Soal 21
Nilai dari \( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x}{2\sin x + \sin 2x} \) adalah ....
A. \( \dfrac{-1}{2} \)
B. \( \dfrac{-1}{4} \)
C. \( \dfrac{1}{4} \)
D. \( \dfrac{1}{2} \)
E. \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Gunakan limit dasar \( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1 \) sehingga untuk \( x \to 0 \), berlaku \( \sin x \sim x \) dan \( \sin 2x \sim 2x \).
Penyebut menjadi \[ 2\sin x + \sin 2x \sim 2x + 2x = 4x. \]
Maka \[ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x}{2\sin x + \sin 2x} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2}. \]
Jawaban: \( \dfrac{1}{2} \).
Soal 22
Fungsi \( f(x)=\dfrac{1}{x^2}-\sqrt{x} \). Persamaan garis singgung yang melalui titik berabsis \(1\) pada kurva tersebut adalah ....
A. \( 5x+2y+5=0 \)
B. \( 5x-2y-5=0 \)
C. \( 5x+2y-5=0 \)
D. \( 3x+2y-3=0 \)
E. \( 3x-2y-3=0 \)
Jawaban & Analisis
Titik pada kurva saat \( x=1 \) adalah \[ f(1)=\dfrac{1}{1}-1=0, \] sehingga titiknya \( (1,0) \).
Turunan: \[ f'(x)=-2x^{-3}-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}. \]
Kemiringan di \( x=1 \): \[ f'(1)=-2-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{2}. \]
Persamaan garis singgung: \[ y=-\dfrac{5}{2}(x-1). \] Kalikan \(2\): \[ 2y=-5x+5 \Rightarrow 5x+2y-5=0. \]
Jawaban: \( 5x+2y-5=0 \).
Soal 23
Fungsi \( f(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}x^2-3x+1 \) turun pada interval ....
A. \( x \lt \dfrac{-1}{2} \) atau \( x \gt 2 \)
B. \( x \lt -2 \) atau \( x \gt 2 \)
C. \( -2 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \)
D. \( \dfrac{-1}{2} \lt x \lt 2 \)
E. \( -1 \lt x \lt 4 \)
Jawaban & Analisis
Fungsi turun jika \( f'(x) \lt 0 \).
Turunan: \[ f'(x)=\dfrac{2}{3}-x-3=-x-\dfrac{7}{3}. \]
Syarat: \[ -x-\dfrac{7}{3} \lt 0 \Rightarrow x \gt \dfrac{-7}{3}. \]
Jadi interval turun adalah \( x \gt \dfrac{-7}{3} \).
Soal 24
Nilai minimum fungsi \( f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+x^2-3x+1 \), pada interval \( 0 \le x \le 3 \) adalah ....
A. \( -1 \)
B. \( \dfrac{-2}{3} \)
C. \( \dfrac{1}{2} \)
D. \( \dfrac{2}{3} \)
E. \( 1 \)
Jawaban & Analisis
Turunan: \[ f'(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1). \]
Titik kritis dalam interval adalah \( x=1 \).
Hitung nilai fungsi: \[ f(0)=1, \] \[ f(1)=\dfrac{1}{3}+1-3+1=\dfrac{-2}{3}, \] \[ f(3)=10. \]
Nilai minimum adalah \( \dfrac{-2}{3} \).
Soal 25
Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva \( y=-x^2+4 \) dan sumbu \( Y \) dari \( y=-1 \) sampai \( y=0 \) diputar mengelilingi sumbu \( Y \) sejauh \( 360^\circ \) adalah ....
A. \( 16\pi \)
B. \( 12\pi \)
C. \( \dfrac{9}{2}\pi \)
D. \( \pi \)
E. \( \dfrac{1}{2}\pi \)
Jawaban & Analisis
Dari \( y=-x^2+4 \) diperoleh \[ x^2=4-y. \]
Metode cakram: \[ V=\pi\int_{-1}^{0}(4-y)\,dy. \]
\[ \int(4-y)\,dy=4y-\dfrac{y^2}{2}. \]
\[ V=\pi\left[4y-\dfrac{y^2}{2}\right]_{-1}^{0} =\pi\left(\dfrac{9}{2}\right) =\dfrac{9}{2}\pi. \]
Jawaban: \( \dfrac{9}{2}\pi \).