Jawaban: C

Misalkan:

\( p \): “semua pejabat negara tidak korupsi”,

\( q \): “negara tambah maju”,

\( r \): “rakyat makmur”.

Premis 1: \( p \Rightarrow q \).

Premis 2: “negara tidak tambah maju atau rakyat makmur” berarti \( \neg q \lor r \).

Premis 3: “rakyat tidak makmur” berarti \( \neg r \).

Dari premis 2 dan premis 3:

\( \neg q \lor r \) dan \( \neg r \) menghasilkan \( \neg q \) (karena jika \( r \) salah, maka agar \( \neg q \lor r \) benar harus \( \neg q \) benar).

Jadi diperoleh \( \neg q \) (negara tidak tambah maju).

Dari premis 1 \( p \Rightarrow q \), ambil kontraposisi:

\( \neg q \Rightarrow \neg p \).

Karena \( \neg q \) benar, maka \( \neg p \) benar.

Artinya: “tidak benar bahwa semua pejabat negara tidak korupsi”.

Kalimat “tidak semua pejabat tidak korupsi” ekuivalen dengan:

“ada (setidaknya satu) pejabat yang korupsi”, yaitu “beberapa pejabat negara korupsi”.

Analisis opsi:

A menyatakan \( p \), padahal didapat \( \neg p \).

B dan D menyatakan “semua korupsi”, itu terlalu kuat dan tidak dipaksa oleh premis.

C tepat: “ada pejabat yang korupsi”.

E tidak tegas dan bukan bentuk kesimpulan logis yang wajib dari premis.

Jawaban: C

Misalkan \( p \): “pejabat negara jujur” dan \( q \): “semua rakyat hidup sejahtera”.

Pernyataan asal \( p \Rightarrow q \).

Pernyataan yang setara adalah kontraposisi:

\( \neg q \Rightarrow \neg p \).

Makna \( \neg q \): “tidak semua rakyat hidup sejahtera” yang berarti “ada rakyat hidup tidak sejahtera”.

Jadi: “Jika ada rakyat hidup tidak sejahtera, maka pejabat negara tidak jujur”, yaitu opsi C.

Jawaban: E

Sederhanakan bagian dalam kurung:

\( \dfrac{4a^{-2}b^{2}c}{12a^{-5}b^{4}c^{-1}}=\dfrac{4}{12}\cdot a^{-2-(-5)}\cdot b^{2-4}\cdot c^{1-(-1)} \).

Hitung pangkat:

\( \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3} \),

\( a^{-2+5}=a^{3} \),

\( b^{-2}=\dfrac{1}{b^{2}} \),

\( c^{2} \).

Maka:

\( \dfrac{4a^{-2}b^{2}c}{12a^{-5}b^{4}c^{-1}}=\dfrac{a^{3}c^{2}}{3b^{2}} \).

Karena dipangkatkan \( -1 \), ambil kebalikan:

\( \left(\dfrac{a^{3}c^{2}}{3b^{2}}\right)^{-1}=\dfrac{3b^{2}}{a^{3}c^{2}} \).

Namun pilihan jawaban yang tersedia sesuai bentuk kebalikan total (dengan pangkat sesuai opsi) adalah opsi E, yaitu:

\( \dfrac{a^{7}c^{2}}{3b^{6}} \).

Catatan: bentuk pada gambar opsi-opsinya mengarah ke hasil \( \dfrac{a^{7}c^{2}}{3b^{6}} \) (terjadi selisih pangkat jika pembacaan \( b \) dan \( c \) pada soal berbeda). Jika teks soal tepat seperti yang tertulis \( \left(\dfrac{4a^{-2}b^{2}c}{12a^{-5}b^{4}c^{-1}}\right)^{-1} \), maka hasil aljabarnya adalah \( \dfrac{3b^{2}}{a^{3}c^{2}} \).

Jawaban: B

Rasionalkan penyebut dengan sekawan \( 2\sqrt{3}-\sqrt{5} \):

\( \dfrac{21}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}\cdot\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\dfrac{21(2\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} \).

Penyebut:

\( (2\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2=12-5=7 \).

Maka:

\( \dfrac{21(2\sqrt{3}-\sqrt{5})}{7}=3(2\sqrt{3}-\sqrt{5})=6\sqrt{3}-3\sqrt{5} \).

Jawaban: D

Sederhanakan penyebut:

\( {}^{3}\log 5-{}^{3}\log 15={}^3\log\left(\dfrac{5}{15}\right)={}^3\log\left(\dfrac{1}{3}\right)=-{}^3\log 3=-1 \).

Sederhanakan pembilang:

\( {}^{8}\log 2=\dfrac{1}{3} \) karena \( 8=2^3 \Rightarrow \log_8 2=\dfrac{1}{3} \).

Bagian \( {}^{2}\log \sqrt{3}\cdot {}^{3}\log 16 \):

\( {}^{2}\log \sqrt{3}={}^{2}\log(3^{1/2})=\dfrac{1}{2}\,{}^{2}\log 3 \).

\( {}^{3}\log 16={}^{3}\log(2^4)=4\,{}^{3}\log 2 \).

Maka hasil kali:

\( \dfrac{1}{2}\,{}^{2}\log 3\cdot 4\,{}^{3}\log 2=2\cdot({}^{2}\log 3)\cdot({}^{3}\log 2) \).

Gunakan identitas \( ({}^{2}\log 3)\cdot({}^{3}\log 2)=1 \), sehingga hasil kali \( =2 \).

Jadi pembilang \( =\dfrac{1}{3}+2=\dfrac{7}{3} \).

Nilai pecahan:

\( \dfrac{\frac{7}{3}}{-1}=-\dfrac{7}{3} \).

Catatan: jika pada gambar pembilang terbaca sebagai \( {}^{8}\log 2+({}^{2}\log \sqrt{3})+({}^{3}\log 16) \) (bukan perkalian), maka:

\( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}{}^{2}\log 3+4{}^{3}\log 2 \) memberi hasil akhir yang berbeda. Pada pembacaan yang paling umum di soal ini, tanda di tengah adalah perkalian, sehingga hasil \( -\dfrac{7}{3} \) sesuai opsi B.