Soal 21.
Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan \( A \) pada pukul \( 07.00 \) dengan arah \( 030^\circ \) dan tiba di pelabuhan \( B \) setelah \( 4 \) jam bergerak. Pukul \( 12.00 \) kapal bergerak kembali dari pelabuhan \( B \) menuju pelabuhan \( C \) dengan memutar haluan \( 150^\circ \) dan tiba di pelabuhan \( C \) pukul \( 20.00 \). Kecepatan rata-rata kapal \( 50 \) mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan \( C \) ke pelabuhan \( A \) adalah ....
A. \( 200\sqrt{2} \) mil
B. \( 200\sqrt{3} \) mil
C. \( 200\sqrt{6} \) mil
D. \( 200\sqrt{7} \) mil
E. \( 600 \) mil
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Langkah 1: Hitung panjang \( AB \) dan \( BC \).
Dari \( A \) ke \( B \) ditempuh \( 4 \) jam dengan kecepatan \( 50 \) mil/jam, sehingga \( AB = 50 \times 4 = 200 \) mil.
Dari \( 12.00 \) sampai \( 20.00 \) adalah \( 8 \) jam, sehingga \( BC = 50 \times 8 = 400 \) mil.
Langkah 2: Tentukan sudut \( \angle ABC \).
Arah \( A \to B \) adalah \( 030^\circ \). Maka arah balik \( B \to A \) adalah \( 030^\circ + 180^\circ = 210^\circ \).
Arah \( B \to C \) adalah \( 150^\circ \).
Sudut di \( B \) adalah selisih arah \( BA \) dan \( BC \): \( |210^\circ - 150^\circ| = 60^\circ \), sehingga \( \angle ABC = 60^\circ \).
Langkah 3: Gunakan aturan cosinus.
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos 60^\circ \).
\( AC^2 = 200^2 + 400^2 - 2(200)(400)\left(\dfrac{1}{2}\right) \).
\( AC^2 = 40000 + 160000 - 80000 = 120000 \).
\( AC = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3} \) mil.
Analisis opsi:
A salah karena \( 200\sqrt{2} \) biasanya muncul jika sudutnya \( 90^\circ \), sedangkan di sini \( 60^\circ \).
B benar karena hasil perhitungan \( AC = 200\sqrt{3} \).
C salah karena \( 200\sqrt{6} \) terlalu besar dibanding hasil aturan cosinus untuk sudut \( 60^\circ \).
D salah karena \( 200\sqrt{7} \) akan sesuai jika sudut di \( B \) jauh lebih tumpul.
E salah karena \( 600 \) mil bukan jarak \( AC \), melainkan penjumlahan lintasan tertentu, sedangkan yang diminta jarak langsung \( C \) ke \( A \).
Soal 22.
Diketahui kubus \( ABCD.EFGH \) dengan panjang rusuk \( 8 \) cm. Jarak titik \( E \) ke garis \( FD \) adalah ....
A. \( \dfrac{8}{3}\sqrt{2} \) cm
B. \( \dfrac{8}{3}\sqrt{3} \) cm
C. \( \dfrac{8}{3}\sqrt{6} \) cm
D. \( \dfrac{10}{3}\sqrt{6} \) cm
E. \( 4\sqrt{6} \) cm
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Langkah 1: Buat koordinat kubus.
Ambil \( A(0,0,0) \), \( B(8,0,0) \), \( C(8,8,0) \), \( D(0,8,0) \), \( E(0,0,8) \), \( F(8,0,8) \).
Langkah 2: Gunakan rumus jarak titik ke garis dengan vektor.
Garis \( FD \) punya vektor arah \( \overrightarrow{FD} = D - F = (0-8,\;8-0,\;0-8) = (-8,8,-8) \).
Ambil vektor \( \overrightarrow{FE} = E - F = (0-8,\;0-0,\;8-8) = (-8,0,0) \).
