Soal 16. Diketahui vektor \(\vec{a}=2\vec{i}-2p\vec{j}+4\vec{k}\) dan \(\vec{b}=\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\). Jika panjang proyeksi vektor \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) adalah \(\frac{6}{\sqrt{26}}\), maka nilai \(p\) adalah ....
A. \(-3\)
B. \(-2\)
C. \(-1\)
D. \(1\)
E. \(3\)
Jawaban & Analisis Soal 16
Langkah 1: Gunakan rumus panjang proyeksi.
Panjang proyeksi \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) adalah \(\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}\).
Langkah 2: Hitung \(|\vec{b}|\).
\(\vec{b}=(1,-3,4)\) sehingga
\(|\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{26}\).
Langkah 3: Samakan dengan panjang proyeksi yang diberikan.
\(\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{\sqrt{26}}=\frac{6}{\sqrt{26}}\Rightarrow |\vec{a}\cdot \vec{b}|=6\).
Langkah 4: Hitung \(\vec{a}\cdot \vec{b}\).
\(\vec{a}=(2,-2p,4)\) dan \(\vec{b}=(1,-3,4)\).
\(\vec{a}\cdot \vec{b}=2(1)+(-2p)(-3)+4(4)=2+6p+16=18+6p\).
Langkah 5: Tentukan \(p\).
\(|18+6p|=6\Rightarrow 18+6p=6\) atau \(18+6p=-6\).
Jika \(18+6p=6\Rightarrow 6p=-12\Rightarrow p=-2\).
Jika \(18+6p=-6\Rightarrow 6p=-24\Rightarrow p=-4\) (tidak ada di pilihan).
Jawaban benar: B yaitu \(-2\).
Soal 17. Persamaan bayangan lingkaran \(x^2+y^2=4\) bila dicerminkan terhadap garis \(x=2\) dan dilanjutkan dengan translasi \(\begin{pmatrix}-3\\ 4\end{pmatrix}\) adalah ....
A. \(x^2+y^2-2x-8y+13=0\)
B. \(x^2+y^2+2x-8y+13=0\)
C. \(x^2+y^2-2x+8y+13=0\)
D. \(x^2+y^2+2x+8y+13=0\)
E. \(x^2+y^2+8x-2y+13=0\)
Jawaban & Analisis Soal 17
Langkah 1: Tentukan pusat lingkaran awal.
\(x^2+y^2=4\) berpusat di \((0,0)\) dan berjari-jari \(2\).
Langkah 2: Pencerminan terhadap garis \(x=2\).
Titik \((x,y)\) dicerminkan terhadap \(x=2\) menjadi \((4-x,y)\).
Maka pusat \((0,0)\) menjadi \((4,0)\).
Persamaan lingkaran hasil cermin: \((x-4)^2+y^2=4\).
Langkah 3: Translasi \((-3,4)\).
Translasi \((-3,4)\) menggeser pusat \((4,0)\) menjadi \((4-3,0+4)=(1,4)\).
Persamaan akhir: \((x-1)^2+(y-4)^2=4\).
Langkah 4: Ubah ke bentuk umum.
\((x-1)^2+(y-4)^2=4\).
\(x^2-2x+1+y^2-8y+16=4\).
\(x^2+y^2-2x-8y+13=0\).
Jawaban benar: A.
Soal 18. Penyelesaian dari \(3^{2x+3}-8\cdot 4^{x+3}+9 \ge 0\) adalah ....
A. \(-1 \le x \le 2\)
B. \(-2 \le x \le 1\)
C. \(x \le -2\) atau \(x \ge -1\)
D. \(x \le -2\) atau \(x \ge 1\)
E. \(x \le 1\) atau \(x \ge 2\)
Jawaban & Analisis Soal 18
Langkah 1: Ubah semua suku ke basis \(2\).
\(3^{2x+3}\) tidak bisa langsung jadi basis \(2\), tetapi dari bentuk pilihan terlihat maksud soal adalah bentuk kuadrat dalam \(2^x\).
Dari gambar, suku tengah adalah \(8^{x+3}\) (bukan \(8\cdot 4^{x+3}\)).
Jadi pertidaksamaan yang dibaca: \(3^{2x+3}-8^{x+3}+9 \ge 0\).
Langkah 2: Substitusi \(t=3^x\).
\(3^{2x+3}=3^3\cdot 3^{2x}=27(3^x)^2=27t^2\).
\(8^{x+3}=8^3\cdot 8^x=512\cdot 8^x\) (tidak sejenis dengan \(t\)).
Karena ini tidak konsisten, maka pembacaan yang benar dari gambar adalah:
\(3^{2x+3}-8\cdot 3^{x+3}+9 \ge 0\).
Langkah 3: Kerjakan untuk bentuk yang konsisten \(3^{2x+3}-8\cdot 3^{x+3}+9 \ge 0\).
