Soal 16
Persamaan fungsi trigonometri pada gambar grafik adalah ....
A. \(y=\sin x\)
B. \(y=2\sin 3x\)
C. \(y=3\sin 4x\)
D. \(y=3\sin 2x\)
E. \(y=3\sin \frac{x}{2}\)
Jawaban & Analisa
Dari grafik terlihat nilai maksimum \(3\) dan minimum \(-3\), sehingga amplitudo adalah \(3\).
Dalam interval \(0\) sampai \(\pi\) terjadi satu gelombang penuh, sehingga periode grafik adalah \(\pi\).
Untuk fungsi \(y=3\sin(kx)\), periode adalah \[ \frac{2\pi}{k}. \] Karena \(\frac{2\pi}{k}=\pi\), maka \(k=2\).
Jadi fungsi yang sesuai adalah \(y=3\sin 2x\).
Jawaban: D
Soal 17
Himpunan penyelesaian dari \( \sin(x-20^\circ)+\sin(x+70^\circ)-1 \ge 0 \) untuk \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) adalah ....
A. \((x \mid 20^\circ \le x \le 110^\circ)\)
B. \((x \mid 35^\circ \le x \le 100^\circ)\)
C. \((x \mid x \le 50^\circ \text{ atau } x \ge 130^\circ)\)
D. \((x \mid x \le 35^\circ \text{ atau } x \ge 145^\circ)\)
E. \((x \mid x \le 50^\circ \text{ atau } x \ge 310^\circ)\)
Jawaban & Analisa
Gunakan rumus: \[ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}. \]
Diperoleh: \[ \sin(x-20^\circ)+\sin(x+70^\circ) =\sqrt2\,\sin(x+25^\circ). \] Maka: \[ \sqrt2\,\sin(x+25^\circ)-1 \ge 0. \]
Sehingga: \[ \sin(x+25^\circ)\ge\frac{\sqrt2}{2}. \] Berlaku saat: \[ 45^\circ \le x+25^\circ \le 135^\circ. \]
Maka:
\[
20^\circ \le x \le 110^\circ.
\]
Jawaban: A
Soal 18
Himpunan penyelesaian persamaan \( \sqrt3\,\sin 2x+\sin^2 x=2 \) untuk \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) adalah ....
A. \((60^\circ,120^\circ,240^\circ,300^\circ)\)
B. \((120^\circ,180^\circ,300^\circ)\)
C. \((30^\circ,60^\circ,90^\circ,210^\circ)\)
D. \((0^\circ,60^\circ,180^\circ,240^\circ)\)
E. \((30^\circ,90^\circ,210^\circ,270^\circ)\)
Jawaban & Analisa
Gunakan identitas: \[ \sin 2x=2\sin x\cos x \] dan \[ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}. \]
Setelah disederhanakan diperoleh bentuk: \[ 2\sqrt3\sin 2x-\cos 2x=3. \]
Dari penyelesaian diperoleh empat nilai \(x\) dalam interval yang diberikan, yaitu pendekatan \[ x \approx 36^\circ,\;70^\circ,\;216^\circ,\;250^\circ. \] (Tidak sesuai dengan opsi.)
Soal 19
Hasil penjumlahan dari semua anggota himpunan penyelesaian persamaan \(3\tan x+\cot x-2\sqrt3=0\) dengan \(0 \le x \le 2\pi\) adalah ....
A. \(\frac{5}{3}\pi\)
B. \(\frac{4}{3}\pi\)
C. \(\frac{7}{6}\pi\)
D. \(\frac{5}{6}\pi\)
E. \(\frac{2}{3}\pi\)
Jawaban & Analisa
Misalkan \(t=\tan x\). Maka: \[ 3t+\frac{1}{t}-2\sqrt3=0. \] Kalikan \(t\): \[ 3t^2-2\sqrt3 t+1=0. \]
Diskriminan \(=0\), sehingga: \[ t=\frac{\sqrt3}{3}. \] Maka: \[ x=\frac{\pi}{6},\;\frac{7\pi}{6}. \]
Jumlahnya:
\[
\frac{\pi}{6}+\frac{7\pi}{6}=\frac{4}{3}\pi.
\]
Jawaban: B
Soal 20
Nilai dari \(\lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\big)\) adalah ....
A. \(-2\)
B. \(-1\)
C. \(\infty\)
D. \(0\)
E. \(1\)
Jawaban & Analisa
Rasionalkan: \[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x+2} =\frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}. \]
Saat \(x\to\infty\), penyebut \(\to\infty\), sehingga limitnya \(0\).
Jawaban: D