Soal 11
Suku banyak \( f(x)=2x^3+ax^2+bx-5 \) dibagi oleh \( x^2-x-2 \) bersisa \( 3x+2 \). Nilai \( a+b \) adalah ....
A. \( 6 \)
B. \( 3 \)
C. \( -3 \)
D. \( -6 \)
E. \( -12 \)
Jawaban dan Analisis
Karena pembagi \( x^2-x-2 \) dapat difaktorkan menjadi \( x^2-x-2=(x-2)(x+1) \), maka untuk \( x=2 \) dan \( x=-1 \) berlaku \( f(x)=\text{sisa}(x)=3x+2 \).
Hitung \( f(2) \): \( f(2)=2(2^3)+a(2^2)+b(2)-5=16+4a+2b-5=11+4a+2b \). Karena sisanya \( 3(2)+2=8 \), maka \( 11+4a+2b=8 \Rightarrow 4a+2b=-3 \).
Hitung \( f(-1) \): \( f(-1)=2(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)-5=-2+a-b-5=a-b-7 \). Karena sisanya \( 3(-1)+2=-1 \), maka \( a-b-7=-1 \Rightarrow a-b=6 \).
Dari \( 4a+2b=-3 \) diperoleh \( 2a+b=-\frac{3}{2} \), sehingga \( b=-\frac{3}{2}-2a \). Substitusi ke \( a-b=6 \): \( a-\left(-\frac{3}{2}-2a\right)=6 \Rightarrow 3a+\frac{3}{2}=6 \Rightarrow 3a=\frac{9}{2} \Rightarrow a=\frac{3}{2} \).
Maka \( b=-\frac{3}{2}-2\cdot\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}-3=-\frac{9}{2} \). Jadi \( a+b=\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=-3 \) dan \( -3 \lt 0 \). Jawaban: C.
Soal 12
Salah satu faktor dari suku banyak \( 2x^3+(2m-1)x^2-13x+6 \) adalah \( x-2 \). Faktor linear lain dari suku banyak tersebut salah satunya adalah ....
A. \( x+2 \)
B. \( x-3 \)
C. \( x+3 \)
D. \( 2x+1 \)
E. \( 2x-3 \)
Jawaban dan Analisis
Jika \( x-2 \) faktor, maka substitusi \( x=2 \) membuat polinom bernilai \( 0 \). Misalkan \( P(x)=2x^3+(2m-1)x^2-13x+6 \). Hitung \( P(2) \): \( P(2)=2(8)+(2m-1)(4)-13(2)+6 \).
\( P(2)=16+8m-4-26+6=8m-8 \). Karena \( P(2)=0 \), maka \( 8m-8=0 \Rightarrow m=1 \) dan \( 1 \gt 0 \).
Substitusi \( m=1 \) memberi \( P(x)=2x^3+(2\cdot1-1)x^2-13x+6=2x^3+x^2-13x+6 \). Karena \( x-2 \) faktor, lakukan pembagian sintetis oleh \( x-2 \).
Koefisien \( 2,1,-13,6 \) dibagi oleh \( 2 \): hasil bagi \( 2x^2+5x-3 \). Jadi \( P(x)=(x-2)(2x^2+5x-3) \).
Faktorkan kuadrat: \( 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3) \), karena \( (2x-1)(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3 \).
Jadi faktor linear lain salah satunya adalah \( x+3 \). Jawaban: C.
Soal 13
Diketahui \( f(x)=x^2-4x+6 \) dan \( g(x)=2x+3 \). Fungsi komposisi \( (f\circ g)(x) \) adalah ....
A. \( 2x^2-8x+12 \)
B. \( 2x^2-8x+15 \)
C. \( 4x^2+4x+3 \)
D. \( 4x^2+4x+15 \)
E. \( 4x^2+4x+27 \)
Jawaban dan Analisis
Komposisi \( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \). Karena \( g(x)=2x+3 \), maka \( (f\circ g)(x)=f(2x+3)=(2x+3)^2-4(2x+3)+6 \).
