Ide utama: Gunakan rumus luas segitiga dari dua sisi yang mengapit sudut: \( L=\dfrac{1}{2}\,AB\cdot BC\cdot \sin B \). Lalu pakai identitas sudut segitiga \( A+B+C=180^\circ \) sehingga \( \sin(A+C)=\sin(180^\circ-B)=\sin B \).

Langkah 1 (pakai rumus luas):

Diketahui \( L=(3+2\sqrt{3}) \), \( AB=(6+4\sqrt{3}) \), \( BC=7 \).

\[ L=\dfrac{1}{2}\,AB\cdot BC\cdot \sin B \Rightarrow \sin B=\dfrac{2L}{AB\cdot BC}. \]

Langkah 2 (substitusi nilai):

\[ \sin B=\dfrac{2(3+2\sqrt{3})}{(6+4\sqrt{3})\cdot 7}. \]

Perhatikan \( 2(3+2\sqrt{3}) = 6+4\sqrt{3} \), sehingga:

\[ \sin B=\dfrac{6+4\sqrt{3}}{7(6+4\sqrt{3})}=\dfrac{1}{7}. \]

Langkah 3 (hubungkan dengan \( \sin(A+C) \)):

Karena \( A+B+C=180^\circ \), maka \( A+C=180^\circ-B \).

\[ \sin(A+C)=\sin(180^\circ-B)=\sin B=\dfrac{1}{7}. \]

Jawaban: A, yaitu \( \dfrac{1}{7} \).

Langkah 1: Ubah \( \sin x=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5} \). Karena \( 0^\circ \lt x \lt 90^\circ \), maka \( \cos x \) positif.

\[ \cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}. \]

Langkah 2: Gunakan rumus sudut rangkap tiga: \[ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x. \]

Langkah 3: Substitusi \( \cos x=\dfrac{3}{5} \).

\[ \cos 3x = 4\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 - 3\left(\dfrac{3}{5}\right) =4\left(\dfrac{27}{125}\right)-\dfrac{9}{5} =\dfrac{108}{125}-\dfrac{225}{125} =-\dfrac{117}{125}. \]

Langkah 4: Hitung \( \cos 3x+\cos x \).

\[ \cos 3x+\cos x =-\dfrac{117}{125}+\dfrac{3}{5} =-\dfrac{117}{125}+\dfrac{75}{125} =-\dfrac{42}{125}. \]

Jawaban: C, yaitu \( -\dfrac{42}{125} \).

Gunakan identitas sudut ganda:

\[ \sin 2x = 2\sin x\cos x. \]

Karena \( \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \), maka

\[ \dfrac{2\tan x}{1+\tan^2 x} = \dfrac{2\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)}{1+\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2} = \dfrac{\dfrac{2\sin x}{\cos x}}{\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \dfrac{\dfrac{2\sin x}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} = 2\sin x\cos x = \sin 2x. \]

Jawaban: B, yaitu \( \sin 2x \).

Langkah 1: Pakai identitas \( \cos(360^\circ-x)=\cos x \).

\[ 3\cos(360^\circ-x) \gt 2\sin^2 x \Rightarrow 3\cos x \gt 2\sin^2 x. \]

Langkah 2: Ubah \( \sin^2 x \) ke \( \cos x \) dengan \( \sin^2 x = 1-\cos^2 x \).

\[ 3\cos x \gt 2(1-\cos^2 x) \Rightarrow 3\cos x \gt 2-2\cos^2 x \Rightarrow 2\cos^2 x+3\cos x-2 \gt 0. \]

Langkah 3: Misal \( c=\cos x \). Faktorkan:

\[ 2c^2+3c-2=(2c-1)(c+2). \]

Karena \( -1 \le c \le 1 \), maka \( c+2 \gt 0 \) selalu. Jadi tanda ditentukan oleh \( 2c-1 \).

\[ (2c-1)(c+2) \gt 0 \Rightarrow 2c-1 \gt 0 \Rightarrow c \gt \dfrac{1}{2}. \]

Langkah 4: Artinya \( \cos x \gt \dfrac{1}{2} \).

Pada \( 0^\circ \le x \le 360^\circ \), kondisi \( \cos x \gt \dfrac{1}{2} \) terjadi pada: \[ 0^\circ \le x \lt 60^\circ \quad \text{atau} \quad 300^\circ \lt x \le 360^\circ. \]

Cocokkan dengan opsi: Dari pilihan yang tersedia, yang paling sesuai adalah opsi D.

Jawaban: D.

Ide utama: Bentuk \( a\sin x+b\cos x \) punya nilai maksimum-minimum \( \pm\sqrt{a^2+b^2} \). Jadi persamaan \( a\sin x+b\cos x = k \) punya solusi jika dan hanya jika \( |k| \le \sqrt{a^2+b^2} \).

Langkah 1: Identifikasi koefisien.

Di sini \( a=p \) dan \( b=p+1 \), serta \( k=p+2 \).

Langkah 2: Syarat ada solusi:

\[ |p+2| \le \sqrt{p^2+(p+1)^2}. \]

Langkah 3: Kuadratkan kedua sisi (aman karena kedua sisi \( \ge 0 \)):

\[ (p+2)^2 \le p^2+(p+1)^2. \]

Hitung ruas kanan:

\[ p^2+(p+1)^2=p^2+(p^2+2p+1)=2p^2+2p+1. \]

Ruas kiri:

\[ (p+2)^2=p^2+4p+4. \]

Langkah 4: Susun pertidaksamaan:

\[ p^2+4p+4 \le 2p^2+2p+1 \Rightarrow 0 \le p^2-2p-3 \Rightarrow p^2-2p-3 \ge 0. \]

Langkah 5: Faktorkan:

\[ p^2-2p-3=(p-3)(p+1). \]

Langkah 6: Selesaikan \( (p-3)(p+1)\ge 0 \):

\[ p \le -1 \quad \text{atau} \quad p \ge 3. \]

Jawaban: A, yaitu \( p \le -1 \text{ atau } p \ge 3 \).