Soal 6
Misalkan \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(x^2+3x-3=0\). Persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(2x_1-1\) dan \(2x_2-1\) adalah …
A. \(x^2+8x-17=0\)
B. \(x^2-8x-17=0\)
C. \(x^2-4x-17=0\)
D. \(x^2+4x-5=0\)
E. \(x^2+8x-5=0\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: E
Misalkan transformasi akar baru \(y=2x-1\). Maka \(x=\frac{y+1}{2}\).
Substitusikan \(x=\frac{y+1}{2}\) ke persamaan asal \(x^2+3x-3=0\):
\(\left(\frac{y+1}{2}\right)^2+3\left(\frac{y+1}{2}\right)-3=0\).
Kalikan kedua ruas dengan \(4\) agar tidak ada penyebut:
\((y+1)^2+6(y+1)-12=0\).
Uraikan:
\(y^2+2y+1+6y+6-12=0 \Rightarrow y^2+8y-5=0\).
Jadi persamaan kuadrat baru adalah \(x^2+8x-5=0\) (ganti variabel \(y\) menjadi \(x\)).
Soal 7
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(2x-x^2 \ge -15\) adalah …
A. \(\{x \mid 3 \le x \le 5,\; x \in \mathbb{R}\}\)
B. \(\{x \mid -3 \le x \le 5,\; x \in \mathbb{R}\}\)
C. \(\{x \mid -5 \le x \le 3,\; x \in \mathbb{R}\}\)
D. \(\{x \mid x \le -3 \text{ atau } x \ge 5,\; x \in \mathbb{R}\}\)
E. \(\{x \mid x \le -5 \text{ atau } x \ge 3,\; x \in \mathbb{R}\}\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Pindahkan \(-15\) ke ruas kiri:
\(2x-x^2+15 \ge 0\).
Kalikan \(-1\) (ingat tanda ketaksamaan berbalik):
\(x^2-2x-15 \le 0\).
Faktorkan:
\(x^2-2x-15=(x-5)(x+3)\).
Untuk \((x-5)(x+3)\le 0\), nilai \(x\) berada di antara akar-akar, sehingga:
\(-3 \le x \le 5\).
Soal 8
Toni dan Dodi membeli minuman. Toni membeli \(4\) kaleng minuman \(A\) dan \(3\) kaleng minuman \(B\) seharga \(Rp.\ 38.000{,}00\). Dodi membayar \(Rp.\ 45.000{,}00\) untuk pembelian \(3\) minuman \(A\) dan \(5\) minuman \(B\). Jika harga setiap kaleng minuman \(A=x\) dan harga setiap kaleng minuman \(B=y\), maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …
A. \(4x+3y=38.000;\; 3x+5y=45.000\)
B. \(4x+3y=38.000;\; 5x+3y=45.000\)
C. \(3x+4y=38.000;\; 3x+5y=45.000\)
D. \(4x+3y=38.000;\; x+5y=45.000\)
E. \(3x+4y=38.000;\; 5x+3y=45.000\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Karena \(x\) adalah harga \(1\) kaleng \(A\) dan \(y\) adalah harga \(1\) kaleng \(B\), maka total harga dibentuk dari “jumlah \(\times\) harga satuan”.
Pembelian Toni: \(4\) kaleng \(A\) dan \(3\) kaleng \(B\), jadi totalnya \(4x+3y\). Diketahui total bayar \(38.000\), maka \(4x+3y=38.000\).
Pembelian Dodi: \(3\) kaleng \(A\) dan \(5\) kaleng \(B\), jadi totalnya \(3x+5y\). Diketahui total bayar \(45.000\), maka \(3x+5y=45.000\).
Soal 9
Pak Anto, Pak Karta, dan Pak Jodi mengunjungi tempat rekreasi yang sama. Pak Anto membeli tiket masuk sebanyak \(2\) lembar untuk dewasa dan \(3\) lembar untuk anak-anak dengan harga \(Rp.\ 10.250{,}00\). Pak Karta membeli tiket \(3\) lembar untuk dewasa dan \(1\) lembar untuk anak-anak dengan harga \(Rp.\ 9.250{,}00\). Jika Pak Jodi membeli \(1\) tiket untuk dewasa dan \(1\) tiket untuk anak-anak dengan menggunakan selembar uang \(Rp.\ 10.000{,}00\), uang kembalian yang diterima Pak Jodi adalah …
A. \(Rp.\ 2.500{,}00\)
B. \(Rp.\ 3.750{,}00\)
C. \(Rp.\ 5.000{,}00\)
D. \(Rp.\ 5.750{,}00\)
E. \(Rp.\ 6.000{,}00\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Misalkan harga tiket dewasa \(=a\) dan harga tiket anak-anak \(=c\).
Dari pembelian Pak Anto: \(2a+3c=10.250\).
Dari pembelian Pak Karta: \(3a+c=9.250\).
Dari \(3a+c=9.250\) diperoleh \(c=9.250-3a\). Substitusi ke \(2a+3c=10.250\):
\(2a+3(9.250-3a)=10.250\Rightarrow 2a+27.750-9a=10.250\Rightarrow -7a=-17.500\Rightarrow a=2.500\).
Masukkan \(a=2.500\) ke \(c=9.250-3a\):
\(c=9.250-3(2.500)=9.250-7.500=1.750\).
Pak Jodi membeli \(1\) dewasa dan \(1\) anak-anak, sehingga total harga \(a+c=2.500+1.750=4.250\).
Uang kembalian dari \(10.000\) adalah \(10.000-4.250=5.750\).
Soal 10
Diketahui fungsi \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dan fungsi \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dirumuskan dengan \(f(x)=x-1\) dan \(g(x)=x^2+2x-3\). Fungsi komposisi \(g\circ f\) dirumuskan dengan …
A. \((g\circ f)(x)=x^2-4\)
B. \((g\circ f)(x)=x^2-5\)
C. \((g\circ f)(x)=x^2-6\)
D. \((g\circ f)(x)=x^2-4x-4\)
E. \((g\circ f)(x)=x^2-4x-5\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Komposisi \((g\circ f)(x)\) berarti memasukkan \(f(x)\) ke dalam \(g\), yaitu \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
Karena \(f(x)=x-1\), maka:
\((g\circ f)(x)=g(x-1)=(x-1)^2+2(x-1)-3\).
Uraikan:
\((x-1)^2=x^2-2x+1\), sehingga:
\((g\circ f)(x)=x^2-2x+1+2x-2-3=x^2-4\).