Soal 16.
Aturan main:
Dalam sebuah kotak tersedia \(10\) bendera dan harus dipindahkan ke dalam botol yang tersedia satu demi satu (tidak sekaligus). Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol nomor \(10\) untuk mengambil bendera dalam kotak. Jarak kotak ke botol \(1\) adalah \(10\ \text{m}\) dan jarak antarbotal berurutan adalah \(8\ \text{m}\). Peserta menaruh bendera pertama ke botol \(1\), bendera kedua ke botol \(2\), dan seterusnya sampai bendera ke-\(10\) ke botol \(10\). Jarak tempuh total peserta adalah ....
A. \(164\ \text{meter}\)
B. \(880\ \text{meter}\)
C. \(920\ \text{meter}\)
D. \(1.000\ \text{meter}\)
E. \(1.840\ \text{meter}\)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Tentukan jarak kotak ke botol ke-\(k\).
Diketahui jarak kotak ke botol \(1\) adalah \(10\ \text{m}\) dan jarak antarbotal \(8\ \text{m}\). Maka jarak ke botol ke-\(k\) membentuk barisan aritmetika:
\(d_k = 10 + (k-1)\cdot 8\).
Sehingga:
\(d_{10} = 10 + 9\cdot 8 = 82\ \text{m}\).
Langkah 2: Hitung jarak tempuh berdasarkan urutan kerja peserta.
Peserta mulai dari botol \(10\) menuju kotak terlebih dahulu, jadi menempuh \(d_{10} = 82\ \text{m}\).
Untuk bendera ke-\(1\) sampai bendera ke-\(9\): peserta selalu pergi dari kotak ke botol tujuan lalu kembali ke kotak untuk mengambil bendera berikutnya. Jadi untuk botol ke-\(k\) (dengan \(1 \le k \le 9\)) jaraknya \(2d_k\).
Untuk bendera ke-\(10\) (botol \(10\)): peserta hanya pergi dari kotak ke botol \(10\) dan selesai, jadi menempuh \(d_{10}\) sekali.
Jadi total jarak:
\(T = d_{10} + \sum_{k=1}^{9} 2d_k + d_{10}\).
Langkah 3: Hitung \(\sum_{k=1}^{9} d_k\).
\(d_1 = 10\) dan \(d_9 = 10 + 8\cdot 8 = 74\).
Banyak suku \(= 9\).
Maka jumlah deret aritmetika:
\(\sum_{k=1}^{9} d_k = \frac{9}{2}(d_1 + d_9) = \frac{9}{2}(10+74) = \frac{9}{2}\cdot 84 = 378\).
Langkah 4: Substitusi ke total.
\(T = 82 + 2(378) + 82 = 82 + 756 + 82 = 920\).
Kesimpulan: Jarak tempuh total peserta adalah \(920\ \text{meter}\), sehingga jawaban yang benar adalah C.
Analisis opsi:
A: \(164\ \text{m}\) terlalu kecil karena bahkan perjalanan dari botol \(10\) ke kotak saja sudah \(82\ \text{m}\), sementara peserta harus bolak-balik berkali-kali untuk memindahkan \(10\) bendera.
B: \(880\ \text{m}\) biasanya muncul jika ada satu perjalanan yang terlewat saat menjumlahkan bolak-balik untuk salah satu botol.
C: \(920\ \text{m}\) tepat karena mencakup start dari botol \(10\) ke kotak, bolak-balik untuk botol \(1\)–\(9\), dan perjalanan terakhir kotak ke botol \(10\) tanpa kembali.
D: \(1.000\ \text{m}\) terlalu besar, biasanya akibat menambahkan perjalanan yang tidak perlu (misalnya menganggap setelah menaruh bendera di botol \(10\) harus kembali lagi ke kotak).
E: \(1.840\ \text{m}\) adalah \(2 \times 920\ \text{m}\), biasanya karena menggandakan seluruh total seolah-olah semua tahap selalu pulang-pergi termasuk tahap terakhir.
Soal 17.
