Soal 6
Persamaan kuadrat \(x^2+6x-5=0\) akar-akarnya \(\alpha\) dan \(\beta\). Persamaan kuadrat yang akar-akarnya \((\alpha+2)\) dan \((\beta+2)\) adalah …
A. \(x^2+2x-13=0\)
B. \(x^2+2x+13=0\)
C. \(x^2-2x-13=0\)
D. \(x^2+2x-21=0\)
E. \(x^2-2x-21=0\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Dari \(x^2+6x-5=0\), jumlah dan hasil kali akar memenuhi:
\(\alpha+\beta=-6\) dan \(\alpha\beta=-5\).
Akar baru adalah \(\alpha'=\alpha+2\) dan \(\beta'=\beta+2\).
Jumlah akar baru:
\(\alpha'+\beta'=(\alpha+2)+(\beta+2)=(\alpha+\beta)+4=-6+4=-2\).
Hasil kali akar baru:
\(\alpha'\beta'=(\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(-6)+4=-5-12+4=-13\).
Persamaan kuadrat dengan akar \(\alpha'\) dan \(\beta'\) adalah:
\(x^2-(\alpha'+\beta')x+\alpha'\beta'=0 \Rightarrow x^2-(-2)x+(-13)=0\Rightarrow x^2+2x-13=0\).
Soal 7
Agar persamaan kuadrat \((m-5)x^2-4mx+m-2=0\) mempunyai dua akar real, batas-batas nilai \(m\) yang memenuhi adalah …
A. \(m \gt \frac{10}{3}\) atau \(m \lt 1\)
B. \(m \ge \frac{10}{3}\) atau \(m \le -1\)
C. \(m \ge 1\) atau \(m \le -\frac{10}{3}\)
D. \(m \gt \frac{10}{3}\) atau \(m \lt -1\)
E. \(m \gt 1\) atau \(m \lt -\frac{10}{3}\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: E
Agar memiliki dua akar real (berbeda), syaratnya diskriminan \(D \gt 0\) dan koefisien \(x^2\) tidak nol.
Koefisien \(x^2\) adalah \((m-5)\), jadi harus \((m-5)\ne 0 \Rightarrow m\ne 5\).
Dengan \(a=m-5\), \(b=-4m\), \(c=m-2\), maka:
\(D=b^2-4ac=( -4m)^2-4(m-5)(m-2)\).
Hitung:
\(D=16m^2-4\big((m-5)(m-2)\big)\).
\((m-5)(m-2)=m^2-7m+10\).
Maka:
\(D=16m^2-4(m^2-7m+10)=16m^2-4m^2+28m-40=12m^2+28m-40\).
Syarat dua akar real: \(D \gt 0\):
\(12m^2+28m-40 \gt 0\).
Bagi \(4\):
\(3m^2+7m-10 \gt 0\).
Faktorkan:
\(3m^2+7m-10=(3m+10)(m-1)\).
Maka \((3m+10)(m-1)\gt 0\) terjadi jika kedua faktor bernilai sama tanda:
1) \(3m+10 \gt 0\) dan \(m-1 \gt 0 \Rightarrow m \gt -\frac{10}{3}\) dan \(m \gt 1 \Rightarrow m \gt 1\).
2) \(3m+10 \lt 0\) dan \(m-1 \lt 0 \Rightarrow m \lt -\frac{10}{3}\) dan \(m \lt 1 \Rightarrow m \lt -\frac{10}{3}\).
Jadi \(m \gt 1\) atau \(m \lt -\frac{10}{3}\). Nilai \(m=5\) tidak termasuk dalam larangan karena sudah berada pada \(m \gt 1\), tetapi tetap perlu diingat \(m=5\) membuat persamaan bukan kuadrat. Namun syarat \(D \gt 0\) tidak otomatis mengecualikan \(m=5\), maka secara lengkap: \(m \gt 1\) dan \(m\ne 5\), atau \(m \lt -\frac{10}{3}\). Opsi yang sesuai adalah \(m \gt 1\) atau \(m \lt -\frac{10}{3}\).
Soal 8
Di sebuah toko buah, Malik, Azis, Sulasmini, dan Ani berbelanja. Malik membeli \(2\) kg jeruk, \(1\frac{1}{2}\) kg mangga, dan \(1\) kg jambu seharga \(Rp72.000{,}00\). Azis membeli \(3\) kg jeruk, \(\frac{1}{2}\) kg mangga, dan \(\frac{1}{2}\) kg jambu seharga \(Rp61.000{,}00\). Sulasmini membeli \(1\) kg jeruk, \(2\) kg mangga, dan \(2\) kg jambu seharga \(Rp79.000{,}00\). Jika Ani membeli \(\frac{1}{2}\) kg jeruk, \(1\frac{1}{2}\) kg mangga, dan \(1\) kg jambu maka ia harus membayar sebesar …
A. \(Rp49.500{,}00\)
B. \(Rp47.500{,}00\)
C. \(Rp35.000{,}00\)
D. \(Rp32.500{,}00\)
E. \(Rp29.500{,}00\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Misalkan harga per kg: jeruk \(=x\), mangga \(=y\), jambu \(=z\).
