Soal 1. Nilai \( m \) yang menyebabkan fungsi kuadrat \( f(x)=(m+1)x^2-2mx+(m-3) \) definit negatif adalah ....
Jawaban & Analisis Soal 1
Jawaban: B
Agar \( f(x) \) definit negatif, harus memenuhi dua syarat:
(1) koefisien \( x^2 \) negatif, yaitu \( m+1 \lt 0 \).
(2) diskriminan \( \Delta \lt 0 \), agar grafik tidak memotong sumbu \( X \).
Syarat (1):
\( m+1 \lt 0 \Rightarrow m \lt -1 \).
Hitung diskriminan. Untuk \( ax^2+bx+c \), \( \Delta=b^2-4ac \).
Di sini \( a=m+1 \), \( b=-2m \), \( c=m-3 \).
\( \Delta=(-2m)^2-4(m+1)(m-3)=4m^2-4[(m+1)(m-3)] \).
Kembangkan:
\( (m+1)(m-3)=m^2-2m-3 \).
Maka:
\( \Delta=4m^2-4(m^2-2m-3)=4m^2-4m^2+8m+12=8m+12 \).
Syarat (2):
\( \Delta \lt 0 \Rightarrow 8m+12 \lt 0 \Rightarrow m \lt -\dfrac{3}{2} \).
Gabungkan dua syarat:
\( m \lt -1 \) dan \( m \lt -\dfrac{3}{2} \Rightarrow m \lt -\dfrac{3}{2} \).
Jadi daerah nilai \( m \) adalah \( m \lt -\dfrac{3}{2} \), yang sesuai opsi A.
Catatan penting: karena hasil gabungan adalah \( m \lt -\dfrac{3}{2} \), maka pilihan yang benar seharusnya A, bukan B.
Analisis opsi:
A benar karena memenuhi kedua syarat definit negatif.
B salah karena jika \( -\dfrac{3}{2} \lt m \lt -1 \), maka \( \Delta \gt 0 \) sehingga grafik memotong sumbu \( X \) dan tidak definit negatif.
C, D, E salah karena \( m+1 \) tidak negatif atau syarat \( \Delta \lt 0 \) tidak terpenuhi.
Soal 2. Salah satu nilai \( p \) yang menyebabkan persamaan kuadrat \( 2x^2+(p+1)x+8=0 \) memiliki akar kembar adalah ....
Jawaban & Analisis Soal 2
Jawaban: C
Akar kembar terjadi jika diskriminan \( \Delta=0 \).
Untuk \( 2x^2+(p+1)x+8=0 \):
\( a=2 \), \( b=p+1 \), \( c=8 \).
\( \Delta=b^2-4ac=(p+1)^2-4(2)(8)=(p+1)^2-64 \).
Set \( \Delta=0 \):
\( (p+1)^2-64=0 \Rightarrow (p+1)^2=64 \Rightarrow p+1=\pm 8 \).
Maka \( p=7 \) atau \( p=-9 \).
Dari opsi yang ada, yang cocok hanya \( p=7 \), yaitu opsi D.
Catatan penting: nilai yang benar dari pilihan yang tersedia adalah \( 7 \), sehingga jawabannya seharusnya D.
Analisis opsi:
A salah karena \( p=-8 \Rightarrow (p+1)^2=49 \ne 64 \).
B salah karena \( p=-7 \Rightarrow (p+1)^2=36 \ne 64 \).
C salah karena \( p=6 \Rightarrow (p+1)^2=49 \ne 64 \).
D benar karena \( p=7 \Rightarrow (p+1)^2=64 \Rightarrow \Delta=0 \).
E salah karena \( p=9 \Rightarrow (p+1)^2=100 \ne 64 \).
Soal 3. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik \( (4,0) \) dan berdiameter \( 6\sqrt{2} \) adalah ....
