Soal 11
Batas-batas nilai \(x\) yang memenuhi \( \log((x-1)^2) \lt \log(x-1) \) adalah ....
A. \(x \lt 2\)
B. \(x \gt 1\)
C. \(x \lt 1\) atau \(x \gt 2\)
D. \(0 \lt x \lt 2\)
E. \(1 \lt x \lt 2\)
Jawaban & Analisis Soal 11
Karena ada \(\log(x-1)\), syarat domainnya \(x-1 \gt 0\) sehingga \(x \gt 1\).
Misalkan \(t = x-1\), maka \(t \gt 0\). Pertidaksamaan menjadi: \(\log(t^2) \lt \log(t)\).
Karena fungsi \(\log\) (basis \( \gt 1\)) naik, maka: \[ t^2 \lt t \] \[ t(t-1) \lt 0 \] Ini terjadi untuk \(0 \lt t \lt 1\).
Kembalikan ke \(x\): \[ 0 \lt x-1 \lt 1 \Rightarrow 1 \lt x \lt 2 \]
Jawaban: E (\(1 \lt x \lt 2\))
Soal 12
Suku banyak \(P(x)=3x^3-4x^2-6x+k\) habis dibagi \((x-2)\). Sisa pembagian \(P(x)\) oleh \(x^2+2x+2\) adalah ....
A. \(20x+4\)
B. \(20x-6\)
C. \(32x+24\)
D. \(8x+24\)
E. \(-32x-16\)
Jawaban & Analisis Soal 12
Karena \(P(x)\) habis dibagi \((x-2)\), maka \(P(2)=0\).
\[ P(2)=3(2^3)-4(2^2)-6(2)+k =3(8)-4(4)-12+k =24-16-12+k =-4+k \] Jadi \(-4+k=0 \Rightarrow k=4\).
Maka \(P(x)=3x^3-4x^2-6x+4\). Jika dibagi \(x^2+2x+2\), sisa berbentuk \(ax+b\).
Gunakan substitusi modulo: dari \(x^2+2x+2=0\) diperoleh \[ x^2 = -2x-2 \] Kalikan dengan \(x\): \[ x^3 = x(-2x-2) = -2x^2-2x \] ganti \(x^2\) dengan \(-2x-2\): \[ x^3 = -2(-2x-2)-2x = 4x+4-2x = 2x+4 \]
Sekarang reduksi \(P(x)\): \[ 3x^3 \equiv 3(2x+4)=6x+12 \] \[ -4x^2 \equiv -4(-2x-2)=8x+8 \] Maka: \[ P(x)\equiv (6x+12)+(8x+8)-6x+4 =8x+24 \]
Jawaban: D (\(8x+24\))
Soal 13
Akar-akar persamaan \(x^3-4x^2+x-4=0\) adalah \(x_1\), \(x_2\), dan \(x_3\). Nilai \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=\ldots\)
A. \(2\)
B. \(14\)
C. \(15\)
D. \(17\)
E. \(18\)
Jawaban & Analisis Soal 13
Gunakan rumus Vieta untuk \(x^3-4x^2+x-4=0\): \[ x_1+x_2+x_3 = 4 \] \[ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = 1 \]
Jumlah kuadrat akar: \[ x_1^2+x_2^2+x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) \] Substitusi: \[ = 4^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14 \]
Jawaban: B (\(14\))
Soal 14
Banyaknya garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah ....
A. \(336\)
B. \(168\)
C. \(56\)
D. \(28\)
E. \(16\)
Jawaban & Analisis Soal 14
Karena tidak ada 3 titik segaris, maka setiap pasangan 2 titik membentuk tepat 1 garis berbeda. Banyak garis \(=\) banyak cara memilih 2 titik dari 8 titik: \[ \binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28 \]
Jawaban: D (\(28\))
Soal 15
Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang siswa tidak gemar matematika maupun IPA adalah ....
A. \(\frac{25}{40}\)
B. \(\frac{12}{40}\)
C. \(\frac{9}{40}\)
D. \(\frac{4}{40}\)
E. \(\frac{3}{40}\)
Jawaban & Analisis Soal 15
Misal \(M\) = siswa gemar matematika, \(I\) = siswa gemar IPA. Diketahui \(|M|=25\), \(|I|=21\), \(|M\cap I|=9\), total \(=40\).
Banyak siswa yang gemar minimal salah satu: \[ |M\cup I|=|M|+|I|-|M\cap I| =25+21-9 =37 \]
Yang tidak gemar keduanya (neither) adalah: \[ 40-37=3 \] Jadi peluangnya: \[ \frac{3}{40} \]
Jawaban: E (\(\frac{3}{40}\))