Strategi: karena ada \( (5-x)^3 \), pakai substitusi \( u=5-x \).

Langkah 1: Misalkan \( u=5-x \Rightarrow du=-dx \Rightarrow dx=-du \) dan \( x=5-u \).

Langkah 2: Ubah integral ke bentuk \( u \).

\( \int 2x(5-x)^3\,dx=\int 2(5-u)u^3(-du) \)

\( =\int (-10u^3+2u^4)\,du \)

Langkah 3: Integralkan.

\( \int (-10u^3+2u^4)\,du=-10\cdot\dfrac{u^4}{4}+2\cdot\dfrac{u^5}{5}+C \)

\( =-\dfrac{5}{2}u^4+\dfrac{2}{5}u^5+C \)

Langkah 4: Faktorkan agar mirip opsi.

\( -\dfrac{5}{2}u^4+\dfrac{2}{5}u^5=u^4\left(\dfrac{2}{5}u-\dfrac{5}{2}\right) \)

\( =u^4\left(\dfrac{4u-25}{10}\right)=\dfrac{1}{10}(4u-25)u^4 \)

Langkah 5: Kembalikan \( u=5-x \).

\( \dfrac{1}{10}(4(5-x)-25)(5-x)^4+C=\dfrac{1}{10}(20-4x-25)(5-x)^4+C \)

\( =-\dfrac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4+C \)

Jawaban: A yaitu \( -\dfrac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4 + C \).

Langkah 1: Tentukan antiturunan.

\( \int (3x^2+6x-1)\,dx=x^3+3x^2-x+C \)

Langkah 2: Hitung nilai di batas atas dan bawah.

\( F(2)=2^3+3\cdot 2^2-2=8+12-2=18 \)

\( F(-1)=(-1)^3+3(-1)^2-(-1)=-1+3+1=3 \)

Langkah 3: Kurangkan.

\( \int_{-1}^{2}(3x^2+6x-1)\,dx=F(2)-F(-1)=18-3=15 \)

Jawaban: D yaitu \( 15 \).

Strategi: gunakan substitusi \( u=\sin 2x \) karena ada \( \cos 2x\,dx \).

Langkah 1: Ambil \( u=\sin 2x \Rightarrow du=2\cos 2x\,dx \Rightarrow \cos 2x\,dx=\dfrac{1}{2}du \).

Langkah 2: Ubah integral.

\( \int \sin^5 2x \cos 2x\,dx=\int u^5\left(\dfrac{1}{2}du\right)=\dfrac{1}{2}\int u^5\,du \)

Langkah 3: Integralkan.

\( \dfrac{1}{2}\int u^5\,du=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^6}{6}+C=\dfrac{u^6}{12}+C \)

Langkah 4: Kembalikan \( u=\sin 2x \).

\( \dfrac{u^6}{12}+C=\dfrac{1}{12}\sin^6 2x + C \)

Jawaban: D yaitu \( \dfrac{1}{12}\sin^6 2x + C \).

Strategi: gunakan substitusi \( u=2x^2-6x+7 \) karena turunannya mengandung \( (2x-3) \).

Langkah 1: Ambil \( u=2x^2-6x+7 \Rightarrow du=(4x-6)\,dx=2(2x-3)\,dx \).

Maka \( (2x-3)\,dx=\dfrac{1}{2}du \).

Langkah 2: Ubah integral.

\( \int (2x-3)\sqrt{2x^2-6x+7}\,dx=\int \sqrt{u}\left(\dfrac{1}{2}du\right)=\dfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du \)

Langkah 3: Integralkan.

\( \dfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{1}{3}u^{3/2}+C \)

Langkah 4: Kembalikan \( u \).

\( \dfrac{1}{3}u^{3/2}+C=\dfrac{1}{3}(2x^2-6x+7)\sqrt{2x^2-6x+7}+C \)

Jawaban: A yaitu \( \dfrac{1}{3}(2x^2-6x+7)\sqrt{2x^2-6x+7}+C \).

Langkah 1 (fungsi atas dan bawah): Luas daerah antar kurva pada selang \( -2 \lt x \lt -1 \) adalah integral selisih \( (\text{atas})-(\text{bawah}) \).

Hitung selisih:

\( (-x^2-2x)-(x^2+6x)=-2x^2-8x \)

Catatan: Untuk \( -2 \lt x \lt -1 \), nilai \( -2x^2-8x \) bernilai positif, sehingga kurva \( y=-x^2-2x \) berada di atas kurva \( y=x^2+6x \) pada selang tersebut.

Langkah 2 (rumus luas):

\( L=\int_{-2}^{-1}\Big((-x^2-2x)-(x^2+6x)\Big)\,dx=\int_{-2}^{-1}(-2x^2-8x)\,dx \)

Langkah 3 (integralkan):

\( \int(-2x^2-8x)\,dx=-2\cdot\dfrac{x^3}{3}-8\cdot\dfrac{x^2}{2}=-\dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \)

Langkah 4 (substitusi batas):

\( L=\left[-\dfrac{2}{3}x^3-4x^2\right]_{-2}^{-1}=\left(-\dfrac{2}{3}(-1)^3-4(-1)^2\right)-\left(-\dfrac{2}{3}(-2)^3-4(-2)^2\right) \)

\( =\left(\dfrac{2}{3}-4\right)-\left(\dfrac{16}{3}-16\right)=\left(-\dfrac{10}{3}\right)-\left(-\dfrac{32}{3}\right)=\dfrac{22}{3}=7\dfrac{1}{3} \)

Jawaban: A yaitu \( 7\dfrac{1}{3} \) satuan luas.