Soal 6.
Diketahui fungsi \( f(x) = (a+1)x^2 - 2ax + (a-2) \) definit negatif. Nilai \( a \) yang memenuhi adalah ….
A. |
\( a \lt 2 \) |
B. |
\( a \gt -2 \) |
C. |
\( a \lt -1 \) |
D. |
\( a \lt -2 \) |
E. |
\( a \gt 1 \) |
Jawaban dan Analisis
Konsep: Kuadrat \( f(x)=Ax^2+Bx+C \) definit negatif berarti \( f(x) \lt 0 \) untuk semua \( x \). Syaratnya: \( A \lt 0 \) dan \( \Delta \lt 0 \).
Langkah 1 (syarat \( A \lt 0 \)): Koefisien \( x^2 \) adalah \( A=a+1 \), maka \( a+1 \lt 0 \Rightarrow a \lt -1 \).
Langkah 2 (syarat \( \Delta \lt 0 \)): \( B=-2a \) dan \( C=a-2 \).
\( \Delta = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4(a+1)(a-2) \).
\( \Delta = 4a^2 - 4\big((a+1)(a-2)\big) \).
\( (a+1)(a-2)=a^2-a-2 \), sehingga \( \Delta = 4a^2 - 4(a^2-a-2)=4a+8 \).
\( \Delta \lt 0 \Rightarrow 4a+8 \lt 0 \Rightarrow a \lt -2 \).
Gabungan syarat: \( a \lt -1 \) dan \( a \lt -2 \) menghasilkan \( a \lt -2 \).
Jawaban: D yaitu \( a \lt -2 \).
Soal 7.
Di toko koperasi sekolah, bendahara OSIS membeli 5 buku dan 4 pena, ketua OSIS membeli 4 buku dan 5 pena dengan jenis yang sama. Bendahara OSIS harus membayar Rp33.000,00 dan ketua OSIS harus membayar Rp30.000,00. Jika sekretaris OSIS membeli 2 buku dan 1 pena dengan jenis yang sama dan ia membayar dengan uang Rp20.000,00, uang kembalian yang diterimanya adalah ….
A. | Rp18.000,00 |
B. | Rp12.000,00 |
C. | Rp11.000,00 |
D. | Rp9.000,00 |
E. | Rp8.000,00 |
Jawaban dan Analisis
Misalkan harga 1 buku \( = b \) dan harga 1 pena \( = p \).
Dari pembelian bendahara OSIS: \( 5b+4p=33000 \).
Dari pembelian ketua OSIS: \( 4b+5p=30000 \).
Eliminasi: Kalikan persamaan pertama dengan \( 4 \) dan persamaan kedua dengan \( 5 \).
\( 4(5b+4p)=4(33000) \Rightarrow 20b+16p=132000 \).
\( 5(4b+5p)=5(30000) \Rightarrow 20b+25p=150000 \).
Kurangkan: \( (20b+25p)-(20b+16p)=150000-132000 \Rightarrow 9p=18000 \Rightarrow p=2000 \).
Substitusi ke \( 5b+4p=33000 \):
\( 5b+4(2000)=33000 \Rightarrow 5b+8000=33000 \Rightarrow 5b=25000 \Rightarrow b=5000 \).
Belanja sekretaris: \( 2b+p=2(5000)+2000=12000 \).
Kembalian: \( 20000-12000=8000 \).
Jawaban: E Rp8.000,00.
Soal 8.
Sebuah toko menyediakan dua macam tenda. Tenda jenis I dapat menampung 10 orang dengan harga Rp150.000,00. Tenda jenis II dapat menampung 4 orang dengan harga Rp100.000,00. Satu regu Pramuka dengan anggota 110 orang berencana mengadakan kemah. Jika banyak tenda yang dibutuhkan paling sedikit 20 tenda, banyak tenda II yang harus dibeli agar pengeluaran seminimum mungkin adalah ….
A. | 10 tenda |
B. | 11 tenda |
C. | 15 tenda |
D. | 17 tenda |
E. | 20 tenda |
Jawaban dan Analisis
Misalkan: banyak tenda jenis I \( = x \) dan tenda jenis II \( = y \), dengan \( x \ge 0 \) dan \( y \ge 0 \).
