Soal 11.
Diketahui \( f(x)=3x^3+ax^2-7x+4 \). Jika \( f(x) \) dibagi \( (3x-1) \) bersisa \( 2 \). Jika \( f(x) \) dibagi \( (x+2) \), hasil baginya adalah ....
A. \( 3x^2+10x-13 \)
B. \( 3x^2-10x-13 \)
C. \( 3x^2+10x+13 \)
D. \( 3x^2-4x-1 \)
E. \( 3x^2-4x+1 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (teorema sisa untuk \( (3x-1) \)): Jika dibagi \( (3x-1) \) sisanya \( 2 \), maka \( f\left(\dfrac{1}{3}\right)=2 \) karena \( 3\left(\dfrac{1}{3}\right)-1=0 \).
Langkah 2 (hitung \( f\left(\dfrac{1}{3}\right) \)):
\( f\left(\dfrac{1}{3}\right)=3\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+a\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-7\left(\dfrac{1}{3}\right)+4 \)
\( =3\cdot\dfrac{1}{27}+a\cdot\dfrac{1}{9}-\dfrac{7}{3}+4 \)
\( =\dfrac{1}{9}+\dfrac{a}{9}-\dfrac{7}{3}+4 \)
Langkah 3 (samakan dengan 2 untuk mencari \( a \)):
\( \dfrac{1+a}{9}-\dfrac{7}{3}+4=2 \)
Ubah \( -\dfrac{7}{3}+4=-\dfrac{7}{3}+\dfrac{12}{3}=\dfrac{5}{3} \), sehingga
\( \dfrac{1+a}{9}+\dfrac{5}{3}=2 \)
\( \dfrac{1+a}{9}=2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{6}{3}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{3} \)
Kalikan \( 9 \): \( 1+a=3 \Rightarrow a=2 \).
Langkah 4 (bagi \( f(x) \) oleh \( (x+2) \)): Setelah \( a=2 \),
\( f(x)=3x^3+2x^2-7x+4 \).
Lakukan pembagian sintetis untuk pembagi \( (x+2) \) berarti akar \( x=-2 \).
Koefisien: \( 3,\ 2,\ -7,\ 4 \).
Turunkan \( 3 \).
\( 3\cdot(-2)=-6 \), \( 2+(-6)=-4 \).
\( -4\cdot(-2)=8 \), \( -7+8=1 \).
\( 1\cdot(-2)=-2 \), \( 4+(-2)=2 \) (sisa).
Langkah 5 (tulis hasil bagi): Koefisien hasil bagi adalah \( 3,\ -4,\ 1 \), sehingga
Hasil bagi \( =3x^2-4x+1 \).
Cek cepat (opsional): Sisa pembagian oleh \( (x+2) \) adalah \( f(-2)=2 \), sesuai hasil sintetis.
Jawaban: E yaitu \( 3x^2-4x+1 \).
Soal 12.
Diketahui \( (x+1) \) dan \( (x-2) \) adalah faktor-faktor persamaan suku banyak \( x^3-ax^2-bx+2=0 \). Jika \( x_1, x_2, \) dan \( x_3 \) adalah akar-akar persamaan tersebut dengan \( x_1 \lt x_2 \lt x_3 \), nilai \( 2x_1-x_2+x_3 \) adalah ....
A. \( -5 \)
B. \( -3 \)
C. \( -1 \)
D. \( 3 \)
E. \( 5 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (akar dari faktor): Jika \( (x+1) \) faktor, maka \( x=-1 \) adalah akar. Jika \( (x-2) \) faktor, maka \( x=2 \) adalah akar.
Langkah 2 (Vieta untuk hasil kali akar): Untuk \( x^3+px^2+qx+r=0 \), hasil kali akar \( x_1x_2x_3=-r \).
Pada \( x^3-ax^2-bx+2=0 \), diperoleh \( r=2 \), sehingga \( x_1x_2x_3=-2 \).
Langkah 3 (cari akar ketiga): Misal akar ketiga \( r \). Maka
\( (-1)\cdot 2 \cdot r=-2 \Rightarrow -2r=-2 \Rightarrow r=1 \).
Langkah 4 (urutkan akar): Akar-akarnya \( -1, 1, 2 \), sehingga \( x_1=-1 \), \( x_2=1 \), \( x_3=2 \) karena \( x_1 \lt x_2 \lt x_3 \).