Seutas tali dipotong-potong menjadi \(6\) bagian. Panjang potongan-potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek \(10\ \text{cm}\) dan terpanjang \(320\ \text{cm}\), maka panjang tali sebelum dipotong adalah ....
A. \(310\ \text{cm}\)
B. \(470\ \text{cm}\)
C. \(550\ \text{cm}\)
D. \(630\ \text{cm}\)
E. \(650\ \text{cm}\)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Bentuk barisan geometri. Karena ada \(6\) potongan, misalkan panjangnya berturut-turut \(a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5\) dengan \(r \gt 0\).
Langkah 2: Gunakan informasi terpendek dan terpanjang.
Terpendek \(= a = 10\).
Terpanjang \(= ar^5 = 320\).
Maka:
\(10r^5 = 320 \Rightarrow r^5 = 32 \Rightarrow r = 2\).
Langkah 3: Jumlahkan semua potongan. Panjang tali semula adalah jumlah \(6\) suku:
\(S_6 = a\frac{r^6-1}{r-1} = 10\cdot\frac{2^6-1}{2-1} = 10(64-1) = 630\).
Jawaban benar: D yaitu \(630\ \text{cm}\).
Analisis opsi:
A: \(310\ \text{cm}\) terlalu kecil, bahkan jika dijumlahkan tanpa rasio besar sekalipun sulit mencapai rentang sampai \(320\ \text{cm}\) untuk suku terakhir.
B: \(470\ \text{cm}\) biasanya muncul jika salah menentukan pangkat, misalnya mengira \(320 = ar^4\) padahal ada \(6\) suku sehingga suku ke-6 adalah \(ar^5\).
C: \(550\ \text{cm}\) sering muncul jika salah memakai rumus jumlah deret geometri atau salah menghitung \(2^6\).
D: tepat, sesuai \(r=2\) dan penjumlahan \(10+20+40+80+160+320\).
E: \(650\ \text{cm}\) bisa muncul jika melakukan pembulatan keliru atau salah menjumlahkan suku.
Soal 18.
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri \( \cos 2x + \sin x = 0 \) untuk \(0^\circ \lt x \lt 360^\circ\) adalah ....
A. \(\{60^\circ,120^\circ,150^\circ\}\)
B. \(\{60^\circ,150^\circ,300^\circ\}\)
C. \(\{90^\circ,210^\circ,300^\circ\}\)
D. \(\{90^\circ,210^\circ,330^\circ\}\)
E. \(\{120^\circ,250^\circ,330^\circ\}\)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Ubah \(\cos 2x\) ke bentuk \(\sin x\). Gunakan identitas \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
Substitusi ke persamaan:
\(1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0\).
Langkah 2: Misalkan \(s = \sin x\).
\(1 - 2s^2 + s = 0 \Rightarrow 2s^2 - s - 1 = 0\).
Langkah 3: Faktorkan.
\(2s^2 - s - 1 = (2s+1)(s-1)=0\).
Maka \(s=1\) atau \(s=-\frac{1}{2}\).
Langkah 4: Kembalikan ke nilai \(x\) pada \(0^\circ \lt x \lt 360^\circ\).
Jika \(\sin x = 1\), maka \(x=90^\circ\).
Jika \(\sin x = -\frac{1}{2}\), maka \(x=210^\circ\) atau \(x=330^\circ\).
Jadi jawabannya D yaitu \(\{90^\circ,210^\circ,330^\circ\}\).
Analisis opsi:
A dan B tidak memuat \(90^\circ\) padahal \(\sin x = 1\) adalah salah satu solusi.
C memuat \(300^\circ\) padahal \(\sin 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), bukan \(-\frac{1}{2}\).
D tepat.
E memuat \(250^\circ\) yang bukan sudut dengan \(\sin x=-\frac{1}{2}\).
Soal 19.
