Jawaban: A

Untuk \( x \to \infty \), berlaku \( x \gt 0 \). Maka:

\( \sqrt{x^2-2x+3}=\sqrt{x^2\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}=x\sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}} \).

Gunakan bentuk yang lebih aman dengan merasionalkan:

\( \sqrt{x^2-2x+3}-(x+4)=\dfrac{(x^2-2x+3)-(x+4)^2}{\sqrt{x^2-2x+3}+(x+4)} \).

Hitung pembilang:

\( (x^2-2x+3)-(x^2+8x+16)=x^2-2x+3-x^2-8x-16=-10x-13 \).

Jadi:

\( \sqrt{x^2-2x+3}-(x+4)=\dfrac{-10x-13}{\sqrt{x^2-2x+3}+x+4} \).

Bagi pembilang dan penyebut dengan \( x \):

\( \dfrac{-10-\dfrac{13}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+1+\dfrac{4}{x}} \).

Ambil limit \( x \to \infty \):

\( \dfrac{-10-0}{1+1+0}=\dfrac{-10}{2}=-5 \).

Analisis opsi:

A benar karena hasil limit \( =-5 \).

B, C, D, E salah karena tidak sesuai hasil perhitungan limit.

Jawaban: E

Gunakan aturan rantai. Misal \( u=3x^2+5x-4 \), maka \( y=u^5 \).

\( y'=5u^4 \cdot u' \).

Turunan \( u \): \( u'=6x+5 \).

Maka:

\( y'=5(3x^2+5x-4)^4(6x+5)=(30x+25)(3x^2+5x-4)^4 \).

Analisis opsi:

A salah karena tidak dikali \( (6x+5) \).

B salah karena hanya mengambil \( 6x \) dan mengabaikan \( +5 \) serta faktor \( 5 \) tidak lengkap.

C salah karena koefisien \( 5 \) hilang.

D salah karena seharusnya \( 30x+25 \), bukan \( 30x+5 \).

E benar karena sesuai hasil aturan rantai.

Jawaban: D

Misalkan fungsi biaya total \( C(x)=x^3-450x^2+37500x \). Minimum terjadi saat \( C'(x)=0 \) dan \( C''(x) \gt 0 \).

Turunan pertama:

\( C'(x)=3x^2-900x+37500 \).

Set \( C'(x)=0 \):

\( 3x^2-900x+37500=0 \Rightarrow x^2-300x+12500=0 \).

Faktorkan/selesaikan:

\( x=\dfrac{300\pm \sqrt{300^2-4(12500)}}{2}=\dfrac{300\pm \sqrt{90000-50000}}{2}=\dfrac{300\pm 200}{2} \).

Diperoleh \( x=50 \) atau \( x=250 \).

Turunan kedua:

\( C''(x)=6x-900 \).

Uji:

Untuk \( x=50 \), \( C''(50)=300-900=-600 \lt 0 \) (maksimum lokal).

Untuk \( x=250 \), \( C''(250)=1500-900=600 \gt 0 \) (minimum lokal).

Jadi biaya minimum saat memproduksi \( 250 \) unit per hari.

Analisis opsi:

A salah karena \( 50 \) memberi \( C''(50)\lt 0 \) (bukan minimum).

B dan C salah karena bukan titik stasioner \( C'(x)=0 \).

D benar karena \( x=250 \) menghasilkan minimum.

E salah karena bukan titik stasioner.

Jawaban: D

Hitung integral tak tentu:

\( \int(3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x \).

Substitusi batas:

Nilai di \( x=2 \): \( 2^3-2(2^2)+5(2)=8-8+10=10 \).

Nilai di \( x=-2 \): \( (-2)^3-2(-2)^2+5(-2)=-8-8-10=-26 \).

Maka:

\( \int_{-2}^{2}(3x^2-4x+5)\,dx=10-(-26)=36 \).

Analisis opsi:

A, B, C, E salah karena tidak sama dengan hasil \( 36 \).

D benar karena \( 36 \).

Jawaban: D

Luas daerah terhadap sumbu \( X \) dihitung dengan \( \int y\,dx \) pada interval yang membuat \( y \ge 0 \).

Cari titik potong dengan sumbu \( X \):

\( -x^2+3x+10=0 \Rightarrow x^2-3x-10=0 \Rightarrow (x-5)(x+2)=0 \).

Akar: \( x=5 \) dan \( x=-2 \). Pada interval \( -1 \le x \le 5 \), kurva berada di atas sumbu \( X \) (karena berada di antara \( -2 \) dan \( 5 \)).

Maka luas:

\( L=\int_{-1}^{5}(-x^2+3x+10)\,dx \).

Integralnya:

\( \int(-x^2+3x+10)\,dx=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+10x \).

Nilai di \( x=5 \):

\( -\dfrac{125}{3}+\dfrac{3(25)}{2}+50=-\dfrac{125}{3}+\dfrac{75}{2}+50=\dfrac{275}{6} \).

Nilai di \( x=-1 \):

\( -\dfrac{(-1)^3}{3}+\dfrac{3(-1)^2}{2}+10(-1)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-10=-\dfrac{49}{6} \).

Selisihnya:

\( L=\dfrac{275}{6}-\left(-\dfrac{49}{6}\right)=\dfrac{324}{6}=54 \).

Analisis opsi:

A, B, C, E salah karena bukan hasil integral luas pada interval \( -1 \le x \le 5 \).

D benar karena luas \( =54 \) satuan luas.