Soal 16. Nilai minimum fungsi obyektif \(f(x,y)=3x+2y\) dari daerah yang diarsir pada gambar adalah ....
A. \(4\)
B. \(6\)
C. \(7\)
D. \(8\)
E. \(9\)
Jawaban & Analisis Soal 16
Langkah 1: Identifikasi garis batas dari gambar.
Dari gambar, tampak dua garis miring dengan titik potong sumbu:
Garis \(g_1\) melalui \((0,4)\) dan \((2,0)\) sehingga persamaannya \(y=-2x+4\).
Garis \(g_2\) melalui \((0,3)\) dan \((3,0)\) sehingga persamaannya \(y=-x+3\).
Daerah diarsir berada di antara kedua garis tersebut dan dibatasi oleh sumbu \(x\) (yakni \(y \ge 0\)).
Langkah 2: Tentukan titik pojok (titik sudut) daerah.
Titik-titik pojok yang terbaca dari batas-batasnya adalah:
\((0,4)\) (di \(g_1\)), \((2,0)\) (potong \(g_1\) dengan sumbu \(x\)), \((3,0)\) (potong \(g_2\) dengan sumbu \(x\)), dan \((0,3)\) (di \(g_2\)).
Langkah 3: Hitung \(f(x,y)=3x+2y\) di setiap titik pojok.
\(f(0,4)=3(0)+2(4)=8\).
\(f(2,0)=3(2)+2(0)=6\).
\(f(3,0)=3(3)+2(0)=9\).
\(f(0,3)=3(0)+2(3)=6\).
Langkah 4: Ambil nilai minimum.
Nilai minimum adalah \(6\).
Jawaban benar: B yaitu \(6\).
Analisis opsi:
A: \(4\) tidak mungkin karena titik pojok terdekat pun memberi nilai minimum \(6\).
B: \(6\) benar, terjadi pada \((2,0)\) dan \((0,3)\).
C dan D: lebih besar dari minimum hasil evaluasi titik pojok.
E: sesuai salah satu titik pojok \((3,0)\), tetapi itu bukan minimum.
Soal 17. Seorang ibu memproduksi dua jenis kerupuk, yaitu kerupuk udang dan kerupuk ikan. Setiap \(1\) kilogram kerupuk udang membutuhkan modal Rp\(10.000,00\), dan setiap \(1\) kilogram kerupuk ikan membutuhkan modal Rp\(15.000,00\). Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp\(500.000,00\). Tiap hari ia hanya bisa memproduksi paling banyak \(40\) kilogram. Keuntungan per kilogram kerupuk udang Rp\(5.000,00\) dan kerupuk ikan Rp\(6.000,00\) per kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah ....
A. Rp\(220.000,00\)
B. Rp\(200.000,00\)
C. Rp\(198.000,00\)
D. Rp\(178.000,00\)
E. Rp\(170.000,00\)
Jawaban & Analisis Soal 17
Langkah 1: Misalkan variabel.
Misal \(x\) = kg kerupuk udang, \(y\) = kg kerupuk ikan.
Langkah 2: Bentuk kendala.
Kendala modal: \(10000x+15000y \le 500000\).
Kendala kapasitas harian: \(x+y \le 40\).
Kendala nonnegatif: \(x \ge 0\) dan \(y \ge 0\).
Langkah 3: Fungsi keuntungan (yang dimaksimumkan).
\(K = 5000x+6000y\).
Langkah 4: Cari titik pojok daerah feasible.
Titik pojok penting:
\((40,0)\) memenuhi modal karena \(10000(40)=400000 \le 500000\).
\((0,\frac{500000}{15000})=(0,\frac{100}{3})\) memenuhi kapasitas karena \(\frac{100}{3} \lt 40\).
Perpotongan \(x+y=40\) dan \(10000x+15000y=500000\). Bagi \(5000\): \(2x+3y=100\).
Dari \(x+y=40\) dan \(2x+3y=100\) diperoleh \(x=20\) dan \(y=20\).
Langkah 5: Hitung keuntungan di tiap titik pojok.
\(K(40,0)=5000(40)+6000(0)=200000\).
\(K(0,\frac{100}{3})=5000(0)+6000(\frac{100}{3})=200000\).
\(K(20,20)=5000(20)+6000(20)=220000\).
Kesimpulan: Keuntungan maksimum adalah Rp\(220.000,00\).
Jawaban benar: A.
