Ide: Bentuk \( \sqrt{\cdots}-(\cdots) \) untuk \( x\to\infty \) diselesaikan dengan mengalikan sekawan.

Misalkan \( L=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) \).

Kalikan dengan sekawan:

\( L=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right)\cdot \dfrac{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)}{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)} \).

Pembilang menjadi:

\( (4x^2+4x-3)-(2x-5)^2 \).

Hitung \( (2x-5)^2=4x^2-20x+25 \), maka:

\( (4x^2+4x-3)-(4x^2-20x+25)=24x-28 \).

Sehingga:

\( L=\lim_{x\to\infty}\dfrac{24x-28}{\sqrt{4x^2+4x-3}+(2x-5)} \).

Karena \( x\to\infty \) maka \( x \gt 0 \), sehingga:

\( \sqrt{4x^2+4x-3}=x\sqrt{4+\dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{x^2}} \).

Bagi pembilang dan penyebut dengan \( x \):

\( L=\lim_{x\to\infty}\dfrac{24-\dfrac{28}{x}}{\sqrt{4+\dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{x^2}}+2-\dfrac{5}{x}} \).

Saat \( x\to\infty \), berlaku \( \dfrac{28}{x}\to 0 \) dan \( \dfrac{5}{x}\to 0 \), sehingga:

\( L=\dfrac{24}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{24}{2+2}=\dfrac{24}{4}=6 \).

Jawaban: E yaitu \( 6 \).

Langkah 1: Gunakan pendekatan limit dasar di sekitar \( x=0 \):

\( 1-\cos t \sim \dfrac{t^2}{2} \) dan \( \sin t \sim t \) untuk \( t\to 0 \).

Ambil \( t=4x \), maka saat \( x\to 0 \) berlaku \( t\to 0 \).

Langkah 2: Aproksimasi pembilang dan penyebut:

\( 1-\cos 4x \sim \dfrac{(4x)^2}{2}= \dfrac{16x^2}{2}=8x^2 \).

\( 2x\sin 4x \sim 2x(4x)=8x^2 \).

Langkah 3: Hitung limit:

\( \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{2x\sin 4x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{8x^2}{8x^2}=1 \).

Jawaban: A yaitu \( 1 \).

Langkah 1: Ubah bentuk fungsi sebagai pangkat:

\( f(x)=\left(\sin(5x+8)\right)^3 \).

Langkah 2: Gunakan aturan rantai. Misalkan \( u=\sin(5x+8) \), maka \( f(x)=u^3 \).

Turunan \( u^3 \) adalah \( 3u^2\cdot u' \), sehingga:

\( f'(x)=3\left(\sin(5x+8)\right)^2\cdot \dfrac{d}{dx}\left(\sin(5x+8)\right) \).

Langkah 3: Turunkan bagian sinus:

\( \dfrac{d}{dx}\left(\sin(5x+8)\right)=\cos(5x+8)\cdot \dfrac{d}{dx}(5x+8)=\cos(5x+8)\cdot 5 \).

Langkah 4: Gabungkan:

\( f'(x)=3\sin^2(5x+8)\cdot 5\cos(5x+8)=15\sin^2(5x+8)\cos(5x+8) \).

Jawaban: B yaitu \( f'(x)=15\sin^2(5x+8)\cos(5x+8) \).

Langkah 1: Tentukan titik singgung pada \( x=-1 \).

\( y(-1)=(-1)^3-4(-1)^2-3(-1)-5=-1-4+3-5=-7 \).

Titik singgung adalah \( (-1,-7) \).

Langkah 2: Cari gradien garis singgung dengan turunan.

Jika \( y=x^3-4x^2-3x-5 \), maka \( y'=3x^2-8x-3 \).

Gradien di \( x=-1 \):

\( m=y'(-1)=3(-1)^2-8(-1)-3=3+8-3=8 \).

Langkah 3: Persamaan garis singgung \( y-y_1=m(x-x_1) \).

\( y-(-7)=8(x-(-1)) \Rightarrow y+7=8(x+1)=8x+8 \).

\( y=8x+1 \).

Jawaban: D yaitu \( y=8x+1 \).

Informasi dari gambar: Tanah berbentuk persegi panjang menempel tembok pada satu sisi, sehingga pagar hanya untuk \( 3 \) sisi. Kawat berduri pada pagar terdiri dari \( 4 \) utas sejajar.

Misalkan: panjang sisi sejajar tembok \( =x \) meter dan lebar (tegak lurus tembok) \( =y \) meter, dengan \( x \gt 0 \) dan \( y \gt 0 \).

Panjang pagar untuk satu utas: sisi bawah \( x \) dan dua sisi samping \( 2y \), jadi total \( x+2y \).

Karena ada \( 4 \) utas kawat:

\( 4(x+2y)=800 \Rightarrow x+2y=200 \).

Luas tanah: \( L=xy \).

Dari \( x+2y=200 \Rightarrow x=200-2y \), maka:

\( L(y)=y(200-2y)=200y-2y^2 \).

Maksimumkan: \( L(y)=-2y^2+200y \) (parabola terbuka ke bawah karena \( -2 \lt 0 \)). Titik puncak pada:

\( y=-\dfrac{200}{2(-2)}=\dfrac{200}{4}=50 \).

Maka \( x=200-2(50)=100 \).

Luas maksimum: \( L_{\max}=100\cdot 50=5000 \), sehingga \( L_{\max}=5{.}000\ \text{m}^2 \).

Jawaban: D yaitu \( 5{.}000\ \text{m}^2 \).