Soal 21
Jika diketahui matriks \( P=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 1\end{pmatrix} \) dan \( Q=\begin{pmatrix}4 & 5\\ 2 & 0\end{pmatrix} \), determinan matriks \( PQ \) adalah ....
A. \( -190 \)
B. \( -70 \)
C. \( -50 \)
D. \( 50 \)
E. \( 70 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (sifat determinan): Untuk matriks bujur sangkar berlaku \( \det(PQ)=\det(P)\det(Q) \).
Langkah 2: Hitung \( \det(P) \).
\( \det(P)=1\cdot 1-2\cdot 3=1-6=-5 \).
Langkah 3: Hitung \( \det(Q) \).
\( \det(Q)=4\cdot 0-5\cdot 2=0-10=-10 \).
Langkah 4: Kalikan.
\( \det(PQ)=(-5)(-10)=50 \). Karena \( 50 \gt 0 \), hasilnya positif.
Soal 22
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}4 & 5\\ 3 & 4\end{pmatrix} \). Invers dari matriks \( A \) adalah \( A^{-1}= \) ....
A. \( \begin{pmatrix}5 & -4\\ -4 & -3\end{pmatrix} \)
B. \( \begin{pmatrix}3 & -4\\ -4 & 5\end{pmatrix} \)
C. \( \begin{pmatrix}4 & -3\\ -5 & 4\end{pmatrix} \)
D. \( \begin{pmatrix}4 & -5\\ -3 & 4\end{pmatrix} \)
E. \( \begin{pmatrix}-4 & 5\\ 3 & -4\end{pmatrix} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Hitung determinan \( A \).
\( \det(A)=4\cdot 4-5\cdot 3=16-15=1 \), sehingga \( \det(A)\ne 0 \) dan invers ada, dengan \( \det(A)\gt 0 \).
Langkah 2 (rumus invers \( 2\times 2 \)):
Jika \( A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} \), maka \( A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} \).
Langkah 3: Substitusi \( a=4 \), \( b=5 \), \( c=3 \), \( d=4 \).
\( A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}4 & -5\\ -3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & -5\\ -3 & 4\end{pmatrix} \).
Soal 23
Suku kelima dan suku kedua belas suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah \( 42 \) dan \( 63 \). Jumlah dua puluh suku pertama barisan tersebut adalah ....
A. \( 870 \)
B. \( 900 \)
C. \( 970 \)
D. \( 1170 \)
E. \( 1200 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Rumus suku ke-\( n \) barisan aritmetika \( a_n=a_1+(n-1)d \).
Dari \( a_5=42 \Rightarrow a_1+4d=42 \).
Dari \( a_{12}=63 \Rightarrow a_1+11d=63 \).
Langkah 2: Eliminasi \( a_1 \).
\( (a_1+11d)-(a_1+4d)=63-42 \Rightarrow 7d=21 \Rightarrow d=3 \).
Langkah 3: Cari \( a_1 \).
\( a_1+4(3)=42 \Rightarrow a_1=30 \).
Langkah 4: Hitung \( S_{20} \) dengan rumus \( S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right) \).
\( S_{20}=\frac{20}{2}\left(2(30)+19(3)\right)=10(60+57)=10\cdot 117=1170 \).
Soal 24
Suku pertama barisan geometri \( =54 \) dan suku kelima adalah \( \frac{2}{3} \). Suku ketujuh barisan tersebut adalah ....
A. \( \frac{6}{9} \)
B. \( \frac{4}{9} \)
C. \( \frac{6}{27} \)
D. \( \frac{4}{27} \)
E. \( \frac{2}{27} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1: Rumus suku ke-\( n \) geometri \( u_n=ar^{n-1} \).
Diketahui \( a=54 \) dan \( u_5=54r^4=\frac{2}{3} \).
Langkah 2: Cari \( r^4 \).
\( r^4=\frac{\frac{2}{3}}{54}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{54}=\frac{2}{162}=\frac{1}{81} \).
Langkah 3: Tentukan \( r^2 \) dan \( r^6 \).
Karena \( r^4=\frac{1}{81} \), maka \( r^2=\frac{1}{9} \) (rasio bisa \( \pm\frac{1}{3} \), tetapi \( r^2 \) tetap \( \frac{1}{9} \)).
\( r^6=r^4\cdot r^2=\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{729} \).
Langkah 4: Hitung suku ke-\( 7 \):
\( u_7=ar^6=54\cdot\frac{1}{729}=\frac{54}{729}=\frac{2}{27} \).
Kesimpulan: \( u_7=\frac{2}{27} \). Ini sesuai opsi E.
Catatan penting (cek opsi): hasil hitung menunjukkan opsi E, jadi kunci yang benar adalah E.
Soal 25
Rumus suku ke-\( n \) barisan geometri tak hingga turun adalah \( \frac{1}{3^n} \), maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah ....
A. \( 3 \)
B. \( 2 \)
C. \( 1 \)
D. \( \frac{1}{2} \)
E. \( \frac{3}{4} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Diberikan \( u_n=\frac{1}{3^n} \). Maka suku pertama \( a=u_1=\frac{1}{3} \).
Langkah 2: Rasio \( r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{\frac{1}{3^2}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3} \). Karena \( |r|=\frac{1}{3}\lt 1 \), deret tak hingga memiliki jumlah.
Langkah 3: Jumlah deret geometri tak hingga \( S_{\infty}=\frac{a}{1-r} \).
\( S_{\infty}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2} \).
Kesimpulan: jumlahnya \( \frac{1}{2} \), sehingga jawaban yang benar adalah opsi D.