Soal 31. Hasil dari \( \int_{0}^{2} 3(x+1)(x-6)\,dx \) = ….
A. | \( -58 \) |
B. | \( -56 \) |
C. | \( -28 \) |
D. | \( -16 \) |
E. | \( -14 \) |
Jawaban dan Analisis Soal 31
Langkah 1: Kembangkan bentuk aljabar.
\( 3(x+1)(x-6)=3(x^2-6x+x-6)=3(x^2-5x-6)=3x^2-15x-18 \).
Langkah 2: Integralkan per suku.
\( \int (3x^2-15x-18)\,dx=x^3-\dfrac{15}{2}x^2-18x \).
Langkah 3: Substitusi batas \( 0 \) sampai \( 2 \).
\( \left[x^3-\dfrac{15}{2}x^2-18x\right]_{0}^{2}=\left(8-\dfrac{15}{2}\cdot 4-36\right)-0 \).
\( =8-30-36=-58 \).
Jawaban: A yaitu \( -58 \).
Soal 32. Hasil dari \( \int (2x-1)\sqrt{x^2-x+5}\,dx \) = ….
A. | \( \dfrac{1}{2}(x^2-x+5)\sqrt{x^2-x+5}+C \) |
B. | \( \dfrac{2}{3}(x^2-x+5)\sqrt{x^2-x+5}+C \) |
C. | \( (x^2-x+5)\sqrt{x^2-x+5}+C \) |
D. | \( \dfrac{3}{2}(x^2-x+5)\sqrt{x^2-x+5}+C \) |
E. | \( 2(x^2-x+5)\sqrt{x^2-x+5}+C \) |
Jawaban dan Analisis Soal 32
Langkah 1 (substitusi): Misalkan \( u=x^2-x+5 \).
Maka \( \dfrac{du}{dx}=2x-1 \Rightarrow du=(2x-1)\,dx \).
Langkah 2: Integral berubah menjadi:
\( \int (2x-1)\sqrt{x^2-x+5}\,dx=\int \sqrt{u}\,du \).
Langkah 3: Integralkan \( \sqrt{u}=u^{1/2} \).
\( \int u^{1/2}\,du=\dfrac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+C \).
Langkah 4: Kembalikan \( u=x^2-x+5 \).
\( \dfrac{2}{3}(x^2-x+5)^{3/2}+C \).
Karena \( (x^2-x+5)^{3/2}=(x^2-x+5)\sqrt{x^2-x+5} \), maka hasilnya:
\( \dfrac{2}{3}(x^2-x+5)\sqrt{x^2-x+5}+C \).
Jawaban: B.
Soal 33. Nilai dari \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 t \cos t)\,dt \) = ….
A. | \( 2 \) |
B. | \( 1\dfrac{1}{2} \) |
C. | \( 1 \) |
D. | \( \dfrac{1}{2} \) |
E. | \( \dfrac{1}{3} \) |
Jawaban dan Analisis Soal 33
Langkah 1 (substitusi): Misalkan \( u=\sin t \).
Maka \( du=\cos t\,dt \).
Langkah 2: Ubah batas:
Jika \( t=0 \Rightarrow u=\sin 0=0 \).
Jika \( t=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow u=\sin \dfrac{\pi}{2}=1 \).
Langkah 3: Integral menjadi:
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos t\,dt=\int_{0}^{1} u^2\,du \).
Langkah 4: Hitung:
\( \int_{0}^{1} u^2\,du=\left[\dfrac{u^3}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3} \).
Jawaban: E yaitu \( \dfrac{1}{3} \).
Soal 34. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva \( y=4-x^2 \) dan garis \( y=x+2 \) diputar mengelilingi sumbu \( X \) sejauh \( 360^\circ \) adalah ….
A. | \( 12\pi \) satuan volume |
B. | \( \dfrac{72}{5}\pi \) satuan volume |
C. | \( 18\pi \) satuan volume |
D. | \( \dfrac{92}{5}\pi \) satuan volume |
E. | \( \dfrac{108}{5}\pi \) satuan volume |
Jawaban dan Analisis Soal 34
Langkah 1 (titik potong): Cari \( 4-x^2=x+2 \).
\( 4-x^2=x+2 \Rightarrow -x^2-x+2=0 \Rightarrow x^2+x-2=0 \).
\( (x+2)(x-1)=0 \Rightarrow x=-2 \text{ atau } x=1 \).
Langkah 2 (tentukan fungsi luar dan dalam):
Pada selang \( -2 \le x \le 1 \), kurva \( y=4-x^2 \) berada di atas garis \( y=x+2 \) (misal \( x=0 \Rightarrow 4 \gt 2 \)).
Langkah 3 (rumus volume putar metode cincin):
\( V=\pi \int_{-2}^{1}\left((4-x^2)^2-(x+2)^2\right)\,dx \).
Langkah 4 (kembangkan):
\( (4-x^2)^2=16-8x^2+x^4 \) dan \( (x+2)^2=x^2+4x+4 \).
Selisih \( =x^4-9x^2-4x+12 \).
Langkah 5 (integralkan):
\( \int (x^4-9x^2-4x+12)\,dx=\dfrac{x^5}{5}-3x^3-2x^2+12x \).
Langkah 6 (substitusi batas):
\( \left[\dfrac{x^5}{5}-3x^3-2x^2+12x\right]_{-2}^{1} =\left(\dfrac{1}{5}-3-2+12\right)-\left(\dfrac{-32}{5}-3(-8)-2(4)+12(-2)\right) \).
Nilai di \( x=1 \): \( \dfrac{1}{5}+7=\dfrac{36}{5} \).
Nilai di \( x=-2 \): \( \dfrac{-32}{5}+24-8-24=\dfrac{-32}{5}-8=\dfrac{-72}{5} \).
Selisih \( =\dfrac{36}{5}-\left(\dfrac{-72}{5}\right)=\dfrac{108}{5} \).
Kesimpulan: \( V=\pi \cdot \dfrac{108}{5}=\dfrac{108}{5}\pi \).
Jawaban: E yaitu \( \dfrac{108}{5}\pi \) satuan volume.
Soal 35. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus ….
A. | \( L=\int_{-1}^{2}(x+2+x^2)\,dx \) |
B. | \( L=\int_{-1}^{2}(x-2-x^2)\,dx \) |
C. | \( L=\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx \) |
D. | \( L=\int_{-1}^{2}(-x+2+x^2)\,dx \) |
E. | \( L=\int_{-2}^{1}(-x+2+x^2)\,dx \) |
Jawaban dan Analisis Soal 35
Langkah 1 (tentukan kurva atas dan bawah):
Daerah diarsir dibatasi oleh \( y=x+2 \) dan \( y=x^2 \).
Langkah 2 (titik potong): Cari \( x^2=x+2 \).
\( x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2 \text{ atau } x=-1 \).
Langkah 3 (siapa di atas?):
Ambil \( x=0 \): \( x+2=2 \) dan \( x^2=0 \), sehingga \( x+2 \gt x^2 \). Jadi kurva atas \( y=x+2 \), kurva bawah \( y=x^2 \).
Langkah 4 (rumus luas):
\( L=\int_{-1}^{2}\left((x+2)-x^2\right)\,dx=\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx \).
Jawaban: C.