Soal 11
Diketahui \( f(x)=\frac{2x+3}{x-1} \) untuk \( x\ne 1 \) dan \( f^{-1} \) adalah invers dari \( f \). Nilai dari \( f^{-1}(-3) \) adalah ....
A. \( -6 \)
B. \( -\frac{6}{5} \)
C. \( 0 \)
D. \( \frac{6}{5} \)
E. \( 6 \)
Jawaban dan Analisis
Untuk mencari invers, misalkan \( y=\frac{2x+3}{x-1} \). Kalikan silang: \( y(x-1)=2x+3 \) sehingga \( yx-y=2x+3 \).
Kumpulkan suku yang memuat \( x \): \( yx-2x=y+3 \Rightarrow x(y-2)=y+3 \). Selama \( y\ne 2 \), maka \( y-2\ne 0 \) dan \( |y-2| \gt 0 \), sehingga \( x=\frac{y+3}{y-2} \).
Jadi \( f^{-1}(y)=\frac{y+3}{y-2} \). Substitusi \( y=-3 \): \( f^{-1}(-3)=\frac{-3+3}{-3-2}=\frac{0}{-5}=0 \).
Jawaban: C.
Soal 12
Nilai minimum dari \( f(x,y)=3x+2y \) yang memenuhi daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan \( 4x+5y\le 20 \), \( 3x+5y\ge 15 \), \( x\ge 0 \), dan \( y\ge 0 \) adalah ....
A. \( 6 \)
B. \( 8 \)
C. \( 10 \)
D. \( 12 \)
E. \( 15 \)
Jawaban dan Analisis
Nilai minimum fungsi linear pada daerah feasible terjadi di titik pojok (titik sudut) daerah tersebut. Jadi kita cari titik sudut dari irisan: \( 4x+5y\le 20 \), \( 3x+5y\ge 15 \), \( x\ge 0 \), \( y\ge 0 \).
Titik potong dua garis batas: \( 4x+5y=20 \) dan \( 3x+5y=15 \). Kurangkan persamaan: \( (4x+5y)-(3x+5y)=20-15 \Rightarrow x=5 \). Substitusi ke \( 3x+5y=15 \): \( 15+5y=15 \Rightarrow y=0 \). Maka titik sudut \( (5,0) \).
Titik sudut pada sumbu \( y \) diperoleh dari \( x=0 \). Dari \( 3x+5y=15 \) menjadi \( 5y=15 \Rightarrow y=3 \), sehingga titik \( (0,3) \). Dari \( 4x+5y=20 \) menjadi \( 5y=20 \Rightarrow y=4 \), sehingga titik \( (0,4) \). Keduanya memenuhi \( x\ge 0 \) dan \( y\ge 0 \).
Hitung \( f(x,y)=3x+2y \) di titik sudut: \( f(0,3)=3\cdot 0+2\cdot 3=6 \), \( f(0,4)=8 \), \( f(5,0)=15 \).
Nilai minimum adalah \( 6 \) dan \( 6 \gt 0 \). Jawaban: A.
Soal 13
Setiap hari seorang pasien harus mengkonsumsi minimal \( 400 \) gram kalsium dan \( 250 \) gram vitamin A. Setiap tablet mengandung \( 150 \) gram kalsium dan \( 50 \) gram vitamin A, sedangkan setiap kapsul mengandung \( 200 \) gram kalsium dan \( 100 \) gram vitamin A. Jika banyak tablet \( x \) dan kapsul \( y \), model matematikanya adalah ....
A. \( 3x+4y\ge 8 \); \( x+2y\ge 5 \); \( x\ge 0 \); \( y\ge 0 \)
B. \( 3x+4y\ge 8 \); \( 2x+4y\ge 5 \); \( x\ge 0 \); \( y\ge 0 \)
C. \( 4x+3y\ge 8 \); \( 2x+y\ge 5 \); \( x\ge 0 \); \( y\ge 0 \)
D. \( 4x+3y\ge 8 \); \( x+y\ge 5 \); \( x\ge 0 \); \( y\ge 0 \)
E. \( 4x+2y\ge 8 \); \( 3x+y\ge 5 \); \( x\ge 0 \); \( y\ge 0 \)
Jawaban dan Analisis
Syarat kalsium minimal \( 400 \) gram: \( 150x+200y\ge 400 \). Bagi \( 50 \) (karena \( 50 \gt 0 \)) sehingga \( 3x+4y\ge 8 \).