Langkah 5 (hitung yang diminta):
\( 2x_1-x_2+x_3=2(-1)-1+2=-2-1+2=-1 \).
Jawaban: C yaitu \( -1 \).
Soal 13.
Diketahui persamaan matriks \( 3\begin{pmatrix}-4 & 2\\10 & 3\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1 & -4\\-3 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & x\\2 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & y\\4 & 1\end{pmatrix} \). Nilai \( 2y-3x \) = ....
A. \( -9 \)
B. \( -7 \)
C. \( -4 \)
D. \( 8 \)
E. \( 11 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (hitung ruas kiri):
\( 3\begin{pmatrix}-4 & 2\\10 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12 & 6\\30 & 9\end{pmatrix} \)
\( 2\begin{pmatrix}1 & -4\\-3 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -8\\-6 & -2\end{pmatrix} \)
Jumlahnya \( \begin{pmatrix}-12 & 6\\30 & 9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & -8\\-6 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & -2\\24 & 7\end{pmatrix} \).
Langkah 2 (kali matriks ruas kanan):
\( \begin{pmatrix}1 & x\\2 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & y\\4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 2+x\cdot 4 & 1\cdot y+x\cdot 1\\2\cdot 2+5\cdot 4 & 2\cdot y+5\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+4x & x+y\\24 & 2y+5\end{pmatrix}.
Langkah 3 (samakan elemen-elemen matriks):
Dari kesamaan \( \begin{pmatrix}2+4x & x+y\\24 & 2y+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & -2\\24 & 7\end{pmatrix} \), diperoleh:
\( 2+4x=-10 \Rightarrow 4x=-12 \Rightarrow x=-3 \).
\( x+y=-2 \Rightarrow -3+y=-2 \Rightarrow y=1 \).
Langkah 4 (hitung \( 2y-3x \)):
\( 2y-3x=2(1)-3(-3)=2+9=11 \).
Jawaban: E yaitu \( 11 \).
Soal 14.
Diketahui persamaan matriks: \( \begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 1\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}-3 & 5\\1 & 7\end{pmatrix} \) dengan matriks \( A \) berordo \( 2\times 2 \). Determinan matriks \( A \) adalah ....
A. \( -14 \)
B. \( -16 \)
C. \( -24 \)
D. \( -26 \)
E. \( -36 \)
Jawaban & Analisis
Ide kunci: Jika \( MA=R \), maka \( \det(MA)=\det(M)\det(A)=\det(R) \), sehingga \( \det(A)=\dfrac{\det(R)}{\det(M)} \).
Langkah 1 (hitung \( \det(M) \)):
\( \det\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 1\end{pmatrix}=3\cdot 1-1\cdot 2=1 \).
Langkah 2 (hitung \( \det(R) \)):
\( \det\begin{pmatrix}-3 & 5\\1 & 7\end{pmatrix}=(-3)\cdot 7-5\cdot 1=-21-5=-26 \).
Langkah 3 (tentukan \( \det(A) \)):
\( \det(A)=\dfrac{-26}{1}=-26 \).
Jawaban: D yaitu \( -26 \).
Soal 15.
Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua adalah \( 8 \), suku keempat adalah \( 14 \), dan suku terakhir \( 23 \). Jumlah semua suku barisan tersebut adalah ....
A. \( 56 \)
B. \( 77 \)
C. \( 98 \)
D. \( 105 \)
E. \( 112 \)
Jawaban & Analisis
Langkah 1 (model barisan): Misal suku pertama \( a \) dan beda \( d \). Maka \( U_n=a+(n-1)d \).
Langkah 2 (gunakan data suku ke-2 dan ke-4):
\( U_2=a+d=8 \)
\( U_4=a+3d=14 \)
Kurangkan: \( (a+3d)-(a+d)=14-8 \Rightarrow 2d=6 \Rightarrow d=3 \).
Dari \( a+d=8 \Rightarrow a+3=8 \Rightarrow a=5 \).
Langkah 3 (cari banyak suku \( n \)):
Suku terakhir \( U_n=23 \Rightarrow 5+(n-1)3=23 \Rightarrow 3(n-1)=18 \Rightarrow n=7 \).
Langkah 4 (jumlah \( n \) suku): Gunakan rumus \( S_n=\dfrac{n}{2}(U_1+U_n) \).
\( S_7=\dfrac{7}{2}(5+23)=\dfrac{7}{2}\cdot 28=98 \).
Jawaban: C yaitu \( 98 \).