Soal 26
Nilai dari \( \lim\limits_{x\to -3}\left(\frac{x^2-2x-15}{x+3}\right) \) = ....
A. \( -8 \)
B. \( -2 \)
C. \( 0 \)
D. \( 2 \)
E. \( 8 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Cek substitusi langsung.
Jika \( x=-3 \), pembilang \( (-3)^2-2(-3)-15=9+6-15=0 \) dan penyebut \( -3+3=0 \), sehingga bentuknya \( \frac{0}{0} \) dan perlu disederhanakan.
Langkah 2: Faktorkan pembilang.
\( x^2-2x-15=(x-5)(x+3) \).
Langkah 3: Sederhanakan pecahan (untuk \( x\ne -3 \)).
\( \frac{(x-5)(x+3)}{x+3}=x-5 \).
Langkah 4: Hitung limitnya.
\( \lim\limits_{x\to -3}(x-5)=-3-5=-8 \).
Soal 27
Nilai \( \lim\limits_{x\to \infty}\left(\sqrt{x(x+2)}-\sqrt{x^2-2}\right) \) = ....
A. \( \infty \)
B. \( 2 \)
C. \( 1 \)
D. \( 0 \)
E. \( -1 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Ide: Bentuk \( \infty-\infty \) diselesaikan dengan mengalikan sekawan.
Langkah 1: Kalikan dengan sekawan.
\( \sqrt{x(x+2)}-\sqrt{x^2-2}=\frac{\bigl(\sqrt{x(x+2)}-\sqrt{x^2-2}\bigr)\bigl(\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{x^2-2}\bigr)}{\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{x^2-2}} \).
Langkah 2: Gunakan \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \).
Pembilang \( =x(x+2)-(x^2-2)=x^2+2x-x^2+2=2x+2=2(x+1) \).
Langkah 3: Bentuk limitnya menjadi:
\( \lim\limits_{x\to \infty}\frac{2(x+1)}{\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{x^2-2}} \).
Langkah 4: Faktorkan \( x \) dari tiap akar.
\( \sqrt{x(x+2)}=\sqrt{x^2+2x}=x\sqrt{1+\frac{2}{x}} \) dan \( \sqrt{x^2-2}=x\sqrt{1-\frac{2}{x^2}} \) untuk \( x \gt 0 \).
Maka penyebut \( =x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x^2}}\right) \).
Langkah 5: Sederhanakan:
\( \frac{2(x+1)}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x^2}}\right)}=\frac{2\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x^2}}} \).
Langkah 6: Ambil limit \( x\to \infty \):
\( 1+\frac{1}{x}\to 1 \), \( \sqrt{1+\frac{2}{x}}\to 1 \), \( \sqrt{1-\frac{2}{x^2}}\to 1 \).
Jadi limit \( =\frac{2\cdot 1}{1+1}=1 \).
Soal 28
Turunan pertama dari fungsi \( f(x)=2x^3+3x^2-x+2 \) adalah \( f'(x) \). Nilai \( f'(1) \) = ....
A. \( 4 \)
B. \( 6 \)
C. \( 8 \)
D. \( 11 \)
E. \( 13 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Turunkan tiap suku.
\( f'(x)=6x^2+6x-1 \).
Langkah 2: Substitusi \( x=1 \).
\( f'(1)=6(1)^2+6(1)-1=6+6-1=11 \).
Soal 29
Persamaan garis singgung pada kurva \( y=x^3+4x^2+5x+8 \) di titik \( (-3,2) \) adalah ....
A. \( y=-8x-26 \)
B. \( y=-8x+26 \)
C. \( y=8x+22 \)
D. \( y=8x+26 \)
E. \( y=8x-26 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Gradien garis singgung adalah \( y' \) di \( x=-3 \).
\( y=x^3+4x^2+5x+8 \Rightarrow y'=3x^2+8x+5 \).
Langkah 2: Hitung gradien di \( x=-3 \).
\( y'(-3)=3(9)+8(-3)+5=27-24+5=8 \).
Langkah 3: Gunakan rumus titik-gradien melalui \( (-3,2) \).
\( y-2=8(x+3) \).
\( y-2=8x+24 \Rightarrow y=8x+26 \).
Kesimpulan: persamaan garis singgung \( y=8x+26 \), sehingga jawaban yang benar adalah opsi D.
Soal 30
Nilai minimum fungsi \( f(x)=-x^3+12x+3 \) pada interval \( -1 \le x \le 3 \) adalah ....
A. \( -15 \)
B. \( -8 \)
C. \( 0 \)
D. \( 9 \)
E. \( 12 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Minimum pada interval tertutup terjadi di titik kritis atau di ujung interval.
Turunkan \( f(x) \): \( f'(x)=-3x^2+12 \).
Langkah 2: Cari titik kritis dari \( f'(x)=0 \).
\( -3x^2+12=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=-2 \) atau \( x=2 \).
Yang masuk interval \( -1 \le x \le 3 \) hanya \( x=2 \) karena \( -2 \lt -1 \).
Langkah 3: Hitung nilai \( f(x) \) di \( x=-1 \), \( x=2 \), dan \( x=3 \).
\( f(-1)=-(-1)^3+12(-1)+3=1-12+3=-8 \).
\( f(2)=-(8)+24+3=19 \).
\( f(3)=-(27)+36+3=12 \).
Kesimpulan: nilai minimum adalah \( -8 \), sesuai opsi B.