Soal 21
Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut adalah ....
A. \( f(x)=2^{x+1} \)
B. \( f(x)=2^x+1 \)
C. \( f(x)=2^{x+1}+1 \)
D. \( f(x)={}^{2}\log(x+1) \)
E. \( f(x)=1+{}^{2}\log x \)
Jawaban & Analisis
Dari grafik (tanpa menggambar ulang), terlihat titik potong sumbu-\(Y\) adalah \(2\), sehingga \( f(0)=2 \). Coba opsi \( f(x)=2^x+1 \): \( f(0)=2^0+1=1+1=2 \) (sesuai).
Pada garis bantu juga tampak \( x=2 \) menghasilkan \( y=5 \), sehingga \( f(2)=5 \). Untuk \( f(x)=2^x+1 \): \( f(2)=2^2+1=4+1=5 \) (sesuai).
Jadi persamaan grafik fungsi adalah \( f(x)=2^x+1 \).
Jawaban: B
Soal 22
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( {}^{\tfrac{1}{2}}\log(x-2)\ge -2 \) adalah ....
A. \( \{x \mid x \lt 6\} \)
B. \( \{x \mid x \ge 6\} \)
C. \( \{x \mid 2 \le x \le 6\} \)
D. \( \{x \mid 2 \lt x \le 6\} \)
E. \( \{x \mid -1 \le x \lt -1\} \)
Jawaban & Analisis
Pertama tentukan domain logaritma: \( x-2 \gt 0 \Rightarrow x \gt 2 \).
Karena basis \( \tfrac{1}{2} \) memenuhi \( 0 \lt \tfrac{1}{2} \lt 1 \), maka fungsi \( {}^{\tfrac{1}{2}}\log(\cdot) \) menurun. Akibatnya, saat diubah ke bentuk eksponen, tanda pertidaksamaan berbalik.
Dari \( {}^{\tfrac{1}{2}}\log(x-2)\ge -2 \) menjadi \( x-2 \le \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2} \).
Hitung: \( \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4 \), sehingga \( x-2 \le 4 \Rightarrow x \le 6 \).
Gabungkan dengan domain \( x \gt 2 \), diperoleh \( 2 \lt x \le 6 \).
Jawaban: D
Soal 23
Luas segi-\(12\) beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luarnya \( r \) adalah ....
A. \( 2r^2 \)
B. \( 2r^2\sqrt{3} \)
C. \( 3r^2 \)
D. \( 3r^2\sqrt{3} \)
E. \( 6r^2 \)
Jawaban & Analisis
Segi-\(12\) beraturan dapat dibagi menjadi \(12\) segitiga sama kaki yang pusatnya di pusat lingkaran luar. Setiap segitiga memiliki dua sisi \( r \) dan sudut pusat \( \dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ \).
Luas satu segitiga: \( \dfrac{1}{2}r\cdot r \cdot \sin 30^\circ =\dfrac{1}{2}r^2\cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{4}r^2 \).
Luas segi-\(12\): \( 12 \cdot \dfrac{1}{4}r^2 = 3r^2 \).
Jawaban: C
Soal 24
Nilai \( x \) yang memenuhi persamaan \( \cos 2x - \sin x = 0 \) untuk \( 0^\circ \lt x \lt 360^\circ \) adalah ....
A. \( \{30^\circ,150^\circ\} \)
B. \( \{30^\circ,270^\circ\} \)
C. \( \{30^\circ,150^\circ,180^\circ\} \)
D. \( \{60^\circ,120^\circ,300^\circ\} \)
E. \( \{30^\circ,150^\circ,270^\circ\} \)
Jawaban & Analisis
Persamaan \( \cos 2x - \sin x = 0 \) setara dengan \( \cos 2x = \sin x \). Gunakan identitas \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
Maka: \( 1-2\sin^2 x = \sin x \). Misalkan \( s=\sin x \), diperoleh \( 1-2s^2=s \Rightarrow 2s^2+s-1=0 \).
Faktorkan: \( 2s^2+s-1=(2s-1)(s+1)=0 \). Jadi \( s=\dfrac{1}{2} \) atau \( s=-1 \).
Jika \( \sin x=\dfrac{1}{2} \), maka \( x=30^\circ \) atau \( x=150^\circ \). Jika \( \sin x=-1 \), maka \( x=270^\circ \). Semua memenuhi \( 0^\circ \lt x \lt 360^\circ \).
Jawaban: E
Soal 25
Diketahui \( \cos x=\dfrac{3}{5} \) untuk \( 0^\circ \lt x \lt 90^\circ \). Nilai dari \( \sin 3x + \sin x = \) ....
A. \( \dfrac{72}{125} \)
B. \( \dfrac{96}{125} \)
C. \( \dfrac{108}{125} \)
D. \( \dfrac{124}{125} \)
E. \( \dfrac{144}{125} \)
Jawaban & Analisis
Karena \( 0^\circ \lt x \lt 90^\circ \), maka \( \sin x \gt 0 \). Dari \( \cos x=\dfrac{3}{5} \), diperoleh \( \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5} \).
Gunakan rumus sudut rangkap tiga: \( \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x \).
\( \sin 3x = 3\left(\dfrac{4}{5}\right) - 4\left(\dfrac{4}{5}\right)^3 = \dfrac{12}{5} - 4\cdot \dfrac{64}{125} = \dfrac{12}{5} - \dfrac{256}{125} \).
Ubah \( \dfrac{12}{5}=\dfrac{300}{125} \), sehingga \( \sin 3x = \dfrac{300}{125}-\dfrac{256}{125}=\dfrac{44}{125} \).
Maka \( \sin 3x + \sin x = \dfrac{44}{125} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{44}{125} + \dfrac{100}{125} = \dfrac{144}{125} \).
Jawaban: E