\(3^{2x+3}=27\cdot 3^{2x}\).
\(8\cdot 3^{x+3}=8\cdot 27\cdot 3^x=216\cdot 3^x\).
Misalkan \(u=3^x\), maka \(u \gt 0\).
Pertidaksamaan menjadi \(27u^2-216u+9 \ge 0\).
Bagi \(9\): \(3u^2-24u+1 \ge 0\).
Langkah 4: Cari akar-akar kuadrat.
\(3u^2-24u+1=0\Rightarrow u=\frac{24\pm \sqrt{576-12}}{6}=\frac{24\pm \sqrt{564}}{6}=\frac{24\pm 2\sqrt{141}}{6}=\frac{12\pm \sqrt{141}}{3}\).
Karena koefisien \(u^2\) positif, maka \(3u^2-24u+1 \ge 0\) untuk \(u \le \frac{12-\sqrt{141}}{3}\) atau \(u \ge \frac{12+\sqrt{141}}{3}\).
Ini tidak cocok dengan bentuk pilihan interval sederhana, sehingga soal pada gambar kemungkinan tidak terbaca tepat.
Catatan penting: Bagian Soal 18 pada gambar tidak cukup jelas untuk memastikan bentuk pertidaksamaan secara tepat (antara \(8^{x+3}\), \(8\cdot 4^{x+3}\), atau \(8\cdot 3^{x+3}\)). Karena pilihan jawabannya berupa interval sederhana, mohon kirim potongan gambar Soal 18 saja yang lebih jelas agar hasil dan opsi yang benar bisa dipastikan tanpa salah baca.
Soal 19. Penyelesaian pertidaksamaan \(^{2}\log x \cdot {}^{x+1}\log 4 \lt 2-{}^{x+1}\log 4\) adalah ....
A. \(x \gt \frac{1}{3}\)
B. \(x \gt 1\)
C. \(0 \lt x \lt 1\)
D. \(0 \lt x \lt \frac{1}{3}\)
E. \(\frac{1}{3} \lt x \lt 1\)
Jawaban & Analisis Soal 19
Langkah 1: Tentukan domain.
Agar \(^{2}\log x\) terdefinisi: \(x \gt 0\).
Agar \(^{x+1}\log 4\) terdefinisi: \(x+1 \gt 0\) dan \(x+1 \ne 1\).
Maka \(x \gt 0\) sudah menjamin \(x+1 \gt 1\), sehingga domain tetap \(x \gt 0\).
Langkah 2: Misalkan \(A={}^{x+1}\log 4\).
Karena basis \(x+1 \gt 1\) dan argumen \(4 \gt 1\), maka \(A \gt 0\).
Langkah 3: Susun pertidaksamaan.
\(^{2}\log x \cdot A \lt 2-A\).
Pindahkan \(A\) ke kiri:
\(A\left(^{2}\log x + 1\right) \lt 2\).
Langkah 4: Ubah \(\frac{2}{A}\) menjadi log basis \(2\).
\(A={}^{x+1}\log 4=\frac{\ln 4}{\ln(x+1)}\).
Maka \(\frac{2}{A}=2\cdot\frac{\ln(x+1)}{\ln 4}=2\cdot\frac{\ln(x+1)}{2\ln 2}=\frac{\ln(x+1)}{\ln 2}={}^{2}\log(x+1)\).
Langkah 5: Dapatkan pertidaksamaan log.
Karena \(A \gt 0\), maka
\(^{2}\log x + 1 \lt {}^{2}\log(x+1)\).
\(1={}^{2}\log 2\), jadi
\(^{2}\log x + {}^{2}\log 2 \lt {}^{2}\log(x+1)\).
\(^{2}\log(2x) \lt {}^{2}\log(x+1)\).
Langkah 6: Hilangkan log (basis \(2\) naik).
\(2x \lt x+1 \Rightarrow x \lt 1\).
Langkah 7: Gabungkan dengan domain.
Domain \(x \gt 0\), maka \(0 \lt x \lt 1\).
Jawaban benar: C.
Soal 20. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak kursi baris di belakang lebih \(4\) kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat \(15\) baris kursi dan baris terdepan ada \(20\) kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah ....
A. \(1200\) kursi
B. \(800\) kursi
C. \(720\) kursi
D. \(600\) kursi
E. \(300\) kursi
Jawaban & Analisis Soal 20
Langkah 1: Bentuk barisan aritmetika.
Banyak kursi per baris membentuk barisan aritmetika dengan
\(a=20\), \(d=4\), \(n=15\).
Langkah 2: Jumlah kursi total.
\(S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)\).
\(S_{15}=\frac{15}{2}\left(2(20)+14(4)\right)=\frac{15}{2}(40+56)=\frac{15}{2}(96)=15(48)=720\).
Jawaban benar: C yaitu \(720\) kursi.