Soal 36
Diketahui limas beraturan \(T.ABCD\), panjang rusuk \(AB=3\) cm dan \(TA=6\) cm. Jarak titik \(B\) dan rusuk \(TD\) adalah ....
A. \(\frac{1}{3}\sqrt{14}\)
B. \(\frac{2}{3}\sqrt{14}\)
C. \(\sqrt{14}\)
D. \(\frac{4}{3}\sqrt{14}\)
E. \(2\sqrt{14}\)
Jawaban & Analisa
Karena limas beraturan, alas \(ABCD\) adalah persegi dan titik \(T\) tepat di atas pusat alas \(O\).
Diagonal alas \(=3\sqrt{2}\), sehingga \[ OA=\frac{3\sqrt{2}}{2}. \] Pada segitiga siku-siku \(TOA\): \[ 36=TO^2+\frac{9}{2} \Rightarrow TO^2=\frac{63}{2} \Rightarrow TO=\frac{3}{2}\sqrt{14}. \]
Menggunakan rumus jarak titik ke garis ruang: \[ d=\frac{\lVert \overrightarrow{TB}\times \overrightarrow{TD}\rVert}{\lVert \overrightarrow{TD}\rVert}. \] Hasil perhitungan memberi: \[ d=\frac{3\sqrt{7}}{2}. \] Nilai ini memenuhi \(0 \lt d \lt 6\).
Jawaban: \(\frac{3\sqrt{7}}{2}\) (tidak terdapat pada opsi).
Soal 37
Diketahui limas segi-3 beraturan \(PQRS\), panjang rusuk \(QR=a\) cm dan \(PQ=a\sqrt{3}\) cm. Sudut antara \(PS\) dan bidang \(QRS\) adalah \(\alpha\), maka nilai \(\cos\alpha=\) ....
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\)
E. \(\frac{2}{3}\)
Jawaban & Analisa
Sudut garis dan bidang memenuhi: \[ \cos\alpha=\frac{\text{panjang proyeksi}}{\text{panjang garis}}. \] Dengan menggunakan simetri limas beraturan dan hubungan geometri ruang diperoleh: \[ \cos\alpha=\frac{1}{3}. \] Nilai ini memenuhi \(0 \lt \cos\alpha \lt 1\).
Jawaban: C
Soal 38
Diketahui limas segi-6 beraturan \(T.ABCDEF\) dengan panjang rusuk \(AB=10\) cm dan \(AT=13\) cm. Sudut antara alas dan sisi tegaknya adalah \(\alpha\), maka nilai \(\tan\alpha=\) ....
A. \(\frac{5}{12}\sqrt{3}\)
B. \(\frac{1}{5}\sqrt{3}\)
C. \(\frac{12}{5}\sqrt{3}\)
D. \(\sqrt{23}\)
E. \(5\sqrt{23}\)
Jawaban & Analisa
Pada segi-6 beraturan: \[ OA=10. \] Segitiga siku-siku \(TOA\): \[ 169=TO^2+100 \Rightarrow TO^2=69 \Rightarrow TO=\sqrt{69}. \]
Apotema alas: \[ OM=5\sqrt{3}. \] Maka: \[ \tan\alpha=\frac{TO}{OM} =\frac{\sqrt{69}}{5\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{23}}{5}. \] Nilai ini memenuhi \(0 \lt \tan\alpha \lt 2\).
Jawaban: \(\frac{\sqrt{23}}{5}\) (tidak ada pada opsi).
Soal 39
Ditentukan pernyataan \((p \vee \sim q)\rightarrow p\). Konvers dari pernyataan tersebut adalah ....
A. \(p\rightarrow(\sim p \vee q)\)
B. \(p\rightarrow(p \wedge \sim q)\)
C. \(p\rightarrow(p \vee \sim q)\)
D. \(p\rightarrow(p \vee \sim q)\)
E. \(p\rightarrow(\sim p \vee \sim q)\)
Jawaban & Analisa
Konvers dari \(A\rightarrow B\) adalah \(B\rightarrow A\).
Dengan: \[ A=(p \vee \sim q), \quad B=p. \] Maka konversnya: \[ p\rightarrow(p \vee \sim q). \]
Jawaban: C
Soal 40
Diberikan tiga argumen berikut. Yang sah adalah ....
\(1.\ \sim p \vee q\)
\(\sim p\)
\(\therefore q\)
\(2.\ p\rightarrow q\)
\(p\)
\(\therefore \sim q\)
\(3.\ p\rightarrow r\)
\(q\rightarrow r\)
\(\therefore p\rightarrow q\)
A. \(1,2 \text{ dan } 4\)
B. \(1 \text{ dan } 2\)
C. \(1 \text{ dan } 3\)
D. \(2 \text{ saja}\)
E. \(3 \text{ saja}\)
Jawaban & Analisa
Argumen \(1\) tidak sah karena dari \(\sim p\) tidak dapat dipastikan \(q\) benar.
Argumen \(2\) tidak sah karena dari \(p\rightarrow q\) dan \(p\) seharusnya disimpulkan \(q\), bukan \(\sim q\).
Argumen \(3\) tidak sah karena kedua premis dapat benar tetapi kesimpulan salah.
Tidak ada argumen yang sah.