Persamaan grafik fungsi trigonometri berikut adalah .... )
A. \(y = -\cos(2x + 60^\circ)\)
B. \(y = -\sin(2x + 60^\circ)\)
C. \(y = \cos(2x + 60^\circ)\)
D. \(y = \sin(2x - 60^\circ)\)
E. \(y = \cos(2x - 60^\circ)\)
Jawaban & Analisis
Informasi penting dari grafik: Pada \(x=15^\circ\) grafik berada di titik minimum \(y=-1\). Ini petunjuk kuat karena nilai \(-1\) hanya terjadi pada \(\sin\) atau \(\cos\) di sudut tertentu.
Uji masing-masing bentuk pada \(x=15^\circ\).
Opsi A: \(y=-\cos(2x+60^\circ)\) memberi \(y=-\cos(2\cdot 15^\circ+60^\circ)=-\cos 90^\circ=0\), tidak sama dengan \(-1\).
Opsi B: \(y=-\sin(2x+60^\circ)\) memberi \(y=-\sin(2\cdot 15^\circ+60^\circ)=-\sin 90^\circ=-1\), sesuai grafik.
Opsi C: \(y=\cos(2x+60^\circ)\) memberi \(y=\cos 90^\circ=0\), tidak sama dengan \(-1\).
Opsi D: \(y=\sin(2x-60^\circ)\) memberi \(y=\sin(30^\circ-60^\circ)=\sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}\), tidak sama dengan \(-1\).
Opsi E: \(y=\cos(2x-60^\circ)\) memberi \(y=\cos(-30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), tidak sama dengan \(-1\).
Kesimpulan: Hanya opsi B yang tepat.
Jawaban benar: B yaitu \(y=-\sin(2x+60^\circ)\).
Soal 20.
Nilai dari \( \frac{\sin 280^\circ - \sin 20^\circ}{\cos 340^\circ - \cos 80^\circ} \) adalah ....
A. \(-\sqrt{3}\)
B. \(-1\)
C. \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\)
D. \(1\)
E. \(\sqrt{3}\)
Jawaban & Analisis
Langkah 1: Sederhanakan sudut-sudut dengan identitas kuadran.
\(\sin 280^\circ = \sin(360^\circ-80^\circ) = -\sin 80^\circ\).
\(\cos 340^\circ = \cos(360^\circ-20^\circ) = \cos 20^\circ\).
Maka pecahan menjadi:
\(\frac{-\sin 80^\circ - \sin 20^\circ}{\cos 20^\circ - \cos 80^\circ}\).
Langkah 2: Gunakan rumus jumlah-ke-hasil kali untuk pembilang.
\(\sin 80^\circ + \sin 20^\circ = 2\sin\left(\frac{80^\circ+20^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{80^\circ-20^\circ}{2}\right)\).
\(\sin 80^\circ + \sin 20^\circ = 2\sin 50^\circ \cos 30^\circ = 2\sin 50^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin 50^\circ\).
Jadi pembilang:
\(-(\sin 80^\circ + \sin 20^\circ) = -\sqrt{3}\sin 50^\circ\).
Langkah 3: Gunakan rumus selisih kosinus untuk penyebut.
\(\cos 20^\circ - \cos 80^\circ = -2\sin\left(\frac{20^\circ+80^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{20^\circ-80^\circ}{2}\right)\).
\(\cos 20^\circ - \cos 80^\circ = -2\sin 50^\circ \sin(-30^\circ) = -2\sin 50^\circ \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin 50^\circ\).
Langkah 4: Bagi pembilang dengan penyebut.
\(\frac{-\sqrt{3}\sin 50^\circ}{\sin 50^\circ} = -\sqrt{3}\).
Jawaban benar: A yaitu \(-\sqrt{3}\).
Analisis opsi:
B dan D bisa muncul jika salah memakai rumus selisih kosinus atau salah tanda pada \(\sin 280^\circ\).
C sering muncul jika salah membagi dan mengira hasilnya \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) padahal penyederhanaannya langsung habis oleh \(\sin 50^\circ\).
E salah tanda, biasanya karena lupa bahwa \(\sin 280^\circ\) bernilai negatif.