Jawaban: B

Pertama, cari \(AC\) dari segitiga \(ABC\). Diketahui \(\angle A=30^\circ\) dan \(\angle B=45^\circ\), sehingga \(\angle C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\).

Dengan aturan sinus pada segitiga \(ABC\):

\(\dfrac{BC}{\sin 30^\circ}=\dfrac{AC}{\sin 45^\circ}\Rightarrow AC=BC\cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}\).

\(\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) dan \(\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\), maka:

\(AC=6\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}/2}{1/2}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=12\).

Kedua, gunakan segitiga \(ACD\) dengan \(AC=12\), \(CD=4\), dan \(\angle ACD=60^\circ\). Aturan cosinus:

\(AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cdot \cos 60^\circ\).

Karena \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\), maka:

\(AD^2=12^2+4^2-2\cdot 12\cdot 4\cdot \dfrac{1}{2}=144+16-48=112\).

Jadi \(AD=\sqrt{112}=\sqrt{16\cdot 7}=4\sqrt{7}\).

Jawaban: C

Misalkan \(t=\cos x\). Gunakan identitas \(\cos 2x=2\cos^2 x-1\), sehingga \(\cos 2x=2t^2-1\).

Substitusi ke persamaan:

\((2t^2-1)+3t-1=0 \Rightarrow 2t^2+3t-2=0\).

Faktorkan:

\(2t^2+3t-2=(2t-1)(t+2)=0\).

Maka \(t=\dfrac{1}{2}\) atau \(t=-2\). Karena \(-1 \le \cos x \le 1\), nilai \(t=-2\) tidak mungkin, jadi \(\cos x=\dfrac{1}{2}\).

Pada \(0^\circ \le x \le 360^\circ\), \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) untuk \(x=60^\circ\) dan \(x=300^\circ\).

Jawaban: D

Gunakan identitas:

\(\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\).

Substitusi nilai yang diketahui:

\(\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{3}-\sin A\sin B\Rightarrow \sin A\sin B=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{10-9}{15}=\dfrac{1}{15}\).

Karena \(\tan A\tan B=\dfrac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}\), maka:

\(\tan A\tan B=\dfrac{1/15}{2/3}=\dfrac{1}{15}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{10}\).

Tanda positif sesuai karena \(A\) dan \(B\) lancip sehingga \(\tan A \gt 0\) dan \(\tan B \gt 0\).

Jawaban: C

Bentuknya \(\infty-\infty\), maka dirasionalkan dengan mengalikan sekawan:

\(\sqrt{9x^2-6x-1}-(3x+1)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{9x^2-6x-1}-(3x+1)\right)\left(\sqrt{9x^2-6x-1}+(3x+1)\right)}{\sqrt{9x^2-6x-1}+(3x+1)}\).

Pembilang menjadi selisih kuadrat:

\((9x^2-6x-1)-(3x+1)^2\).

Hitung \((3x+1)^2=9x^2+6x+1\), sehingga pembilang:

\(9x^2-6x-1-(9x^2+6x+1)=-12x-2\).

Maka limit menjadi:

\(\lim_{x\to\infty}\dfrac{-12x-2}{\sqrt{9x^2-6x-1}+(3x+1)}\).

Untuk \(x\to\infty\), \(\sqrt{9x^2-6x-1}\) mendekati \(3x\), sehingga penyebut mendekati \(3x+3x=6x\). Jadi:

\(\lim_{x\to\infty}\dfrac{-12x-2}{6x}=-2\).

Jawaban: E

Ubah penyebut:

\(\cos^2 x-1=-(1-\cos^2 x)=-\sin^2 x\).

Maka:

\(\dfrac{x\tan 2x}{\cos^2 x-1}=-\dfrac{x\tan 2x}{\sin^2 x}\).

Gunakan \(\tan 2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\) dan \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\(-\dfrac{x\tan 2x}{\sin^2 x}=-\dfrac{x\cdot \dfrac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}}{\sin^2 x}=-\dfrac{2x\cos x}{\sin x\cos 2x}\).

Pisahkan menjadi faktor limit:

\(-\dfrac{2x\cos x}{\sin x\cos 2x}=-2\cdot \dfrac{x}{\sin x}\cdot \dfrac{\cos x}{\cos 2x}\).

Saat \(x\to 0\), berlaku \(\dfrac{x}{\sin x}\to 1\), \(\cos x\to 1\), dan \(\cos 2x\to 1\). Maka limitnya:

\(-2\cdot 1\cdot 1=-2\).