Jarak titik \( E \) ke garis \( FD \):
\( d = \dfrac{\left\lVert \overrightarrow{FE} \times \overrightarrow{FD} \right\rVert}{\left\lVert \overrightarrow{FD} \right\rVert} \).
Langkah 3: Hitung panjang vektor.
\( \overrightarrow{FE} \times \overrightarrow{FD} = (-8,0,0)\times(-8,8,-8) = (0,-64,-64) \).
\( \left\lVert \overrightarrow{FE} \times \overrightarrow{FD} \right\rVert = \sqrt{0^2+(-64)^2+(-64)^2} = 64\sqrt{2} \).
\( \left\lVert \overrightarrow{FD} \right\rVert = \sqrt{(-8)^2+8^2+(-8)^2} = 8\sqrt{3} \).
Langkah 4: Hitung jarak.
\( d = \dfrac{64\sqrt{2}}{8\sqrt{3}} = 8\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{8\sqrt{6}}{3} \) cm.
Analisis opsi:
A salah karena hasil memuat \( \sqrt{6} \), bukan \( \sqrt{2} \).
B salah karena hasil memuat \( \sqrt{6} \), bukan \( \sqrt{3} \).
C benar karena sama dengan \( \dfrac{8\sqrt{6}}{3} \).
D salah karena koefisiennya tidak sesuai (lebih besar dari hasil benar).
E salah karena \( 4\sqrt{6} = \dfrac{12\sqrt{6}}{3} \) lebih besar dari \( \dfrac{8\sqrt{6}}{3} \).
Soal 23.
Diketahui rusuk kubus \( ABCD.EFGH \) adalah \( a \) satuan, tangen sudut antara garis \( AH \) dan bidang \( BDHF \) adalah ....
A. \( \dfrac{1}{3} \)
B. \( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \)
C. \( \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \)
D. \( 1 \)
E. \( \sqrt{3} \)
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Langkah 1: Gunakan koordinat.
Ambil \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( D(0,a,0) \), \( F(a,0,a) \), \( H(0,a,a) \).
Langkah 2: Tentukan persamaan bidang \( BDHF \).
Titik \( B(a,0,0) \) memberi \( x+y=a \).
Titik \( D(0,a,0) \) memberi \( x+y=a \).
Titik \( F(a,0,a) \) dan \( H(0,a,a) \) juga memenuhi \( x+y=a \).
Jadi bidang \( BDHF \) adalah \( x+y=a \) dengan vektor normal \( \vec{n}=(1,1,0) \).
Langkah 3: Vektor arah garis \( AH \).
\( \overrightarrow{AH} = H-A = (0,a,a) = a(0,1,1) \). Ambil \( \vec{u}=(0,1,1) \).
Langkah 4: Hitung \( \tan \theta \) sudut garis terhadap bidang.
Jika \( \theta \) sudut antara garis dan bidang, maka:
\( \tan \theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{\left\lVert \vec{u}\times\vec{n} \right\rVert} \).
Hitung hasil kali titik:
\( \vec{u}\cdot\vec{n} = (0,1,1)\cdot(1,1,0) = 1 \).
Hitung hasil kali silang:
\( \vec{u}\times\vec{n} = (0,1,1)\times(1,1,0) = (-1,1,-1) \).
\( \left\lVert \vec{u}\times\vec{n} \right\rVert = \sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3} \).
Maka:
\( \tan \theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \).
Analisis opsi:
A salah karena tidak sesuai \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \).
B salah karena \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \gt \dfrac{\sqrt{3}}{3} \).
C benar karena \( \dfrac{1}{3}\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \).
D salah karena \( 1 \) menuntut sudut \( 45^\circ \) yang tidak sesuai konfigurasi ini.
E salah karena \( \sqrt{3} \) terlalu besar.
Soal 24.
Persamaan bayangan kurva \( y = 2x^2 - 8 \) oleh translasi \( T=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix} \) dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat \( (0,0) \) dan faktor skala \( 2 \) adalah ....
