Soal 16
Nilai maksimum fungsi objektif \( f(x,y)=x+3y \) untuk himpunan penyelesaian seperti pada grafik adalah ....
A. \( 50 \)
B. \( 22 \)
C. \( 18 \)
D. \( 17 \)
E. \( 7 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Karena \( f(x,y)=x+3y \) adalah fungsi linear, nilai maksimum pada daerah poligon terjadi di titik-titik sudutnya.
Dari grafik, titik sudut daerah arsiran adalah \( (0,1) \), \( (2,5) \), \( (6,4) \), \( (4,1) \), dan \( (2,0) \).
Hitung nilai \( f(x,y)=x+3y \) pada tiap titik:
\( f(0,1)=0+3(1)=3 \).
\( f(2,5)=2+3(5)=2+15=17 \).
\( f(6,4)=6+3(4)=6+12=18 \).
\( f(4,1)=4+3(1)=7 \).
\( f(2,0)=2+0=2 \).
Nilai terbesar adalah \( 18 \) dan \( 18 \gt 17 \), sehingga maksimum terjadi di titik \( (6,4) \).
Soal 17
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear \( 2x+y \ge 8 \), \( x+2y \ge 12 \), \( y \ge 3 \) yang ditunjukkan pada gambar adalah ....
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V dan VI
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk \( y \) sebagai fungsi \( x \).
\( 2x+y \ge 8 \Rightarrow y \ge 8-2x \).
\( x+2y \ge 12 \Rightarrow 2y \ge 12-x \Rightarrow y \ge 6-\frac{1}{2}x \).
\( y \ge 3 \) berarti daerah di atas garis horizontal \( y=3 \).
Langkah 2: Karena semuanya berbentuk \( y \ge \) (lebih besar atau sama), maka daerah solusi adalah daerah yang berada di atas ketiga garis pembatas tersebut.
Langkah 3: Pada gambar, daerah yang berada di atas garis \( y=3 \) dan sekaligus berada di atas kedua garis miring \( y=8-2x \) dan \( y=6-\frac{1}{2}x \) ditandai sebagai daerah II.
Cek cepat titik uji: ambil titik \( (0,8) \) yang berada pada daerah atas. Uji:
\( 2(0)+8 \ge 8 \) benar, \( 0+2(8) \ge 12 \) benar, dan \( 8 \ge 3 \) benar. Jadi daerah atas (label II) memang memenuhi.
Soal 18
Ani ingin membuat \( 2 \) jenis kartu undangan. Kartu undangan jenis I memerlukan \( 30 \) \( \text{m}^2 \) karton warna biru dan \( 25 \) \( \text{m}^2 \) karton warna kuning, sedangkan undangan jenis II memerlukan \( 45 \) \( \text{m}^2 \) karton warna biru dan \( 35 \) \( \text{m}^2 \) karton warna kuning. Banyak karton warna biru dan kuning yang dimiliki masing-masing \( 200 \) \( \text{m}^2 \) dan \( 300 \) \( \text{m}^2 \). Model matematika yang sesuai adalah ....
A. \( 30x+45y \le 200 \), \( 25x+35y \le 300 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
B. \( 30x+45y \le 200 \), \( 25x+35y \ge 300 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
C. \( 30x+25y \le 200 \), \( 25x+35y \le 300 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
D. \( 30x+45y \ge 200 \), \( 25x+35y \le 300 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
E. \( 30x+25y \le 200 \), \( 45x+35y \le 300 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Langkah 1: Misalkan \( x \) = banyak undangan jenis I dan \( y \) = banyak undangan jenis II, dengan \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \).
Langkah 2 (kendala karton biru): Setiap jenis I perlu \( 30 \) dan jenis II perlu \( 45 \), sedangkan tersedia \( 200 \), maka:
\( 30x+45y \le 200 \).
Langkah 3 (kendala karton kuning): Setiap jenis I perlu \( 25 \) dan jenis II perlu \( 35 \), sedangkan tersedia \( 300 \), maka:
\( 25x+35y \le 300 \).
Gabungan kendala tersebut persis seperti opsi A.
Soal 19
Pedagang makanan membeli tempe seharga Rp\( 2.500,00 \) per buah dan dijual dengan laba Rp\( 500,00 \) per buah, sedangkan tahu seharga Rp\( 4.000,00 \) per buah dijual dengan laba Rp\( 1.000,00 \) per buah. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp\( 1.450.000,00 \) dan kiosnya dapat menampung tempe dan tahu sebanyak \( 400 \) buah. Keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah ....
A. Rp\( 250.000,00 \)
B. Rp\( 350.000,00 \)
C. Rp\( 362.000,00 \)
D. Rp\( 400.000,00 \)
E. Rp\( 500.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (model): Misalkan \( x \) = banyak tempe dan \( y \) = banyak tahu, dengan \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \).
Kendala modal: \( 2500x+4000y \le 1450000 \).
Kendala kapasitas: \( x+y \le 400 \).
Fungsi keuntungan: \( K=500x+1000y \).
Langkah 2 (titik pojok kandidat): Periksa batas-batas yang mungkin memberi maksimum.
Jika \( x=0 \), maka \( 4000y \le 1450000 \Rightarrow y \le 362,5 \). Karena jumlah buah bilangan bulat, maksimum \( y=362 \) sehingga titik \( (0,362) \).
Keuntungannya \( K=500(0)+1000(362)=362000 \).
Jika \( y=0 \), maka \( 2500x \le 1450000 \Rightarrow x \le 580 \), tetapi kapasitas \( x \le 400 \), jadi titik \( (400,0) \).
Keuntungannya \( K=500(400)=200000 \).
Titik potong \( x+y=400 \) dengan \( 2500x+4000y=1450000 \):
\( y=400-x \Rightarrow 2500x+4000(400-x)=1450000 \Rightarrow -1500x=-150000 \Rightarrow x=100 \) dan \( y=300 \).
Keuntungannya \( K=500(100)+1000(300)=350000 \).
Langkah 3 (bandingkan):
\( 362000 \gt 350000 \) dan \( 362000 \gt 200000 \), maka keuntungan maksimum adalah Rp\( 362.000,00 \).
Soal 20
Diketahui kesamaan matriks \( \begin{pmatrix}7 & 5a-b\\ 2a-1 & 14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 10\\ -4 & 14\end{pmatrix} \). Nilai \( a \) dan \( b \) berturut-turut adalah ....
A. \( \frac{3}{2} \) dan \( 17\frac{1}{2} \)
B. \( -\frac{3}{2} \) dan \( 17\frac{1}{2} \)
C. \( \frac{3}{2} \) dan \( -17\frac{1}{2} \)
D. \( -\frac{3}{2} \) dan \( -17\frac{1}{2} \)
E. \( -17\frac{1}{2} \) dan \( -\frac{3}{2} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Prinsip: Jika dua matriks sama, maka elemen-elemen yang seletak harus sama.
Langkah 1: Dari elemen kiri bawah:
\( 2a-1=-4 \Rightarrow 2a=-3 \Rightarrow a=-\frac{3}{2} \).
Langkah 2: Dari elemen kanan atas:
\( 5a-b=10 \).
Substitusi \( a=-\frac{3}{2} \):
\( 5\left(-\frac{3}{2}\right)-b=10 \Rightarrow -\frac{15}{2}-b=10 \Rightarrow -b=\frac{35}{2} \Rightarrow b=-\frac{35}{2}=-17\frac{1}{2} \).
Kesimpulan: \( a=-\frac{3}{2} \) dan \( b=-17\frac{1}{2} \).