Soal 31
Diketahui vektor \( \vec{y}=\begin{pmatrix}3\\-4\\7\end{pmatrix} \) dan vektor \( \vec{x}=\begin{pmatrix}a\\-2\\1\end{pmatrix} \). Jika panjang proyeksi vektor \( \vec{x} \) pada \( \vec{y} \) adalah \( \frac{19}{9} \), maka nilai \( a \) adalah ....
A. \( 4 \)
B. \( 2 \)
C. \( 1 \)
D. \( -1 \)
E. \( -4 \)
Jawaban dan Analisis
Panjang proyeksi \( \vec{x} \) pada \( \vec{y} \) adalah \( \frac{|\vec{x}\cdot\vec{y}|}{\|\vec{y}\|} \) dan nilainya selalu \( \gt 0 \).
Hitung hasil kali titik: \( \vec{x}\cdot\vec{y}=3a+(-2)(-4)+1\cdot7=3a+8+7=3a+15 \).
Panjang \( \vec{y} \): \( \|\vec{y}\|=\sqrt{3^2+(-4)^2+7^2}=\sqrt{74} \).
Maka \( \frac{|3a+15|}{\sqrt{74}}=\frac{19}{9} \Rightarrow |3a+15|=\frac{19}{9}\sqrt{74} \).
Diperoleh \( a=\frac{-45\pm19\sqrt{74}}{27} \). Nilai ini tidak termasuk pilihan bilangan bulat yang tersedia, sehingga kemungkinan terdapat kesalahan pada data atau opsi soal.
Soal 32
Salah satu persamaan garis singgung dari titik \( (0,0) \) pada lingkaran \( (x-3)^2+(y-4)^2=5 \) adalah ....
A. \( x-y=0 \)
B. \( 11x+y=0 \)
C. \( 2x+11y=0 \)
D. \( 11x-y=0 \)
E. \( 11x-2y=0 \)
Jawaban dan Analisis
Pusat lingkaran \( (3,4) \) dan jari-jari \( r=\sqrt{5} \). Garis melalui \( (0,0) \) berbentuk \( y=mx \).
Jarak pusat ke garis sama dengan \( r \): \( \frac{|3m-4|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5} \).
Diperoleh persamaan \( 4m^2-24m+11=0 \). Diskriminan \( 400 \) sehingga \( m=\frac{11}{2} \) atau \( m=\frac{1}{2} \).
Garis yang sesuai pilihan adalah \( 11x-2y=0 \). Jawaban: E.
Soal 33
Salah satu persamaan asimtot hiperbola \( 4x^2-9y^2+16x+18y+43=0 \) adalah ....
A. \( 2x-3y-7=0 \)
B. \( 2x+3y+1=0 \)
C. \( 3x+2y-7=0 \)
D. \( 2x-3y+4=0 \)
E. \( 2x+3y-1=0 \)
Jawaban dan Analisis
Setelah melengkapi kuadrat diperoleh bentuk \( \frac{(y-1)^2}{4}-\frac{(x+2)^2}{9}=1 \).
Asimtot: \( 3(y-1)=\pm2(x+2) \).
Untuk tanda minus diperoleh \( 2x+3y+1=0 \). Jawaban: B.
Soal 34
Bayangan segitiga \( ABC \) dengan \( A(2,1) \), \( B(5,2) \), dan \( C(5,4) \) jika dicerminkan terhadap sumbu \( Y \) dilanjutkan rotasi \( (O,90^\circ) \) adalah ....
A. \( A'(-1,-2),\,B'(-2,-6),\,C'(-4,-5) \)
B. \( A'(2,1),\,B'(2,6),\,C'(3,5) \)
C. \( A'(1,-2),\,B'(2,-6),\,C'(4,-5) \)
D. \( A'(-2,-1),\,B'(-6,-2),\,C'(-5,-4) \)
E. \( A'(2,1),\,B'(6,2),\,C'(5,4) \)
Jawaban dan Analisis
Pencerminan terhadap sumbu \( Y \): \( (x,y)\to(-x,y) \).
Rotasi \( 90^\circ \) (berlawanan arah jarum jam): \( (x,y)\to(-y,x) \).
Hasil akhirnya \( A'(-1,-2) \), \( B'(-2,-5) \), \( C'(-4,-5) \).
Opsi yang paling mendekati pola hasil adalah A (kemungkinan terdapat salah ketik pada satu koordinat).
Soal 35
Persegi panjang \( PQRS \) dengan titik \( P(1,0) \), \( Q(-1,0) \), \( R(-1,1) \), dan \( S(1,1) \). Karena dilatasi \( [O,3] \) dilanjutkan rotasi pusat \( O \) bersudut \( \frac{\pi}{2} \), luas bayangan bangun tersebut adalah ....
A. \( 2 \) satuan luas
B. \( 6 \) satuan luas
C. \( 9 \) satuan luas
D. \( 18 \) satuan luas
E. \( 20 \) satuan luas
Jawaban dan Analisis
Luas awal persegi panjang: panjang \( 2 \) dan lebar \( 1 \), sehingga \( L_0=2 \).
Dilatasi faktor \( 3 \) mengubah luas menjadi \( 3^2 \) kali, sehingga \( L_1=9\cdot2=18 \) dan nilai ini \( \gt 0 \).
Rotasi tidak mengubah luas, jadi luas akhir \( 18 \). Jawaban: D.