Soal 1
Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan \( (p \lor \neg q)\Leftrightarrow q \), pada tabel di samping adalah ....
| \( p \) | \( q \) | \( (p \lor \neg q)\Leftrightarrow q \) |
| B | B | .... |
| B | S | .... |
| S | B | .... |
| S | S | .... |
A. S S S S
B. B S S S
C. B B S S
D. S S B B
E. B B B S
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Konsep: Biimplikasi \( A\Leftrightarrow B \) bernilai benar jika \( A \) dan \( B \) sama nilainya (keduanya benar atau keduanya salah). Jika berbeda maka bernilai salah. (Ingat simbol, \( 0 \lt 1 \) dan \( 1 \gt 0 \).)
Baris 1: \( p \) benar, \( q \) benar.
\( \neg q \) salah, sehingga \( p\lor \neg q \) benar \(\Rightarrow\) B.
Biimplikasi \( B \Leftrightarrow B \) bernilai benar \(\Rightarrow\) B.
Baris 2: \( p \) benar, \( q \) salah.
\( \neg q \) benar, maka \( p\lor \neg q \) benar \(\Rightarrow\) B.
Biimplikasi \( B \Leftrightarrow S \) bernilai salah \(\Rightarrow\) S.
Baris 3: \( p \) salah, \( q \) benar.
\( \neg q \) salah, maka \( p\lor \neg q \) salah \(\Rightarrow\) S.
Biimplikasi \( S \Leftrightarrow B \) bernilai salah \(\Rightarrow\) S.
Baris 4: \( p \) salah, \( q \) salah.
\( \neg q \) benar, maka \( p\lor \neg q \) benar \(\Rightarrow\) B.
Biimplikasi \( B \Leftrightarrow S \) bernilai salah \(\Rightarrow\) S.
Urutan nilai: B S S S, sehingga jawaban yang cocok adalah opsi E.
Soal 2
Ingkaran dari pernyataan “beberapa siswa memakai kacamata” adalah ....
A. Beberapa siswa tidak memakai kacamata.
B. Semua siswa memakai kacamata.
C. Ada siswa tidak memakai kacamata.
D. Tidak benar semua siswa memakai kacamata.
E. Semua siswa tidak memakai kacamata.
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1 (arti “beberapa”): “beberapa siswa memakai kacamata” berarti \( \exists x \) siswa yang memakai kacamata.
Langkah 2 (negasi kuantor): Negasi dari “ada” \( \exists \) adalah “untuk semua” \( \forall \) dengan predikat dibalik.
Jadi ingkarannya: tidak ada satu pun siswa memakai kacamata, artinya semua siswa tidak memakai kacamata.
Kesimpulan: opsi E.
Soal 3
Diketahui:
Premis \( 1 \): Jika Siti rajin belajar maka ia lulus ujian.
Premis \( 2 \): Jika Siti lulus ujian maka ayah membelikan sepeda.
Kesimpulan dari kedua argumen di atas adalah ....
A. Jika Siti tidak rajin belajar maka ayah tidak membelikan sepeda.
B. Jika Siti rajin belajar maka ayah membelikan sepeda.
C. Jika Siti rajin belajar maka ayah tidak membelikan sepeda.
D. Jika Siti tidak rajin belajar maka ayah membelikan sepeda.
E. Jika ayah membelikan sepeda maka Siti rajin belajar.
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1 (misalkan): \( p \): Siti rajin belajar, \( q \): Siti lulus ujian, \( r \): ayah membelikan sepeda.
Premis \( 1 \): \( p\Rightarrow q \). Premis \( 2 \): \( q\Rightarrow r \).
Langkah 2 (silogisme hipotetik): Dari \( p\Rightarrow q \) dan \( q\Rightarrow r \), maka \( p\Rightarrow r \).
Terjemahan: Jika Siti rajin belajar maka ayah membelikan sepeda, yaitu opsi B.
Soal 4
Bentuk sederhana dari \( (6^{-2}a^2)^3:(12^3a^3)^{-2} \) adalah ....
A. \( 2^{-1} \)
B. \( 2^{-12} \)
C. \( 2a^{12} \)
D. \( 2^6a^{12} \)
E. \( 2^{-6}a^{-12} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (ubah “:” menjadi bagi):
\( (6^{-2}a^2)^3:(12^3a^3)^{-2}=\frac{(6^{-2}a^2)^3}{(12^3a^3)^{-2}} \).
Langkah 2 (pangkat pada kurung):
\( (6^{-2}a^2)^3=6^{-6}a^6 \).
Langkah 3 (membagi dengan pangkat negatif):
\( \frac{6^{-6}a^6}{(12^3a^3)^{-2}}=6^{-6}a^6\cdot(12^3a^3)^2 \).
\( (12^3a^3)^2=12^6a^6 \).
Langkah 4 (gabungkan):
\( 6^{-6}a^6\cdot 12^6a^6=\left(\frac{12}{6}\right)^6 a^{12}=2^6a^{12} \).
Kesimpulan: hasilnya \( 2^6a^{12} \), sesuai opsi D.
Soal 5
Bentuk sederhana dari \( \sqrt{50}-\sqrt{108}+2\sqrt{12}+\sqrt{32} \) adalah ....
A. \( 7\sqrt{2}-2\sqrt{3} \)
B. \( 13\sqrt{2}-14\sqrt{3} \)
C. \( 9\sqrt{2}-4\sqrt{3} \)
D. \( 9\sqrt{2}-2\sqrt{3} \)
E. \( 13\sqrt{2}-2\sqrt{3} \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1 (sederhanakan tiap akar):
\( \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2} \).
\( \sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3} \).
\( \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \Rightarrow 2\sqrt{12}=4\sqrt{3} \).
\( \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2} \).
Langkah 2 (jumlahkan suku sejenis):
Bagian \( \sqrt{2} \): \( 5\sqrt{2}+4\sqrt{2}=9\sqrt{2} \).
Bagian \( \sqrt{3} \): \( -6\sqrt{3}+4\sqrt{3}=-2\sqrt{3} \).
Kesimpulan: \( \sqrt{50}-\sqrt{108}+2\sqrt{12}+\sqrt{32}=9\sqrt{2}-2\sqrt{3} \), sehingga jawaban yang benar adalah opsi D.
Catatan pengecekan: Opsi yang cocok dengan hasil akhir adalah \( 9\sqrt{2}-2\sqrt{3} \). Jadi pilihan yang tepat adalah D.