dengan harga Rp. \( 10.900,00 \). Wati membeli \( 3 \) kue coklat dan \( 2 \) kue donat dengan harga Rp. \( 8.000,00 \). Jika Surti membeli \( 5 \) kue donat dan \( 2 \) kue coklat, maka Surti harus membayar ....
A. Rp. \( 11.500,00 \)
B. Rp. \( 11.800,00 \)
C. Rp. \( 12.100,00 \)
D. Rp. \( 12.400,00 \)
E. Rp. \( 12.700,00 \)
Jawaban & Analisis
Hasil hitung: Rp. \( 7.900,00 \)
Langkah 1 (variabel): Misalkan harga kue coklat \( =c \) dan harga kue donat \( =d \) (rupiah).
Langkah 2 (buat persamaan):
\( 4c+3d=10.900 \) dan \( 3c+2d=8.000 \).
Langkah 3 (eliminasi): Samakan koefisien \( d \).
Kali persamaan kedua dengan \( 3 \): \( 9c+6d=24.000 \).
Kali persamaan pertama dengan \( 2 \): \( 8c+6d=21.800 \).
Kurangkan: \( (9c+6d)-(8c+6d)=24.000-21.800 \Rightarrow c=2.200 \).
Langkah 4: Substitusi \( c=2.200 \) ke \( 3c+2d=8.000 \).
\( 3(2.200)+2d=8.000 \Rightarrow 6.600+2d=8.000 \Rightarrow 2d=1.400 \Rightarrow d=700 \).
Langkah 5: Biaya Surti \( =5d+2c \).
\( 5(700)+2(2.200)=3.500+4.400=7.900 \).
Catatan penting: Nilai Rp. \( 7.900,00 \) tidak muncul pada opsi A–E. Jadi ada ketidaksesuaian antara data dan pilihan jawaban pada soal sumber. (Jika yang dimaksud “\( 5 \) kue coklat dan \( 2 \) kue donat”, hasilnya Rp. \( 12.400,00 \), yaitu opsi D.)
Soal 19
Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar adalah ....
A. \( x+2y \ge 4 \), \( 3x+2y \le 6 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
B. \( x-2y \le 4 \), \( 3x+2y \le 6 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
C. \( x+2y \le 4 \), \( 3x-2y \le 6 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
D. \( x+2y \ge 4 \), \( 3x+2y \ge 6 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
E. \( x+2y \le 4 \), \( 3x+2y \le 6 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1 (batas kuadran): Daerah arsir berada di kuadran I, sehingga \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \). Ini memastikan \( 0 \le x \) dan \( 0 \le y \) (artinya tidak ada bagian dengan \( x \lt 0 \) atau \( y \lt 0 \)).
Langkah 2 (garis pembatas): Dari gambar tampak dua garis menurun yang memotong sumbu di sekitar \( (4,0) \) dan \( (0,2) \) serta \( (2,0) \) dan \( (0,3) \). Ini cocok dengan garis \( x+2y=4 \) dan \( 3x+2y=6 \).
Langkah 3 (arah pertidaksamaan): Daerah arsir berada di bawah kedua garis tersebut (mendekati titik asal), sehingga bentuknya \( x+2y \le 4 \) dan \( 3x+2y \le 6 \).
Langkah 4 (cek titik uji): Ambil titik \( (0,0) \) yang tampak termasuk daerah arsir.
Untuk \( (0,0) \): \( x+2y=0 \le 4 \) dan \( 3x+2y=0 \le 6 \), benar.
Kesimpulan: Sistem yang sesuai adalah opsi E.
Soal 20
Sebuah pesawat terbang memiliki tempat duduk tidak lebih dari \( 60 \) buah. Bagasi penumpang dibatasi: kelas utama \( 30 \) kg dan kelas ekonomi \( 20 \) kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi \( 1.500 \) kg. Jika tiket kelas utama Rp. \( 600.000,00 \) dan kelas ekonomi Rp. \( 450.000,00 \), maka penerimaan maksimum dari penjualan tiket adalah ....
A. Rp. \( 13.500.000,00 \)
B. Rp. \( 18.000.000,00 \)
C. Rp. \( 21.500.000,00 \)
D. Rp. \( 31.500.000,00 \)
E. Rp. \( 41.500.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (variabel): Misalkan \( x \) = jumlah penumpang kelas utama dan \( y \) = jumlah penumpang kelas ekonomi.
Langkah 2 (kendala):
Kapasitas kursi: \( x+y \le 60 \).
Kapasitas bagasi: \( 30x+20y \le 1500 \).
Nonnegatif: \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \) (sehingga \( x \gt -1 \) dan \( y \gt -1 \) otomatis terpenuhi).
Langkah 3 (fungsi objektif): Maksimumkan \( Z=600000x+450000y \).
Langkah 4 (titik pojok): Cari perpotongan batas utama.
Dari \( x+y=60 \Rightarrow y=60-x \).
Substitusi ke \( 30x+20y=1500 \): \( 30x+20(60-x)=1500 \Rightarrow 30x+1200-20x=1500 \Rightarrow x=30 \), maka \( y=30 \).
Langkah 5 (cek nilai \( Z \) di titik-titik penting):
Titik \( (0,60) \): \( Z=450000(60)=27000000 \).
Titik \( (50,0) \) (dari \( 30x \le 1500 \Rightarrow x \le 50 \) dan \( 50 \le 60 \)): \( Z=600000(50)=30000000 \).
Titik \( (30,30) \): \( Z=600000(30)+450000(30)=18000000+13500000=31500000 \).
Kesimpulan: Penerimaan maksimum \( Z \) adalah Rp. \( 31.500.000,00 \) (opsi D).