Jawaban & Analisis Soal 3
Jawaban: C
Diameter \( 6\sqrt{2} \) berarti jari-jari \( r=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} \).
Maka \( r^2=(3\sqrt{2})^2=18 \).
Persamaan lingkaran pusat \( (h,k) \):
\( (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \).
Dengan \( (h,k)=(4,0) \):
\( (x-4)^2+y^2=18 \).
Kembangkan:
\( x^2-8x+16+y^2=18 \Rightarrow x^2+y^2-8x-2=0 \).
Hasil ini sesuai opsi A, bukan C.
Catatan penting: jawaban yang benar berdasarkan perhitungan adalah opsi A.
Analisis opsi:
A benar karena sama dengan bentuk hasil pengembangan.
B salah karena tanda \( 8x \) berlawanan (pusatnya menjadi \( (-4,0) \)).
C salah karena konstanta \( -34 \) tidak sesuai \( r^2=18 \).
D dan E salah karena suku linearnya pada \( y \), padahal pusat \( y \) adalah \( 0 \).
Soal 4. Utami membeli \( 2 \) buku tulis dan \( 1 \) pulpen dengan harga Rp\( 4.000{,}00 \). Nisa membeli \( 1 \) buku tulis dan \( 3 \) pulpen yang sama dengan harga Rp\( 9.000{,}00 \). Fauzi membeli \( 1 \) buku tulis dan \( 2 \) pulpen, untuk itu ia harus membayar sebesar ....
Jawaban & Analisis Soal 4
Jawaban: C
Misalkan harga buku tulis \( =b \) dan harga pulpen \( =p \).
Dari data:
\( 2b+p=4000 \) .... \( (1) \)
\( b+3p=9000 \) .... \( (2) \)
Dari \( (1) \): \( p=4000-2b \).
Substitusi ke \( (2) \):
\( b+3(4000-2b)=9000 \Rightarrow b+12000-6b=9000 \Rightarrow -5b=-3000 \Rightarrow b=600 \).
Maka \( p=4000-2(600)=2800 \).
Yang ditanya \( b+2p \):
\( b+2p=600+2(2800)=600+5600=6200 \).
Catatan penting: hasil hitung \( = \) Rp\( 6.200{,}00 \), tetapi tidak ada di opsi. Berarti terdapat ketidaksesuaian angka pada soal/opsi pada gambar.
Analisis opsi:
A–E semuanya tidak sama dengan Rp\( 6.200{,}00 \), sehingga opsi pada gambar tidak memuat jawaban yang benar.
Soal 5. Akar-akar persamaan \( x^2+(a-1)x+2=0 \) adalah \( \alpha \) dan \( \beta \). Jika \( \alpha=2\beta \) dan \( a \gt 0 \) maka nilai \( a \) = ....
Jawaban & Analisis Soal 5
Jawaban: B
Dari Vieta:
\( \alpha+\beta=-(a-1)=1-a \) dan \( \alpha\beta=2 \).
Diketahui \( \alpha=2\beta \), maka:
\( \alpha\beta=2\beta^2=2 \Rightarrow \beta^2=1 \Rightarrow \beta=1 \) atau \( \beta=-1 \).
Jika \( \beta=1 \), maka \( \alpha=2 \) sehingga:
\( \alpha+\beta=3=1-a \Rightarrow a=-2 \) (tidak memenuhi \( a \gt 0 \)).
Jika \( \beta=-1 \), maka \( \alpha=-2 \) sehingga:
\( \alpha+\beta=-3=1-a \Rightarrow a=4 \) (memenuhi \( a \gt 0 \)).
Jadi \( a=4 \), yaitu opsi C.
Catatan penting: jawaban yang benar adalah opsi C, bukan B.
Analisis opsi:
A, B, D, E salah karena tidak menghasilkan pasangan akar dengan \( \alpha=2\beta \) dan \( \alpha\beta=2 \).
C benar karena memberi \( a=4 \).