Syarat vitamin A minimal \( 250 \) gram: \( 50x+100y\ge 250 \). Bagi \( 50 \) (karena \( 50 \gt 0 \)) sehingga \( x+2y\ge 5 \).
Banyak tablet dan kapsul tidak mungkin negatif, maka \( x\ge 0 \) dan \( y\ge 0 \).
Model matematika: \( 3x+4y\ge 8 \), \( x+2y\ge 5 \), \( x\ge 0 \), \( y\ge 0 \). Jawaban: A.
Soal 14
Pada sebuah supermarket, seorang karyawati menyediakan jasa pembungkusan kado. Untuk membungkus kado jenis A dibutuhkan \( 2 \) lembar kertas pembungkus dan \( 2 \) meter pita. Untuk membungkus kado jenis B dibutuhkan \( 2 \) lembar kertas pembungkus dan \( 1 \) meter pita. Tersedia kertas pembungkus \( 50 \) lembar dan pita \( 40 \) meter. Upah untuk membungkus kado jenis A dan B berturut-turut adalah \( \mathrm{Rp}\,5{.}000{,}00 \) dan \( \mathrm{Rp}\,4{.}000{,}00 \). Upah maksimum yang dapat diterima karyawati tersebut adalah ....
A. \( \mathrm{Rp}\,75{.}000{,}00 \)
B. \( \mathrm{Rp}\,100{.}000{,}00 \)
C. \( \mathrm{Rp}\,115{.}000{,}00 \)
D. \( \mathrm{Rp}\,125{.}000{,}00 \)
E. \( \mathrm{Rp}\,160{.}000{,}00 \)
Jawaban dan Analisis
Misalkan \( x \) banyak kado jenis A dan \( y \) banyak kado jenis B. Kendala kertas: \( 2x+2y\le 50 \Rightarrow x+y\le 25 \). Kendala pita: \( 2x+y\le 40 \). Selain itu \( x\ge 0 \) dan \( y\ge 0 \).
Fungsi upah yang dimaksimumkan: \( U=5000x+4000y \). Nilai maksimum terjadi di titik pojok daerah feasible.
Titik pojok: \( (0,25) \) dari \( x=0 \) pada \( x+y=25 \) (dan memenuhi \( 2x+y\le 40 \) karena \( 25\le 40 \)). \( (20,0) \) dari \( y=0 \) pada \( 2x+y=40 \) (dan memenuhi \( x+y\le 25 \) karena \( 20\le 25 \)). Perpotongan \( x+y=25 \) dan \( 2x+y=40 \): selisih memberi \( x=15 \) lalu \( y=10 \), jadi titik \( (15,10) \).
Hitung upah: \( U(0,25)=5000\cdot 0+4000\cdot 25=100000 \), \( U(20,0)=100000 \), \( U(15,10)=5000\cdot 15+4000\cdot 10=75000+40000=115000 \).
Nilai terbesar \( 115000 \) dan \( 115000 \gt 100000 \). Jadi upah maksimum \( \mathrm{Rp}\,115{.}000{,}00 \). Jawaban: C.
Soal 15
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}-1&-3\\2&x+2\end{pmatrix} \), \( B=\begin{pmatrix}-6&0\\3y-1&-9\end{pmatrix} \), dan \( C=\begin{pmatrix}4&-1\\-6&3\end{pmatrix} \). Jika \( 2A-B=C^{T} \) dengan \( C^{T} \) adalah transpose dari \( C \), nilai \( x+y \) adalah ....
A. \( -5 \)
B. \( -3 \)
C. \( -1 \)
D. \( 1 \)
E. \( 5 \)
Jawaban dan Analisis
Hitung transpose: \( C^{T}=\begin{pmatrix}4&-6\\-1&3\end{pmatrix} \). Hitung \( 2A \): \( 2A=\begin{pmatrix}-2&-6\\4&2x+4\end{pmatrix} \).
Maka \( 2A-B=\begin{pmatrix}-2-(-6)&-6-0\\4-(3y-1)&(2x+4)-(-9)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&-6\\5-3y&2x+13\end{pmatrix} \).
Karena \( 2A-B=C^{T} \), samakan elemen yang bersesuaian: \( 5-3y=-1 \Rightarrow -3y=-6 \Rightarrow y=2 \), dan \( 2x+13=3 \Rightarrow 2x=-10 \Rightarrow x=-5 \).
Jadi \( x+y=-5+2=-3 \) dan \( -3 \lt 0 \). Jawaban: B.