Kendala kapasitas: \( 10x+4y \ge 110 \).
Kendala jumlah tenda: \( x+y \ge 20 \).
Fungsi biaya (yang diminimumkan): \( C=150000x+100000y \).
Ide penting: Jika \( x+y \gt 20 \), maka jumlah tenda lebih banyak sehingga biaya cenderung bertambah. Agar biaya minimum, ambil jumlah tenda tepat \( x+y=20 \).
Dari \( x+y=20 \Rightarrow y=20-x \).
Substitusi ke kapasitas \( 10x+4y \ge 110 \):
\( 10x+4(20-x) \ge 110 \Rightarrow 10x+80-4x \ge 110 \Rightarrow 6x \ge 30 \Rightarrow x \ge 5 \).
Karena biaya tenda II lebih murah per tenda, maka untuk biaya minimum kita ambil \( x \) sekecil mungkin tetapi tetap memenuhi kapasitas, yaitu \( x=5 \).
Jika \( x=5 \), maka \( y=20-5=15 \).
Jawaban: C yaitu 15 tenda.
Soal 9.
Diketahui \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dan \( g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) didefinisikan dengan \( f(x)=x^2-2x-3 \) dan \( g(x)=x+6 \). Fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \) adalah ….
A. | \( (f \circ g)(x)=x^2-2x+3 \) |
B. | \( (f \circ g)(x)=x^2-2x-9 \) |
C. | \( (f \circ g)(x)=x^2+10x-21 \) |
D. | \( (f \circ g)(x)=x^2+10x+21 \) |
E. | \( (f \circ g)(x)=x^2-10x-21 \) |
Jawaban dan Analisis
Konsep: \( (f \circ g)(x)=f(g(x)) \), artinya masukkan \( g(x) \) ke rumus \( f \).
Diketahui \( g(x)=x+6 \), maka:
\( (f \circ g)(x)=f(x+6) \).
Substitusi ke \( f(x)=x^2-2x-3 \):
\( f(x+6)=(x+6)^2-2(x+6)-3 \).
Hitung:
\( (x+6)^2=x^2+12x+36 \).
Sehingga \( f(x+6)=x^2+12x+36-2x-12-3=x^2+10x+21 \).
Jawaban: D yaitu \( (f \circ g)(x)=x^2+10x+21 \).
Soal 10.
Diketahui fungsi \( f(x)=5x+3 \) dan \( g(x)=\dfrac{2x+1}{x-7} \), \( x \ne 7 \). Invers dari \( (f \circ g)(x) \) adalah ….
A. | \( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{7x+20}{x-10} \), \( x \ne 10 \) |
B. | \( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{7x+8}{x-10} \), \( x \ne 10 \) |
C. | \( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{7x-16}{x-10} \), \( x \ne 10 \) |
D. | \( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{7x-16}{x-13} \), \( x \ne 13 \) |
E. | \( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{7x-26}{x-13} \), \( x \ne 13 \) |
Jawaban dan Analisis
Langkah 1 (cari \( (f \circ g)(x) \)): \( (f \circ g)(x)=f(g(x)) \).
\( (f \circ g)(x)=5\left(\dfrac{2x+1}{x-7}\right)+3 \).
Samakan penyebut:
\( (f \circ g)(x)=\dfrac{10x+5}{x-7}+3=\dfrac{10x+5+3(x-7)}{x-7}=\dfrac{10x+5+3x-21}{x-7}=\dfrac{13x-16}{x-7} \).
Domain komposisi tetap \( x \ne 7 \).
Langkah 2 (cari invers): Misalkan \( y=\dfrac{13x-16}{x-7} \).
Kalikan silang: \( y(x-7)=13x-16 \).
\( yx-7y=13x-16 \Rightarrow yx-13x=7y-16 \).
Faktorkan \( x \): \( x(y-13)=7y-16 \).
Maka \( x=\dfrac{7y-16}{y-13} \).
Langkah 3 (tulis invers): Ganti \( y \) dengan \( x \) sehingga:
\( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{7x-16}{x-13} \).
Syarat penyebut \( \ne 0 \) sehingga \( x \ne 13 \).
Jawaban: D yaitu \( (f \circ g)^{-1}(x)=\dfrac{7x-16}{x-13} \), \( x \ne 13 \).