A. \( y = x^2 + 6x + 16 \)
B. \( y = x^2 - 6x - 24 \)
C. \( y = x^2 + 12x + 24 \)
D. \( y = x^2 + 12x + 16 \)
E. \( y = x^2 - 12x + 16 \)
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Langkah 1: Terapkan translasi \( T=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix} \).
Translasi \( (-3,2) \) berarti titik bergeser \( 3 \) ke kiri dan \( 2 \) ke atas.
Jika kurva awal \( y = 2x^2 - 8 \), maka kurva hasil translasi diperoleh dengan substitusi \( x \to x+3 \) dan \( y \to y-2 \):
\( y-2 = 2(x+3)^2 - 8 \).
\( y = 2(x+3)^2 - 6 \).
\( y = 2(x^2+6x+9) - 6 = 2x^2 + 12x + 12 \).
Langkah 2: Terapkan dilatasi pusat \( (0,0) \), skala \( 2 \).
Dilatasi skala \( 2 \) memetakan \( (x,y) \to (2x,2y) \).
Untuk mendapatkan persamaan bayangan, gunakan substitusi balik: \( x \to \dfrac{x}{2} \) dan \( y \to \dfrac{y}{2} \) pada persamaan sebelum dilatasi.
Dari \( y = 2x^2 + 12x + 12 \) menjadi:
\( \dfrac{y}{2} = 2\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 + 12\left(\dfrac{x}{2}\right) + 12 \).
\( \dfrac{y}{2} = \dfrac{x^2}{2} + 6x + 12 \).
Kalikan \( 2 \): \( y = x^2 + 12x + 24 \).
Analisis opsi:
A dan D salah karena konstanta dan koefisien \( x \) tidak cocok dengan hasil transformasi.
B dan E salah karena tanda koefisien \( x \) berlawanan, padahal dari translasi ke kiri muncul \( +12x \).
C benar karena persamaan akhir \( y = x^2 + 12x + 24 \).
Soal 25.
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran \( x^2 + y^2 - 2x + 6y - 10 = 0 \) yang sejajar dengan garis \( 2x - y + 4 = 0 \) adalah ....
A. \( 2x - y = 14 \)
B. \( 2x - y = 10 \)
C. \( 2x - y = 5 \)
D. \( 2x - y = -5 \)
E. \( 2x - y = -6 \)
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.
\( x^2 + y^2 - 2x + 6y - 10 = 0 \).
Kelompokkan dan lengkapi kuadrat:
\( (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 10 \).
\( (x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 = 10 \).
\( (x-1)^2 + (y+3)^2 = 20 \).
Pusat \( (1,-3) \) dan jari-jari \( r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).
Langkah 2: Bentuk garis sejajar.
Garis sejajar \( 2x - y + 4 = 0 \) punya bentuk \( 2x - y + c = 0 \).
Langkah 3: Syarat singgung (jarak pusat ke garis sama dengan jari-jari).
Jarak pusat \( (1,-3) \) ke garis \( 2x - y + c = 0 \) adalah:
\( d = \dfrac{|2(1) - (-3) + c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|5+c|}{\sqrt{5}} \).
Syarat singgung: \( \dfrac{|5+c|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \Rightarrow |5+c| = 10 \).
Maka \( 5+c = 10 \Rightarrow c=5 \) atau \( 5+c = -10 \Rightarrow c=-15 \).
Garis singgungnya:
\( 2x - y + 5 = 0 \Rightarrow 2x - y = -5 \) atau \( 2x - y - 15 = 0 \Rightarrow 2x - y = 15 \).
Analisis opsi:
A salah karena \( 14 \) bukan \( 15 \) atau \( -5 \).
B salah karena \( 10 \) bukan \( 15 \) atau \( -5 \).
C salah karena \( 5 \) bukan \( 15 \) atau \( -5 \).
D benar karena sesuai salah satu hasil, yaitu \( 2x - y = -5 \).
E salah karena \( -6 \) bukan \( -5 \).