Soal 1
Akar-akar persamaan \(2x^2 + 2px - q^2 = 0\) adalah \(p\) dan \(q\). Jika \(p - q = 6\), maka nilai \(p \cdot q = \ldots\)
| A | \(6\) |
| B | \(-2\) |
| C | \(-4\) |
| D | \(-6\) |
| E | \(-8\) |
Jawaban & Analisis Soal 1
Untuk persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\), jika akar-akarnya \(r_1\) dan \(r_2\), maka: jumlah akar \(r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}\) dan hasil kali akar \(r_1 r_2 = \frac{c}{a}\).
Di soal: \(a = 2\), \(b = 2p\), \(c = -q^2\). Akar-akarnya adalah \(p\) dan \(q\).
Jumlah akar: \[ p + q = -\frac{2p}{2} = -p \] Maka: \[ p + q = -p \Rightarrow q = -2p \]
Diketahui \(p - q = 6\). Substitusi \(q = -2p\): \[ p - (-2p) = 6 \Rightarrow 3p = 6 \Rightarrow p = 2 \] Maka \(q = -2(2) = -4\).
Hasil kali: \[ p \cdot q = 2 \cdot (-4) = -8 \]
Jawaban: E (\(-8\))
Soal 2
Absis titik balik grafik fungsi \(y = px^2 + (p - 3)x + 2\) adalah \(p\). Nilai \(p = \ldots\)
| A | \(-3\) |
| B | \(-\frac{3}{2}\) |
| C | \(-1\) |
| D | \(\frac{2}{3}\) |
| E | \(3\) |
Jawaban & Analisis Soal 2
Untuk fungsi kuadrat \(y = ax^2 + bx + c\), absis titik balik (puncak) adalah: \[ x_{\text{tb}} = -\frac{b}{2a} \]
Di soal: \(a = p\) dan \(b = (p - 3)\). Maka: \[ x_{\text{tb}} = -\frac{p - 3}{2p} = \frac{3 - p}{2p} \]
Diketahui \(x_{\text{tb}} = p\), jadi: \[ \frac{3 - p}{2p} = p \] Kalikan kedua ruas dengan \(2p\) (dengan syarat \(p \neq 0\)): \[ 3 - p = 2p^2 \] \[ 2p^2 + p - 3 = 0 \]
Faktorkan / gunakan rumus kuadrat: \[ 2p^2 + p - 3 = (2p + 3)(p - 1) = 0 \] sehingga \(p = -\frac{3}{2}\) atau \(p = 1\).
Pilihan yang tersedia pada opsi adalah \(p = -\frac{3}{2}\).
Jawaban: B (\(-\frac{3}{2}\))
Soal 3
Himpunan penyelesaian sistem persamaan \(\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = 21\) dan \(\frac{7}{x} - \frac{4}{y} = 2\) adalah \(\{(x_0, y_0)\}\). Nilai \(6x_0y_0 = \ldots\)
| A | \(\frac{1}{6}\) |
| B | \(\frac{1}{5}\) |
| C | \(1\) |
| D | \(6\) |
| E | \(36\) |
Jawaban & Analisis Soal 3
Trik supaya lebih mudah: misalkan \(a = \frac{1}{x}\) dan \(b = \frac{1}{y}\). Maka sistem berubah menjadi sistem linear.
Dari \(\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = 21\) menjadi: \[ 6a + 3b = 21 \Rightarrow 2a + b = 7 \] Dari \(\frac{7}{x} - \frac{4}{y} = 2\) menjadi: \[ 7a - 4b = 2 \]
Dari \(2a + b = 7\) diperoleh \(b = 7 - 2a\). Substitusi ke \(7a - 4b = 2\): \[ 7a - 4(7 - 2a) = 2 \] \[ 7a - 28 + 8a = 2 \] \[ 15a = 30 \Rightarrow a = 2 \] Jadi \(\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).
Lalu \(b = 7 - 2(2) = 3\), jadi \(\frac{1}{y} = 3 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\). Maka \((x_0, y_0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)\).
Hitung: \[ 6x_0y_0 = 6\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3}\right) = 6\left(\frac{1}{6}\right) = 1 \]
Jawaban: C (\(1\))
Soal 4
Diketahui \(\sum_{k=5}^{25}(2 - pk) = 0\), maka nilai \(\sum_{k=5}^{25} pk = \ldots\)
| A | \(20\) |
| B | \(28\) |
| C | \(30\) |
| D | \(42\) |
| E | \(112\) |
Jawaban & Analisis Soal 4
Gunakan sifat penjumlahan sigma: \[ \sum_{k=5}^{25}(2 - pk) = \sum_{k=5}^{25}2 - \sum_{k=5}^{25}pk \] Diketahui hasilnya \(0\), jadi: \[ \sum_{k=5}^{25}2 - \sum_{k=5}^{25}pk = 0 \Rightarrow \sum_{k=5}^{25}pk = \sum_{k=5}^{25}2 \]
Banyak suku dari \(k=5\) sampai \(k=25\) adalah: \[ n = 25 - 5 + 1 = 21 \] Maka: \[ \sum_{k=5}^{25}2 = 2 \cdot 21 = 42 \]
Jawaban: D (\(42\))
Soal 5
Dari deret aritmatika, diketahui suku tengah \(32\). Jika jumlah \(n\) suku pertama deret itu \(672\), banyak suku deret itu adalah \(\ldots\)
| A | \(17\) |
| B | \(19\) |
| C | \(21\) |
| D | \(23\) |
| E | \(25\) |
Jawaban & Analisis Soal 5
Pada deret aritmatika, jika banyak suku \(n\) ganjil, maka suku tengah sama dengan rata-rata suku pertama dan suku terakhir: \[ U_{\text{tengah}} = \frac{a_1 + a_n}{2} \]
Jumlah \(n\) suku pertama deret aritmatika: \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \] Karena \(\frac{a_1 + a_n}{2} = U_{\text{tengah}}\), maka: \[ S_n = n \cdot U_{\text{tengah}} \]
Diketahui \(U_{\text{tengah}} = 32\) dan \(S_n = 672\), jadi: \[ 672 = n \cdot 32 \Rightarrow n = \frac{672}{32} = 21 \]
Jawaban: C (\(21\))