Soal 18. Perusahaan pengiriman barang mempunyai dua jenis mobil yaitu jenis \(I\) dan \(II\). Mobil jenis \(I\) daya muatnya \(12\ \text{m}^3\), sedangkan mobil jenis \(II\) daya muatnya \(36\ \text{m}^3\). Order tiap bulan rata-rata mencapai lebih dari \(7.200\ \text{m}^3\), sedangkan biaya pengiriman untuk mobil jenis \(I\) Rp\(400.000,00\) dan mobil jenis \(II\) Rp\(600.000,00\). Dari biaya yang telah ditetapkan tersebut, pendapatan perusahaan tiap bulan rata-rata tidak kurang dari Rp\(200.000.000,00\). Model matematika yang tepat dari masalah tersebut adalah ....
A. \(x+3y \ge 600,\ 2x+3y \ge 1000,\ x \ge 0,\ y \ge 0\)
B. \(x+3y \ge 600,\ 2x+3y \le 1000,\ x \ge 0,\ y \ge 0\)
C. \(x+3y \ge 400,\ 2x+3y \ge 2000,\ x \ge 0,\ y \ge 0\)
D. \(x+3y \ge 400,\ 2x+3y \le 2000,\ x \ge 0,\ y \ge 0\)
E. \(x+3y \ge 800,\ 2x+3y \ge 1000,\ x \ge 0,\ y \ge 0\)
Jawaban & Analisis Soal 18
Langkah 1: Misalkan variabel.
Misal \(x\) = banyak pengiriman (atau banyak mobil) jenis \(I\) per bulan, dan \(y\) = banyak pengiriman jenis \(II\) per bulan.
Langkah 2: Kendala kapasitas muatan total.
Total muatan minimal \(7200\ \text{m}^3\):
\(12x+36y \ge 7200\).
Bagi \(12\): \(x+3y \ge 600\).
Langkah 3: Kendala pendapatan minimal.
Pendapatan minimal Rp\(200.000.000,00\):
\(400000x+600000y \ge 200000000\).
Bagi \(200000\): \(2x+3y \ge 1000\).
Langkah 4: Kendala nonnegatif.
\(x \ge 0\) dan \(y \ge 0\).
Kesimpulan: Modelnya adalah \(x+3y \ge 600,\ 2x+3y \ge 1000,\ x \ge 0,\ y \ge 0\).
Jawaban benar: A.
Soal 19. Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix}4 & 2\\ x & 1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}-x & -1\\ 3 & y\end{pmatrix}\), dan \(C=\begin{pmatrix}10 & 7\\ -9 & 2\end{pmatrix}\). Jika \(3A-B=C\), maka nilai \(x+y\) adalah ....
A. \(-3\)
B. \(-2\)
C. \(-1\)
D. \(1\)
E. \(3\)
Jawaban & Analisis Soal 19
Langkah 1: Hitung \(3A\).
\(3A=\begin{pmatrix}12 & 6\\ 3x & 3\end{pmatrix}\).
Langkah 2: Hitung \(3A-B\).
\(3A-B=\begin{pmatrix}12-(-x) & 6-(-1)\\ 3x-3 & 3-y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12+x & 7\\ 3x-3 & 3-y\end{pmatrix}\).
Langkah 3: Samakan elemen dengan \(C\).
\(12+x=10 \Rightarrow x=-2\).
\(3-y=2 \Rightarrow y=1\).
Langkah 4: Hitung \(x+y\).
\(x+y=-2+1=-1\).
Jawaban benar: C yaitu \(-1\).
Soal 20. Diketahui suku ke-\(3\) dan suku ke-\(8\) suatu barisan aritmetika berturut-turut yaitu \(7\) dan \(27\). Suku ke-\(20\) barisan tersebut adalah ....
A. \(77\)
B. \(76\)
C. \(75\)
D. \(67\)
E. \(66\)
Jawaban & Analisis Soal 20
Langkah 1: Gunakan rumus barisan aritmetika.
\(U_n=a+(n-1)d\).
Langkah 2: Bentuk persamaan dari data.
\(U_3=a+2d=7\). ... \((1)\)
\(U_8=a+7d=27\). ... \((2)\)
Langkah 3: Cari \(d\).
\((2)-(1)\Rightarrow 5d=20 \Rightarrow d=4\).
Langkah 4: Cari \(a\).
Dari \((1)\): \(a+2(4)=7 \Rightarrow a+8=7 \Rightarrow a=-1\).
Langkah 5: Hitung \(U_{20}\).
\(U_{20}=a+19d=-1+19(4)=-1+76=75\).
Jawaban benar: C yaitu \(75\).