Dari data:
Malik: \(2x+\frac{3}{2}y+z=72.000\).
Azis: \(3x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=61.000\).
Sulasmini: \(x+2y+2z=79.000\).
Agar tanpa pecahan, kalikan persamaan Malik dan Azis dengan \(2\):
\(4x+3y+2z=144.000\).
\(6x+y+z=122.000\).
Dari \(6x+y+z=122.000\) diperoleh \(y=122.000-6x-z\).
Substitusi ke \(4x+3y+2z=144.000\):
\(4x+3(122.000-6x-z)+2z=144.000\).
\(4x+366.000-18x-3z+2z=144.000\Rightarrow -14x-z=-222.000\Rightarrow z=222.000-14x\).
Masukkan \(y=122.000-6x-z\) dan \(z=222.000-14x\):
\(y=122.000-6x-(222.000-14x)=-100.000+8x\).
Gunakan persamaan Sulasmini \(x+2y+2z=79.000\):
\(x+2(-100.000+8x)+2(222.000-14x)=79.000\).
\(x-200.000+16x+444.000-28x=79.000\Rightarrow -11x+244.000=79.000\Rightarrow -11x=-165.000\Rightarrow x=15.000\).
Maka \(y=-100.000+8(15.000)=20.000\) dan \(z=222.000-14(15.000)=12.000\).
Belanja Ani: \(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+z\).
\(\frac{1}{2}(15.000)+\frac{3}{2}(20.000)+12.000=7.500+30.000+12.000=49.500\).
Jadi Ani membayar \(Rp49.500{,}00\).
Soal 9
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik \((-1,2)\) dan menyinggung garis \(x+y+7=0\) adalah …
A. \(x^2+y^2+2x+4y-27=0\)
B. \(x^2+y^2+2x-4y-27=0\)
C. \(x^2+y^2+2x-4y-32=0\)
D. \(x^2+y^2-4x-2y-32=0\)
E. \(x^2+y^2-4x+2y-7=0\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Pusat lingkaran \((h,k)=(-1,2)\). Jika menyinggung garis \(x+y+7=0\), maka jari-jari \(r\) adalah jarak pusat ke garis.
Jarak titik \((x_0,y_0)\) ke garis \(Ax+By+C=0\) adalah \(\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
Di sini \(A=1\), \(B=1\), \(C=7\), dan \((x_0,y_0)=(-1,2)\), maka:
\(r=\frac{|(-1)+2+7|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|8|}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\).
Jadi \(r^2=(4\sqrt{2})^2=32\). Persamaan lingkaran:
\((x+1)^2+(y-2)^2=32\).
Uraikan:
\(x^2+2x+1+y^2-4y+4=32\Rightarrow x^2+y^2+2x-4y-27=0\).
Soal 10
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran \(x^2+y^2+2x-6y-10=0\) yang tegak lurus garis \(x+2y+1=0\) adalah …
A. \(y=2x-14\)
B. \(y=2x-11\)
C. \(y=2x+5\)
D. \(y=2x+9\)
E. \(y=2x+15\)
Jawaban & Analisis
Jawaban: D
Ubah lingkaran ke bentuk pusat-jari-jari dengan melengkapkan kuadrat:
\(x^2+2x+y^2-6y-10=0\).
\((x+1)^2-1+(y-3)^2-9-10=0 \Rightarrow (x+1)^2+(y-3)^2=20\).
Pusat \((-1,3)\) dan jari-jari \(r=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Garis \(x+2y+1=0\) memiliki gradien \(-\frac{1}{2}\). Garis yang tegak lurus memiliki gradien \(2\), sehingga bentuk garis singgung yang dicari adalah \(y=2x+c\), atau \(2x-y+c=0\).
Syarat singgung: jarak pusat ke garis sama dengan \(r\):
\(\frac{|2(-1)-3+c|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=2\sqrt{5}\).
\(\frac{|c-5|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\Rightarrow |c-5|=10\).
Maka \(c-5=10\Rightarrow c=15\) atau \(c-5=-10\Rightarrow c=-5\).
Dua garis singgungnya \(y=2x+15\) dan \(y=2x-5\). Dari opsi yang ada, yang muncul adalah \(y=2x+15\), yaitu opsi E.
Catatan: Berdasarkan perhitungan, jawaban yang cocok dengan opsi adalah \(y=2x+15\) (opsi E), bukan opsi D. Jika pada soal tertulis opsi berbeda atau ada tanda pada persamaan garis acuan, hasil bisa berubah.