Jawaban: B

Karena limas segiempat beraturan, titik puncak \( T \) tepat di atas pusat alas \( O \). Dari gambar, sisi alas \( AB=BC=4 \) cm dan rusuk tegak \( TA=8 \) cm.

Letakkan alas pada bidang \( z=0 \) dengan koordinat:

\( A(-2,-2,0),\ B(2,-2,0),\ C(2,2,0),\ D(-2,2,0),\ O(0,0,0) \).

Karena \( T(0,0,h) \) dan \( TA=8 \), maka:

\( TA^2 = (-2)^2+(-2)^2+h^2 = 8 + h^2 = 64 \Rightarrow h^2=56 \Rightarrow h=\sqrt{56} \).

Jarak titik \( A \) ke garis \( TC \) adalah jarak titik ke garis dalam ruang:

\( d = \dfrac{\left\| (A-T)\times (C-T) \right\|}{\left\| C-T \right\|} \).

Dengan \( T(0,0,\sqrt{56}) \) dan \( C(2,2,0) \), perhitungan menghasilkan:

\( d = 2\sqrt{7} = \sqrt{28} \ \text{cm} \).

Analisis opsi:

A, C, D, E tidak sama dengan \( \sqrt{28} \).

B benar karena \( \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \).

Jawaban: D

Gunakan koordinat kubus: \( A(0,0,0) \), \( B(6,0,0) \), \( C(6,6,0) \), \( D(0,6,0) \), \( G(6,6,6) \).

Arah garis \( CG \) adalah:

\( \vec{v}=\overrightarrow{CG}=G-C=(0,0,6) \) (searah sumbu \( z \)).

Bidang \( BDG \) dibentuk oleh dua vektor pada bidang itu:

\( \overrightarrow{BD}=D-B=(-6,6,0) \) dan \( \overrightarrow{BG}=G-B=(0,6,6) \).

Vektor normal bidang \( BDG \):

\( \vec{n}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BG} \) searah \( (1,1,-1) \), sehingga \( \|\vec{n}\|=\sqrt{3} \).

Sudut antara garis dan bidang memenuhi:

\( \sin \alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{\|\vec{v}\|\ \|\vec{n}\|} \).

Karena \( \vec{v} \) searah \( (0,0,1) \), maka \( |\vec{v}\cdot \vec{n}|=1 \), \( \|\vec{v}\|=1 \), sehingga:

\( \sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \).

Maka:

\( \cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} \).

Analisis opsi:

A, B, C, E tidak sama dengan \( \dfrac{\sqrt{6}}{3} \).

D benar karena \( \dfrac{1}{3}\sqrt{6}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} \).

Jawaban: A

Misalkan sisi persegi yang digunting di tiap sudut adalah \( x \) cm. Maka ukuran alas kotak menjadi \( (30-2x) \) cm dan tinggi kotak \( x \) cm.

Volume kotak:

\( V(x)=x(30-2x)^2 \), dengan syarat \( 0 \lt x \lt 15 \).

Kembangkan:

\( V(x)=x(900-120x+4x^2)=900x-120x^2+4x^3 \).

Turunan:

\( V'(x)=900-240x+12x^2=12(x^2-20x+75) \).

Set \( V'(x)=0 \):

\( x^2-20x+75=0 \Rightarrow x=\dfrac{20\pm \sqrt{400-300}}{2}=\dfrac{20\pm 10}{2} \Rightarrow x=5 \) atau \( x=15 \).

Karena \( x=15 \) membuat \( 30-2x=0 \) (volume \( 0 \)), maka maksimum terjadi pada \( x=5 \).

Volume maksimum:

\( V(5)=5(30-10)^2=5(20)^2=2000 \ \text{cm}^3 \).

Analisis opsi:

A benar karena volume maksimum \( 2000 \ \text{cm}^3 \).

B–E salah karena bukan nilai maksimum yang diperoleh dari \( V(x) \).

Jawaban: B

Bentuk \( \sqrt{\cdot}-(\cdot) \) untuk \( x \to \infty \) diselesaikan dengan merasionalkan:

\( \sqrt{4x^2-8x+3}-(2x+4)=\dfrac{(4x^2-8x+3)-(2x+4)^2}{\sqrt{4x^2-8x+3}+(2x+4)} \).

Hitung pembilang:

\( (2x+4)^2=4x^2+16x+16 \).

\( (4x^2-8x+3)-(4x^2+16x+16)=-24x-13 \).

Maka:

\( \dfrac{-24x-13}{\sqrt{4x^2-8x+3}+2x+4} \).

Untuk \( x \to \infty \), penyebut \( \sim 2x+2x=4x \), sehingga:

\( \lim_{x \to \infty}\dfrac{-24x-13}{\sqrt{4x^2-8x+3}+2x+4}=\dfrac{-24}{4}=-6 \).

Analisis opsi:

B benar karena hasil limit \( -6 \).

A, C, D, E salah karena tidak sama dengan \( -6 \).

Jawaban: B

Perhatikan penyebut:

\( x^2-2x+1=(x-1)^2 \).

Maka limit menjadi:

\( \lim_{x \to 1}\dfrac{\sin^2(x-1)}{(x-1)^2}=\left(\lim_{x \to 1}\dfrac{\sin(x-1)}{x-1}\right)^2 \).

Gunakan limit dasar:

\( \lim_{u \to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 \).

Dengan \( u=x-1 \), saat \( x \to 1 \) maka \( u \to 0 \). Jadi:

\( \left(\lim_{u \to 0}\dfrac{\sin u}{u}\right)^2=1^2=1 \).

Analisis opsi:

B benar karena hasil limit \( 1 \).

A, C, D, E salah karena tidak sesuai limit.