Hitung: \( (2x+3)^2=4x^2+12x+9 \), dan \( -4(2x+3)=-8x-12 \).
Jadi \( (f\circ g)(x)=4x^2+12x+9-8x-12+6=4x^2+4x+3 \). Jawaban: C.
Soal 14
Seorang pengusaha perumahan memiliki lahan tanah seluas \( 10000 \,\text{m}^2 \) yang akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk membangun rumah tipe A diperlukan tanah seluas \( 100 \,\text{m}^2 \) dan rumah tipe B seluas \( 75 \,\text{m}^2 \). Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari \( 125 \) unit. Jika keuntungan setiap rumah tipe A adalah \( \mathrm{Rp}\,8000000{,}00 \) dan tipe B adalah \( \mathrm{Rp}\,6000000{,}00 \) serta semua rumah terjual habis, maka keuntungan maksimum adalah ....
A. \( \mathrm{Rp}\,750000000{,}00 \)
B. \( \mathrm{Rp}\,800000000{,}00 \)
C. \( \mathrm{Rp}\,850000000{,}00 \)
D. \( \mathrm{Rp}\,900000000{,}00 \)
E. \( \mathrm{Rp}\,950000000{,}00 \)
Jawaban dan Analisis
Misalkan \( x \) banyak rumah tipe A dan \( y \) banyak rumah tipe B. Kendala lahan: \( 100x+75y\le 10000 \). Bagi \( 25 \) (karena \( 25 \gt 0 \)): \( 4x+3y\le 400 \).
Kendala jumlah unit: \( x+y\le 125 \). Selain itu \( x\ge 0 \) dan \( y\ge 0 \). Fungsi keuntungan: \( K=8000000x+6000000y \).
Titik pojok daerah feasible: \( (0,125) \) karena \( x=0 \Rightarrow y\le 125 \) dan \( 4(0)+3(125)=375 \le 400 \). \( (100,0) \) karena \( y=0 \Rightarrow 4x\le 400 \Rightarrow x\le 100 \) dan \( 100 \le 125 \). Perpotongan \( 4x+3y=400 \) dan \( x+y=125 \): dari \( y=125-x \), \( 4x+3(125-x)=400 \Rightarrow x+375=400 \Rightarrow x=25 \), sehingga \( y=100 \).
Hitung keuntungan: \( K(0,125)=6000000\cdot125=750000000 \). \( K(100,0)=8000000\cdot100=800000000 \). \( K(25,100)=8000000\cdot25+6000000\cdot100=200000000+600000000=800000000 \).
Keuntungan maksimum adalah \( 800000000 \) dan \( 800000000 \gt 750000000 \). Jadi keuntungan maksimum \( \mathrm{Rp}\,800000000{,}00 \). Jawaban: B.
Soal 15
Diketahui matriks \( A=\begin{pmatrix}-2&x\\6&3\end{pmatrix} \), \( B=\begin{pmatrix}-5&14\\y&-2\end{pmatrix} \), dan \( C=\begin{pmatrix}z&-1\\1&5\end{pmatrix} \). Jika \( A-B=C \), maka \( x+y+z \) adalah ....
A. \( 15 \)
B. \( 21 \)
C. \( 22 \)
D. \( 27 \)
E. \( 29 \)
Jawaban dan Analisis
Dari \( A-B=C \) berarti elemen seposisi sama. Hitung \( A-B \): \( A-B=\begin{pmatrix}-2-(-5)&x-14\\6-y&3-(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&x-14\\6-y&5\end{pmatrix} \).
Samakan dengan \( C=\begin{pmatrix}z&-1\\1&5\end{pmatrix} \): \( z=3 \), \( x-14=-1 \Rightarrow x=13 \), dan \( 6-y=1 \Rightarrow y=5 \).
Maka \( x+y+z=13+5+3=21 \) dan \( 21 \gt 0 \). Jawaban: B.