Jawaban: B

Gunakan identitas:

\( \sin A-\sin B=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right) \).

Ambil \( A=75^\circ \) dan \( B=15^\circ \), maka:

\( \dfrac{A+B}{2}=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ \) dan \( \dfrac{A-B}{2}=\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ \).

Sehingga:

\( \sin 75^\circ-\sin 15^\circ=2\cos 45^\circ \sin 30^\circ \).

Karena \( \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) dan \( \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} \), maka:

\( 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

Jadi:

\( \sin 75^\circ-\sin 15^\circ+\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \).

Jawaban: A

Ubah bentuk agar mudah dirasionalkan:

\( \sqrt{81x^2-10x+3}-9x+1=\sqrt{81x^2-10x+3}-(9x-1) \).

Kalikan sekawan:

\( \sqrt{81x^2-10x+3}-(9x-1)=\dfrac{(81x^2-10x+3)-(9x-1)^2}{\sqrt{81x^2-10x+3}+(9x-1)} \).

Hitung \( (9x-1)^2 \):

\( (9x-1)^2=81x^2-18x+1 \).

Maka pembilang:

\( (81x^2-10x+3)-(81x^2-18x+1)=8x+2 \).

Limit menjadi:

\( \lim_{x\to\infty}\dfrac{8x+2}{\sqrt{81x^2-10x+3}+9x-1} \).

Bagi pembilang dan penyebut dengan \( x \):

\( \lim_{x\to\infty}\dfrac{8+\frac{2}{x}}{\sqrt{81-\frac{10}{x}+\frac{3}{x^2}}+9-\frac{1}{x}}=\dfrac{8}{9+9}=\dfrac{4}{9} \).

Jawaban: D

Gunakan limit dasar saat \( x\to 0 \):

\( \sin x\sim x \), \( \sin 3x\sim 3x \), dan \( \cos x\sim 1 \).

Maka pembilang:

\( 4x\cos x\sim 4x \).

Penyebut:

\( \sin x+\sin 3x\sim x+3x=4x \).

Sehingga:

\( \lim_{x\to 0}\dfrac{4x\cos x}{\sin x+\sin 3x}=\dfrac{4x}{4x}=1 \).

Jawaban: B

Turunkan \( g(x) \):

\( g'(x)=x^2-A^2 \).

Karena \( f(x)=g(2x+1) \), maka:

\( f'(x)=g'(2x+1)\cdot 2=2\left((2x+1)^2-A^2\right) \).

Diketahui \( f \) turun pada \( -\dfrac{3}{2}\le x\le \dfrac{1}{2} \), sehingga \( f'(x)\le 0 \) pada interval itu, yaitu:

\( (2x+1)^2-A^2\le 0 \Rightarrow (2x+1)^2\le A^2 \).

Jika \( -\dfrac{3}{2}\le x\le \dfrac{1}{2} \), maka \( 2x+1 \) berada pada:

\( -2\le 2x+1\le 2 \).

Agar \( (2x+1)^2\le A^2 \) berlaku untuk semua \( 2x+1 \) pada \( [-2,2] \), nilai terbesar \( (2x+1)^2 \) adalah \( 4 \), jadi:

\( A^2\ge 4 \).

Ambil kondisi batas \( A^2=4 \) agar batas turun tepat terjadi saat \( 2x+1=\pm 2 \). Maka:

\( g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-4x+7 \).

Minimum relatif \( g \) terjadi saat \( g'(x)=0 \) dan \( g''(x)\gt 0 \).

\( g'(x)=x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2 \).

\( g''(x)=2x \), sehingga \( g''(2)=4 \gt 0 \), jadi minimum relatif di \( x=2 \).

Nilai minimumnya:

\( g(2)=\dfrac{1}{3}(8)-8+7=\dfrac{8}{3}-1=\dfrac{5}{3} \).

Jawaban: B

Substitusi:

\( u=x^3+6x+1 \Rightarrow du=(3x^2+6)\,dx=3(x^2+2)\,dx \).

Maka:

\( (x^2+2)\,dx=\dfrac{1}{3}du \).

Integral berubah menjadi:

\( \int \dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^3+6x+1}}\,dx=\int \dfrac{\frac{1}{3}du}{\sqrt{u}}=\dfrac{1}{3}\int u^{-\frac{1}{2}}\,du \).

Karena \( \int u^{-\frac{1}{2}}du=2u^{\frac{1}{2}} \), maka:

\( \dfrac{1}{3}\cdot 2\sqrt{u}+C=\dfrac{2}{3}\sqrt{x^3+6x+1}+C \).