Soal 11
Diketahui \( f(x)=\frac{4x+7}{3x-5} \) dengan \( x\ne \frac{5}{3} \). Invers dari \( f \) adalah \( f^{-1}(x)= \) ....
A. \( \frac{-5x+7}{3x-4} \), \( x\ne \frac{4}{3} \)
B. \( \frac{5x+7}{3x-4} \), \( x\ne \frac{4}{3} \)
C. \( \frac{-5x+7}{3x+4} \), \( x\ne -\frac{4}{3} \)
D. \( \frac{5x-7}{4x-3} \), \( x\ne \frac{3}{4} \)
E. \( \frac{7x+5}{4x+3} \), \( x\ne -\frac{3}{4} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Misalkan \( y=\frac{4x+7}{3x-5} \).
Langkah 2: Kalikan silang.
\( y(3x-5)=4x+7 \).
Langkah 3: Kumpulkan suku yang memuat \( x \).
\( 3yx-5y=4x+7 \Rightarrow 3yx-4x=5y+7 \).
\( x(3y-4)=5y+7 \).
Langkah 4: Selesaikan \( x \) dalam fungsi \( y \).
\( x=\frac{5y+7}{3y-4} \).
Langkah 5: Tukar \( y \) menjadi \( x \).
\( f^{-1}(x)=\frac{5x+7}{3x-4} \).
Domain invers: penyebut tidak boleh nol, jadi \( 3x-4\ne 0 \Rightarrow x\ne \frac{4}{3} \). Ini setara dengan \( x \lt \frac{4}{3} \) atau \( x \gt \frac{4}{3} \) (selain titik itu).
Soal 12
Akar-akar persamaan kuadrat \( 2x^2+x-3=0 \) adalah ....
A. \( \frac{3}{2} \) dan \( -1 \)
B. \( -\frac{3}{2} \) dan \( -1 \)
C. \( -\frac{3}{2} \) dan \( 1 \)
D. \( \frac{2}{3} \) dan \( 1 \)
E. \( -\frac{2}{3} \) dan \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Faktorkan persamaan.
\( 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) \).
Langkah 2: Terapkan sifat hasil kali nol.
\( (2x+3)(x-1)=0 \Rightarrow 2x+3=0 \) atau \( x-1=0 \).
Langkah 3: Dapatkan akar-akar.
\( x=-\frac{3}{2} \) dan \( x=1 \).
Soal 13
Akar-akar persamaan kuadrat \( 3x^2-2x+1=0 \) adalah \( \alpha \) dan \( \beta \). Persamaan kuadrat yang akar-akarnya \( 3\alpha \) dan \( 3\beta \) adalah ....
A. \( x^2-2x+3=0 \)
B. \( x^2-3x+2=0 \)
C. \( x^2+2x-3=0 \)
D. \( x^2+2x+3=0 \)
E. \( x^2-3x-2=0 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Ide: Jika \( \alpha \) dan \( \beta \) adalah akar persamaan \( 3t^2-2t+1=0 \), maka akar yang baru adalah \( x=3t \).
Langkah 1: Substitusi \( t=\frac{x}{3} \) ke persamaan asal.
\( 3\left(\frac{x}{3}\right)^2-2\left(\frac{x}{3}\right)+1=0 \).
Langkah 2: Sederhanakan.
\( 3\cdot\frac{x^2}{9}-\frac{2x}{3}+1=0 \Rightarrow \frac{x^2}{3}-\frac{2x}{3}+1=0 \).
Langkah 3: Kalikan \( 3 \) agar koefisien bulat.
\( x^2-2x+3=0 \).
Catatan: Persamaan ini memang memiliki akar \( 3\alpha \) dan \( 3\beta \) karena transformasi skala \( x=3t \) bersifat satu-satu.
Soal 14
Jika \( x_1 \) dan \( x_2 \) adalah akar-akar persamaan kuadrat \( 2x^2-3x-7=0 \), maka nilai \( (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \) = ....
A. \( -\frac{7}{4} \)
B. \( -\frac{19}{4} \)
C. \( \frac{27}{4} \)
D. \( \frac{37}{4} \)
E. \( \frac{37}{4} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Gunakan rumus Vieta untuk \( ax^2+bx+c=0 \).
\( x_1+x_2=-\frac{b}{a} \) dan \( x_1x_2=\frac{c}{a} \).
Langkah 2: Untuk \( 2x^2-3x-7=0 \), diperoleh:
\( x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2} \).
\( x_1x_2=\frac{-7}{2} \).
Langkah 3: Hitung ekspresi yang diminta.
\( (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\left(-\frac{7}{2}\right) \).
\( =\frac{9}{4}+7=\frac{9}{4}+\frac{28}{4}=\frac{37}{4} \).
Kesimpulan: nilainya \( \frac{37}{4} \).
Soal 15
Nilai \( x \) yang memenuhi \( x^2-4x-12 \le 0 \) adalah ....
A. \( x\le -2 \) atau \( x\ge 6 \)
B. \( x\le -6 \) atau \( x\ge 2 \)
C. \( -2\le x\le 6 \)
D. \( 2\le x\le 6 \)
E. \( -6\le x\le 2 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Faktorkan bentuk kuadrat.
\( x^2-4x-12=(x-6)(x+2) \).
Langkah 2: Selesaikan pertidaksamaan.
\( (x-6)(x+2)\le 0 \) bernilai \( \le 0 \) saat \( x \) berada di antara akar-akarnya.
Langkah 3: Tentukan intervalnya.
Akar-akar: \( x=-2 \) dan \( x=6 \). Maka solusi: \( -2\le x\le 6 \).
Pengecekan tanda: Untuk \( -2 \lt x \lt 6 \), salah satu faktor negatif dan yang lain positif, sehingga hasil kali \( \lt 0 \). Di titik \( x=-2 \) atau \( x=6 \), hasil kali \( =0 \), sehingga tetap memenuhi \( \le 0 \).