Daerah berada di kuadran I, maka batas \(x\) dimulai dari \(x=0\). Titik potong kurva dengan sumbu \(X\) diperoleh dari \( y=0 \Rightarrow 1 - \frac{x^{2}}{4}=0 \Rightarrow x^{2}=4 \Rightarrow x=2 \). Jadi \( 0 \le x \le 2 \).

Diputar terhadap sumbu \(X\) (metode cakram), jari-jari cakram adalah \( r(x)=y \). Maka volume: \( V = \pi \int_{0}^{2} \left(1 - \frac{x^{2}}{4}\right)^{2} \, dx \).

Kembangkan: \( \left(1 - \frac{x^{2}}{4}\right)^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{16} \). Jadi \( V = \pi \int_{0}^{2} \left(1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{16}\right)\,dx \).

Hitung integral: \( \int \left(1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{16}\right)dx = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{80} \). Substitusi \(0\) sampai \(2\): \( \left(2 - \frac{8}{6} + \frac{32}{80}\right) = \left(2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5}\right) \).

Samakan penyebut: \( 2 = \frac{30}{15} \), \( \frac{4}{3}=\frac{20}{15} \), \( \frac{2}{5}=\frac{6}{15} \), sehingga \( \frac{30}{15} - \frac{20}{15} + \frac{6}{15} = \frac{16}{15} \). Maka \( V = \frac{16}{15}\pi \).

Jadi jawaban yang benar adalah C, yaitu \( \frac{16}{15}\pi \).

Misalkan \( u = 3 - 2x \), maka \( f(x) = (\sin u)^{3} \).

Turunkan dengan aturan rantai: \( \frac{d}{dx}(\sin^{3}u) = 3\sin^{2}u \cdot \cos u \cdot \frac{du}{dx} \).

Karena \( u = 3 - 2x \), maka \( \frac{du}{dx} = -2 \). Jadi \( f'(x) = 3\sin^{2}(3-2x)\cos(3-2x)\cdot(-2) \).

Maka \( f'(x) = -6\sin^{2}(3-2x)\cos(3-2x) \).

Jadi jawaban yang benar adalah D.

Gunakan identitas hasil kali ke jumlah: \( \cos A \cos B = \frac{1}{2}\left(\cos(A-B) + \cos(A+B)\right) \).

Ambil \( A=x \) dan \( B=4x \), maka: \( \cos x \cos 4x = \frac{1}{2}\left(\cos( x-4x ) + \cos( x+4x )\right) \) \( = \frac{1}{2}\left(\cos 3x + \cos 5x\right) \).

Maka integralnya: \( \int \cos x \cos 4x \, dx = \frac{1}{2}\int(\cos 3x + \cos 5x)\,dx \).

Hitung: \( \int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x \) dan \( \int \cos 5x\,dx = \frac{1}{5}\sin 5x \). Jadi: \( \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{5}\sin 5x\right) + C \).

Sederhanakan: \( \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{10}\sin 5x + C \). Urutan suku boleh ditukar, sehingga sama dengan \( \frac{1}{10}\sin 5x + \frac{1}{6}\sin 3x + C \).

Jadi jawaban yang benar adalah B.

Tiga titik segaris jika vektor \( \overrightarrow{AB} \) sejajar dengan \( \overrightarrow{AC} \), artinya \( \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} \) untuk suatu konstanta \( k \).

Hitung: \( \overrightarrow{AB} = B-A = (1-3,\,-2-2,\,1-(-1)) = (-2,-4,2) \).

Hitung: \( \overrightarrow{AC} = C-A = (7-3,\,(p-1)-2,\,-5-(-1)) = (4,\,p-3,\,-4) \).

Karena \( \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} \), bandingkan komponen \(x\): \( 4 = k(-2) \Rightarrow k = -2 \).

Bandingkan komponen \(y\): \( p-3 = k(-4) = (-2)(-4) = 8 \Rightarrow p = 11 \).

Cek komponen \(z\): \( -4 = k(2) = (-2)(2) = -4 \) (sesuai), jadi nilai \(p\) benar.

Jadi jawaban yang benar adalah B, yaitu \( 11 \).

Dari \( (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = 0 \) gunakan sifat: \( (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^{2} - |\vec{b}|^{2} \).

Jadi: \( |\vec{a}|^{2} - |\vec{b}|^{2} = 0 \Rightarrow |\vec{a}| = |\vec{b}| \). Karena \( |\vec{a}| = \sqrt{6} \), maka \( |\vec{b}| = \sqrt{6} \).

Selanjutnya: \( \vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^{2} - \vec{a}\cdot\vec{b} \). Diketahui nilainya \( 3 \), sehingga: \( |\vec{a}|^{2} - \vec{a}\cdot\vec{b} = 3 \).

Karena \( |\vec{a}|^{2} = (\sqrt{6})^{2} = 6 \), maka: \( 6 - \vec{a}\cdot\vec{b} = 3 \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 3 \).

Sudut \( \theta \) antara \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \) memenuhi: \( \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \). Maka: \( 3 = (\sqrt{6})(\sqrt{6})\cos\theta = 6\cos\theta \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{2} \).

Karena \( \cos\theta = \frac{1}{2} \), maka \( \theta = \frac{\pi}{3} \).

Jadi jawaban yang benar adalah C, yaitu \( \frac{\pi}{3} \).